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Bewegungsvorgänge bei Bauteilen

01. Was ist Bewegung und wie wird sie dargestellt?

  • Bewegung:

    Bewegung ist jede Veränderung des Ortes oder der Lage eines Körpers gegenüber einem Bezugspunkt oder einem Bezugssystem.

  • Ruhe:

    Der Körper verändert seinen Ort und seine Lage gegenüber dem Bezugspunkt nicht.

Es gibt zwei Teilgebiete der Physik, die Bewegungen beschreiben:

  • Kinematik: Sie beschreibt Bewegungen, ohne dabei die Ursachen für Änderungen des Bewegungszustandes zu berücksichtigen und

  • Dynamik: Sie beschreibt Änderungen des Bewegungszustandes im Zusammenhang mit ihren Ursachen, den Kräften.

Die Bewegungslehre (Kinematik) unterscheidet Bewegungen:

  • nach der Form der Bahnkurve des bewegten Körpers (Bewegungsformen)

  • nach der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit (Bewegungsarten).

Für die Untersuchung einer Bewegung genügt es häufig, die Bewegung eines einzigen Punktes des Körpers zu beschreiben. Dazu denkt man sich die gesamte Masse des Körpers in diesem Punkt, dem Massepunkt (als einem Modell) vereinigt und vernachlässigt Form und Volumen. Meist wählt man den Schwerpunkt als Massepunkt. Alle Punkte, die auf der Bahn der fortschreitenden Bewegung eines Körpers liegen, bilden zusammen die Bahnkurve.

Es lassen sich folgende Bewegungsformen unterscheiden:

  • Geradlinige Bewegung (Translation): Ein Körper bewegt sich entlang einer geraden Bahnkurve.

  • Kreisbewegung (Rotation): Die Bahnkurve ist ein Kreis; ein starrer Körper bewegt sich um eine im Bezugssystem feste Achse.

  • Mechanische Schwingung: Die Bewegung erfolgt periodisch zwischen zwei Umkehrpunkten.

Folgende vektorielle Größen sind in der Bewegungslehre von Bedeutung:

  • der Weg s, die Geschwindigkeit v, die Beschleunigung a (s in m | v in m/s | a in m/s2),

  • die Winkelgeschwindigkeit ω, die Winkelbeschleunigung α (ω in 1/s | α in 1/s2).

Die Beschreibung einer Bewegung kann allgemein in Form von Gleichungen oder Diagrammen erfolgen. Bei allen Translationsarten ist die Beziehung zwischen Geschwindigkeit, Weg und Zeit aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (v,t-Kurve) zu erkennen. Es werden außerdem das Weg-Zeit-Diagramm (s, t-Kurve) und das Beschleunigungs- Zeit-Diagramm (a, t-Kurve) benutzt, um die Beziehungen zwischen diesen Größen zu veranschaulichen.

02. Was sagen Geschwindigkeit und Beschleunigung aus und wie werden sie berechnet?

Bei der gleichförmigen Bewegung eines Massepunktes werden in beliebig wählbaren, gleichen Zeitabschnitten gleiche Wege auf gerader Bahn zurückgelegt: Der Graph im Weg-Zeit-Diagramm ist daher eine Gerade.

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  • Die Geschwindigkeit v bei gleichförmiger Bewegung ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg s und der dabei abgelaufenen Zeit t:

    $$v = \frac{s}{t}$$

    $$[v] = \frac{m}{s}; \frac{km}{h}$$

    Die verallgemeinerte Gleichung für die Geschwindigkeit lautet:

    $$v = \frac{\Delta\;  s}{\Delta\;  t}$$

    Dabei ist:

    Δ s = s1 – s2Änderung der Ortskoordinate
    Δ t = t1 – t2Zeitdauer dieser Änderung

    Dabei braucht nicht mehr vorausgesetzt zu werden, dass sich der Massepunkt zurzeit t = 0 an der Stelle s = 0 befindet. Die Größe s wird jetzt nicht mehr als Weg, sondern als Ortskoordinate betrachtet.

  • Bei ungleichförmigen Bewegungen wird die Beschleunigung als Größe eingeführt, um den zeitlichen Ablauf der Geschwindigkeitsänderung zu erfassen. Wenn in gleichen Zeitabschnitten jeweils gleichgroße Änderungen der Geschwindigkeit stattfinden, ist die Beschleunigung a der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung Δ v und deren Zeitdauer Δ t:

    $$a = \frac{\Delta\;  v}{\Delta\;  t}$$

    $$[a] = \frac{m}{s_{2}}$$

    Dabei bedeutet:

    a > 0 eine Zunahme der Geschwindigkeit

    Die Beschleunigung ist ebenso wie die Geschwindigkeit eine Vektorgröße. Bei Bewegung auf gerader Bahn gibt das Vorzeichen der Beschleunigung Auskunft über die Orientierung des Beschleunigungsvektors in Bezug auf die s-Achse.

03. Welche Bewegungsarten werden unterschieden?

In Abhängigkeit von der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit v werden allgemein die folgenden Bewegungsarten unterschieden:

1.

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2.Fall und Wurf; zusammengesetzte Bewegungen:
2.1Freier FallDer freie Fall ist ein Sonderfall der geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit. Bei ihm ist die Beschleunigung gleich der Fallbeschleunigung (auch Erdbeschleunigung). Der Luftwiderstand ist dabei nicht berücksichtigt.
Weg-Zeit-Gesetz:Dabei ist:
v = Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t, in ms
g = Fallbeschleunigung
g = 9,81 m/s2
s = Weg (Fallhöhe), in m
t = Zeit, die für den Fall benötigt wird, in s

$$s = \frac{g}{2} * t^{2}$$

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

$$v = g * t$$

Geschwindigkeit-Weg-Gesetz:

$$v = √\; 2 * g * s$$

2.2Zusammengesetzte BewegungenZusammengesetzte Bewegungen sind Bewegungen, die aus mehreren Teilbewegungen zusammengesetzt sind. Da Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg vektorielle Größen sind, können sie nach den Gesetzen der vektoriellen Addition zusammengesetzt werden.
Beispiele
Gehende Personen in einem bewegten Fahrzeug; Fähre in einem Fluss, schräger Wurf; eine Person läuft auf einer fahrenden Rolltreppe.
Der Wurf ist eine zusammengesetzte Bewegung aus
  • einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung (v0 = konstant) und
  • aus dem freien Fall (

    $$v_{y}\; = – g * t$$

    ).

Es werden unterschieden:
  • senkrechter Wurf (nach oben/unten)
  • waagerechter Wurf
  • schräger Wurf.
 Weg-Zeit-GesetzGeschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Senkrechter Wurf nach oben
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$$s_{y} = – \frac{1}{2} * g * t^{2} + v_{0} * t$$

$$v_{y}\; = – g * t + v_{0}$$

$$s_{x} = 0$$

$$v_{x} = 0\; $$

Senkrechter Wurf nach unten
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$$s_{y}\; = – \frac{1}{2} * g * t^{2} – v_{0} * t$$

$$v_{y}\; = – g * t – v_{0}$$

$$s_{x} = 0$$

$$v_{x} = 0$$

Waagerechter Wurf
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$$s_{y}\; = –– \frac{1}{2} * g * t^{2}$$

$$v_{y}\; = – g * t$$

$$s_{x} = v_{0} * t$$

$$v_{x} = v_{0}$$

Schräger Wurf
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$$s_{y}\; = – \frac{1}{2} * g*\; t^{2} + v_{0} * t * sin α$$

$$v_{y}\; = – g * t + v_{0} * sin α$$

$$s_{x} = v_{0} * t * cos α$$

$$v_{x} = v_{0} * cos α$$

3.

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Die für die Rotationsbewegung geltenden Gesetze sind denen der Translationsbewegung analog: Die Gleichungen der Rotation ergeben sich aus denen der Translation, wenn jeweils ersetzt wird:

Analogien
Translation Rotation
Weg sDrehwinkel φ (wird im Bogenmaß gemessen; φ = s/r rad)
Geschwindigkeit vWinkelgeschwindigkeit ω
Beschleunigung aWinkelbeschleunigung α 

Folgende Berechnungen sind vor allem von Interesse:

Drehzahl nZahl der Umdrehungen N im Zeitraum Δ t; auch als Drehfrequenz bezeichnet.

$$n = \frac{N}{\Delta\;  t}$$

$$[n] = \frac{min^{-1};\; U}{min}$$

Umfangsgeschwindigkeit vU

$$v_{u} = \frac{s}{t}$$

Bei bekannter Drehzahl n ist die Umfangsgeschwindigkeit (auch: Umlaufgeschwindigkeit):

$$v_{u} = d * π * n$$

$$[v_{U}] = \frac{m}{min}$$

In der Fertigung wird vU meist als Schnittgewindigkeit in m/s angegeben.
WinkelgeschwindigkeitÄnderung des Drehwinkels Δ φ pro Zeiteinheit Δ t

$$ω = \frac{\Delta\;  φ}{\Delta\;  t}$$

$$[ω] = \frac{1}{s}$$

Bei bekannter Drehzahl n ist:

$$ω = 2 * π * n$$

$$ω = 2 * π * n$$

Die Beziehung zwischen Umfangsgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ist:

$$v_{u} = ω * r$$

mit r = Radius

04. Was ist Fliehkraft?

In einem rotierenden Bezugssystem tritt durch die Trägheit der bewegten Masse eine radial gerichtete Zentrifugalkraft oder Fliehkraft auf. Bei einer Kreisbewegung errechnet sich die Fliehkraft folgendermaßen:

$$F_{z} = \frac{m * v_{2}}{r} = m * r * ω_{2}$$

FzFliehkraft in N
mMasse in kg
rRadius in m
ωWinkelgeschwindigkeit in 1/s
vUmfangsgeschwindigkeit m/s
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05. Wie lautet die Grundgleichung der Dynamik?

Grundgleichung der Dynamik:

$$F = m * a$$

$$[F] = Newton\; (N) = kg * \frac{m}{s^{2}}$$

Dabei ist 1 N die Kraft, die einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/s2 erteilt.

06. Was ist Arbeit?

Werden die an einem Körper wirkenden Kräfte zusammen mit dem Weg betrachtet, den der Körper dabei zurücklegt, führt dies zur Größe Arbeit:

Unter Arbeit W versteht man das Produkt aus Kraft und Weg:

$$W = F * s$$

$$[W] = Joule;\; 1\; J = 1\; Nm = 1\; Ws$$

Demnach ist 1 Joule die Arbeit, die verrichtet wird, wenn ein Körper mit der Gewichtskraft 1 N (z. B. eine Tafel Schokolade) um 1 m angehoben wird. Folgende Arten der Arbeit werden unterschieden:

  • Hubarbeit

    F = konstant; v = konstant

    z. B.: ein Kran, der ein Bauteil anhebt

  • Reibungsarbeit

    F = konstant; v = konstant

    z. B.: horizontal bewegter Schlitten

  • Federspannarbeit

    auch: Verformungsarbeit; F ~ s; elastische Verformung

    z. B.: Spannen eines Expanders

  • Beschleunigungsarbeit

    F = konstant; v ≠ konstant

    z. B.: Anfahren eines Fahrzeugs

07. Was ist Leistung?

Durch die Leistung P wird erfasst, in welcher Zeit t eine bestimmte Arbeit verrichtet wird:

$$Leistung = \frac{Arbeit}{benötigte\; Zeit} = \frac{W}{t}$$

$$[P] = Watt;\; 1\; W = 1 \frac{J}{s} = 1 \frac{Nm}{s}$$

Wenn in gleichen Zeitabschnitten Δ t = t2 – t1 stets die gleiche Arbeit W verrichtet wird, dann ist die Leistung P erklärt als

$$P\; =W/t$$

In diesem Fall ist die Leistung konstant.

Allgemein wird bei Vorgängen in der Natur und in der Technik (Maschinen, Fahrzeuge u. Ä.) die Arbeit (zeitlich) ungleichmäßig verrichtet. Dann ist die Leistung nicht konstant:

  • Die mittlere Leistung, auch Durchschnittsleistung PD, für das Zeitintervall Δ t ist dann der Quotient

    $$P_{D} = \frac{W}{\Delta\;  t}$$

  • Die Momentanleistung PM muss mittels Differenzialquotient bestimmt werden:

    $$P_{M} = \frac{dW}{dt}$$

    Umgeformt ergibt sich für die Momentanleistung:

    Momentanleistung = Momentankraft • Momentangeschwindigkeit

    $$P = F * v$$

08. Was bezeichnet man als Wirkungsgrad?

Jede Maschine nimmt eine größere Leistung auf, als sie abgibt, da in ihr Verluste auftreten (Reibung, Luftwiderstand, Erwärmung usw.).

  • Unter dem Wirkungsgrad η (eta) versteht man das Verhältnis der abgegebenen bzw. nutzbaren Leistung Pab zur zugeführten Leistung Pzu:

    $$η = \frac{P_{ab}}{P_{zu}}$$

    Es ist häufig zweckmäßiger, den Wirkungsgrad nicht als Verhältnis zweier Leistungen, sondern als Verhältnis zweier Arbeiten auszudrücken: Dann ist der Wirkungsgrad

    $$η = \frac{Nutzarbeit}{Gesamtarbeit} = \frac{W_{ab}}{W_{zu}}$$

    Da die von einer Maschine abgegebene Arbeit Wab stets kleiner ist als die zugeführte Arbeit Wzu, ist der Wirkungsgrad η jeder Maschine immer kleiner als 1 [0

  • Bei mehrfacher Energieumsetzung bzw. -übertragung ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:

    $$η = η_{1} * η_{2} * … * η_{n}$$

09. Was versteht man unter Energie und warum unterscheidet man potenzielle Energie und kinetische Energie?

Energie E erfasst die Fähigkeit eines Körpers bzw. eines physikalischen Systems, Arbeit zu verrichten. Sie ist eine Zustandsgröße. Zwischen mechanischer Arbeit und Energie besteht der Zusammenhang: Δ E = W. Die Energie wird in den gleichen Einheiten gemessen wie die Arbeit (J; Nm; Ws).

In der Mechanik wird unterschieden zwischen potenzieller Energie (auch Lageenergie) und kinetischer Energie (Energie der Bewegung).

Die potenzielle Energie Epot ist diejenige Energie, die ein ruhender Körper infolge von Krafteinwirkung (Arbeit) innerhalb eines Bezugssystems besitzt. Wird an einem Körper z. B. Hubarbeit verrichtet, steckt diese dann in Form von potenzieller Energie in dem Körper. Diese Energie entspricht nicht der gesamten potenziellen Energie, sondern nur dem Zuwachs an potenzieller Energie beim Heben um die Strecke h (Ausgangspunkt kann willkürlich gewählt werden). Wird der Körper um die Höhe h gesenkt, gibt er diese bestimmte Energie Epot ab. Durchfällt ein Körper die Höhe h, so wandelt sich seine potenzielle Energie Epot in kinetische Energie Ekin gleicher Größe um.

Auch die zur Verformung elastischer Körper aufzuwendende Verformungsarbeit WF wird im Körper als potenzielle Energie gespeichert und als Spannungsarbeit bzw. Spannungsenergie bezeichnet:

$$E_{pot} = \frac{Ds_{2}}{2}$$

Dabei ist:

Epotpotenzielle Energie (Spannenergie)
DFederkonstante k
sFederweg

Die Rückstellkraft bei Federschwingungen hat ihre Ursache in der Elastizität. Nach dem Hooke’schen Gesetz ist die verformende Kraft proportional der Verformung. Deshalb sind elastische Schwingungen harmonisch. Die Federkonstante k ist eine Richtgröße und berechnet sich k = F/Δ l, wobei F die Kraft ist, die die Längenänderung Δ l verursacht.

Kinetische Energie oder Energie der Bewegung ist dann in einem Körper vorhanden, wenn an ihm Arbeit verrichtet wird (Beschleunigungsarbeit). Die kinetische Energie berechnet sich nach der Gleichung:

$$E_{kin} = \frac{1}{2} m * v_{2}$$

Dabei ist:

Ekinkinetische Energie
mMasse des Körpers
vGeschwindigkeit des Körpers

Eine Geschwindigkeitsänderung von v1 auf v2 hat demzufolge eine Änderung der kinetischen Energie zur Folge:

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10. Was sagt der „Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie“ aus?

Entsprechend dem allgemeinen Energieerhaltungssatz kann Energie nicht erzeugt oder vernichtet, sondern nur übertragen oder umgewandelt werden: ∑ E = konstant. Bezogen auf das Teilgebiet der Mechanik bedeutet das:

Merke

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In einem abgeschlossenen mechanischen System bleibt die Summe der mechanischen Energie (potenzielle und kinetische Energie) konstant:

$$E_{pot} + E_{kin} = konstant$$

11. Wie werden Reibungskräfte erklärt und berechnet?

In der Praxis gibt es keine rein mechanischen Vorgänge; bei Bewegungen treten Energieumwandlungen auf: Ein Teil der mechanischen Energie wird infolge der Reibung in Wärmeenergie umgewandelt.

Als Reibung wird ein Vorgang bezeichnet, bei dem zwischen einander berührenden und sich gegeneinander bewegenden Körpern Kräfte auftreten, die Reibungskräfte. Die am bewegten Körper auftretende Reibungskraft FR ist der Bewegungskraft (Antriebskraft FA) entgegengerichtet: Bei gleichförmiger Bewegung ist

$$F_{R} + F_{A} = 0$$

Die Reibungskraft FR ist proportional der zwischen den Körpern wirkenden Normalkraft FN.

Die Reibungszahl μ (mü) beschreibt die Abhängigkeit von der Art und Beschaffenheit der Berührungsflächen. Es wird unterschieden zwischen Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung:

  • Haftreibung tritt auf, wenn ein Körper, der auf einem anderen Körper ruht, in Gleitbewegung versetzt werden soll. Haftreibung ist vorhanden, wenn die Antriebskraft FA die Haftreibungskraft FHR nicht übersteigt:

    $$F_{H} = μ_{HR} * F_{N}$$

    Dabei ist:

    μHRHaftreibungszahl
    FNNormalkraft (mit der der Körper senkrecht auf die Unterlage drückt)

    Beispiel: Schuhe auf Straßenbelag

  • Gleitreibung:

    Wenn ein fester Körper auf einer Unterlage gleitet bzw. rutscht, wird diese Bewegung durch Gleitreibung behindert:

    $$F_{GR} = μ_{GR} * F_{N}$$

    Dabei ist:

    μGRGleitreibungszahl
    FNNormalkraft

    Beispiel: gleitende Maschinenteile

    Reibung verursacht neben Alterung, Verschleiß, Korrosion u. Ä. Schäden an Maschinenteilen. Zur Verminderung der Reibung dienen Schmierstoffe (Öle, Fette u. Ä.), die Unebenheiten zwischen gleitenden Körpern ausgleichen und die Gleiteigenschaften verbessern.

  • Rollreibung:

    Wenn ein Körper auf einem anderen rollt, tritt Rollreibung auf:

    $$F_{RR} = μ_{RR} = \frac{F_{N}}{r}$$

    Dabei ist:

    μRRRollreibungszahl
    rRadius des rollenden Körpers

    Beispiel: Kugellager

  • Allgemein gilt:

    $$F_{RR}