Schätzen

Stichprobentheorie

Das Kapitel Schätzen in unserem Online-Kurs Stichprobentheorie besteht aus folgenden Inhalten:

1. Schätzfunktionen

   Schätzen > Schätzfunktionen

   

   
Ist eine Kenngröße unbekannt, wie beispielsweise der Erwartungswert, ist es möglich diesen mit Hilfe einer einfachen Stichprobe zu schätzen.Von einer einfachen Stichprobe ist dann die Rede, wenn alle Objekte losgelöst voneinander 'gezogen' werden.SchätzfunktionenIm Falle eines unbekannten Parameters in einer Grundgesamtheit, können Schätzfunktionen zum Einsatz kommen. Die Schätzfunktionen werden durch den Zusatz des Zeichens „^“ komplementiert, ...

2. Aufgaben zu Schätzfunktionen mit Beispielen und Berechnungen

   Schätzen > Schätzfunktionen > Aufgaben zu Schätzfunktionen mit Beispielen und Berechnungen

   

   1. Aufgabe Anhand einer einfachen Stichprobe konnte ermittelt werden, dass sechs von zehn in Deutschland lebende Personen rauchen. a) Schätzen Sie auf der gegebenen Grundlage die Anzahl rauchender Personen in der deutschen Bevölkerung. b) In Deutschland leben derzeit ca. 83 Mio. Bürger. Wie hoch ist die Anzahl der Raucher insgesamt? Lösung:Aufgabe a) lässt sich wie folgt beantworten: Bekannt ist, dass sechs von zehn in Deutschland lebende Personen Raucher sind. ...

3. Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

   Schätzen > Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften

   

   KriterienDie Qualität der Schätzungen kann an bestimmten Kriterien gemessen werden, da diese von besonderer Wichtigkeit für eine Schätzfunktion sind. Zu den Kriterien zählen: (1) Erwartungstreue, (2) Konsistenz, (3) asymptotische Erwartungstreue, (4) Effizienz. Die dazugehörigen Bedeutungen zu den jeweiligen Begriffen werden im weiteren Verlauf verdeutlicht und auführlicher thematisiert.ErwartungstreueDas Video wird geladen...(erwartungstreue) Entspricht ein ...

4. Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue

   Schätzen > Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften > Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue

   

   1. AufgabeDie Schätzfunktionen $x_i iid$ liegt vor. Welche davon erweist sich als erwartungstreu für den Erwartungswert?Überprüfe:a) $\hat{\mu }_1=\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1.$b) $\hat{\mu }_2=0,2X_1+0,9X_2-0,1X_3$c) $\hat{\mu }_3=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}X_i+2X_1.$ iid= engl. indipendently identically distributed (unabhängig identisch verteilt) Lösung:a) $E(\hat{\mu }_1)=E(\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1).$Auf Grund der Linearität des ...

5. Asymptotische Erwartungstreue

   Schätzen > Asymptotische Erwartungstreue

   

   Unter dem Begriff der asymptotischen Erwartungstreue ist zu verstehen, dass eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$  für erheblich große Stichproben (fast) erwartungstreu ist, jedoch nicht für kleinere Stichproben.Genauer gesagt beutetet es, dass dann eine Schätzfunktion $\hat{\Theta }$ asymptotisch erwartungstreu ist, wenn ein zu schätzender Parameter $\Theta $ einen unendlichen großen Stichprobenumfang „n“ umfasst und dessen Erwartungswert ...

6. Effizienz

   Schätzen > Effizienz

   

    Als effizient wird jene Schätzfunktion bezeichnet, welche unter all den zu untersuchenden erwartungstreuen Schätzfunktionen die wenigste Varianz beinhaltet. Durch die folgenden Beispiele und Aufgaben soll der Begriff der Effizienz veranschaulicht werden: Bei welcher der folgenden Schätzfunktionen kann von einer „Effizienz“ gesprochen werden? Überprüfen Sie:a) $\hat{\mu }_1=X_1+X_3.$b) $\hat{\mu }_2=1,2X_1-0,2X_2.$c) $\hat{\mu }_3=0,4X_1+0,6X_2.$d) ...

7. Konsistenz

   Schätzen > Konsistenz

   

   Das Video wird geladen...(konsistenz-und-erwartungstreue)  Gegeben ist eine Folge von Schätzfunktionen: $\hat{\Theta }_{1,}\hat{\Theta }_{2,}\hat{\Theta }_{3,}\text{...},\hat{\Theta }_n$ .Von einer "Konsistenz" des Parameters $\Theta$ kann dann gesprochen werden, wenn für jede Zahl c>0 gilt. In dem Fall gilt dann auch, dass: $\lim _{n\rightarrow \infty }P\text (\hat{\Theta }_n\in \text [\Theta -c;\Theta +c\text ]\text )=0$ ist.Wenn die Konsistenz einer Folge ...

8. Konfidenzintervalle

   Schätzen > Konfidenzintervalle

   

   Bislang wurden für die Vorgehensweise Punktschätzungen für Parameter genutzt.Nachfolgend sollen jedoch die Vor- und Nachteile aufgezeigt werden, welche damit im Zusammenhang stehen.Vor- und NachteilVorteilNachteilAls Ergebnis wird nur ein einziger Wert geliefert.Es besteht nur eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit, dass der exakt zu bestimmende Parameter getroffen wird.Es besteht jedoch die Möglichkeit die Trefferwahrscheinlichkeit insofern zu erhöhen, dass anstellen eines ...

9. Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

   Schätzen > Konfidenzintervalle > Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

   

   Die einzelnen Teilschritte der jeweiligen Schemas werden im Folgenden beschrieben.Schema (1)Das erste Schema bezieht sich auf den Konfidenzintervall bei einer normalverteilten Grundgesamtheit und bekannter Varianz.Genaue Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha $ , dass sich häufig in der Aufgabenstellung finden lässt. Aus der Berechnung geht $1-\frac{\alpha } 2$ einher.Das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der Standardnormalverteilung N(0,1) wird bestimmt.Mit Hilfe der ...

10. Anwendung der Schemas auf Beispiele

    Schätzen > Konfidenzintervalle > Anwendung der Schemas auf Beispiele

    

    In diesem Teil finden die Schemas in den folgenden Beispielen ihre Anwendung.Die Vorgehensweise verläuft auch hier schrittweise. Beispiele zu Schema (1)Diese Beispiele beziehen sich auf die Bestimmung des Konfidenzintervalls für $\mu$ bei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz.1. Beispiel:Für den Erwartungswert $\mu$ einer $N(\mu ,\sigma ^2)$  Verteilung soll ein Konfidenzintervall von 95 % bestimmt werden. Dabei hat die Stichprobe den Umfang n = ...

11. Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen

    Schätzen > Konfidenzintervalle > Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen

    

    1. AufgabeAus einer Anzahl an StudentInnen wird innerhalb des universitären Rahmens eine Stichprobe genommen, indem 50 StudentInnen willkürlich herausgezogen und befragt wurden. Aus der Stichprobe ging ein Durchschnittsverdienst von 651 € einher. Dabei konnte eine Standardabweichung von 102 € festgestellt werden.Wie viel beträgt der Konfidenzintervall für den Erwartungswert, ausgehend von einem Konfidenzniveau von 95 %?Lösung:Mit Hilfe des Baumschemas wird deutlich, ...

12. Notwendiger Stichprobenumfang

    Schätzen > Konfidenzintervalle > Notwendiger Stichprobenumfang

    

    Das Video wird geladen...(notwendiger-stichprobenumfang)   Wenn die maximale Intervalllänge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert und die Streuung in der Grundgesamtheit bekannt sind, dann ist dafür die relevante Anzahl an Stichprobenelementen folgendermaßen gegeben: $n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2.$ Ein Konfidenzintervall von 99 Prozent wurde ermittelt. Dieser hat die Form [2;4]. Dabei handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit ...