Wahl der Hypothese

1. Beispiel:

Ein Lehrer stellt die Behauptung auf, dass die SchülerInnen der Schule durchschnittlich 58 kg wiegen. Bei einer willkürliche Auswahl von 40 SchülerInnen  (n = 40 SchülerInnen), kommt ein Durchschnittsgewicht von 67 kg zustande.

Es ist vorauszusetzen, dass es sich bei dem Körpergewicht, um eine Normalverteilung handelt und eine Varianz von $\sigma ^2=16[\mathit{kg}^2]$ hat.

Ist es möglich die Behauptung des Lehrers auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von $\alpha = 5\%$ zu widerlegen?

Wahl des richtigen Tests

1. Wie hoch ist die Anzahl der vorliegenden Stichproben?
-> Es liegt ein einfacher Stichprobenumfang (n = 40) nach Voraussetzung vor.
-> Folglich bedeutet es, dass Schema a) anzuwenden ist.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Behauptung des Lehrers zielt auf das Durchschnittsgewicht der SchülerInnen und damit auf den Parameter $\mu$.
-> Folglich bedeutet es, dass die Tests 3.2.1 bis 3.2.4 in Betracht kommen.

3. Wie ist die Verteilung der Grundgesamtheit?
-> Gemäß der Aufgabenstellung ist die Grundgesamtheit normalverteilt.
-> Zur Wahl stehen die Tests 3.2.1 oder 3.2.2.

4. Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit gegeben ?
-> Ja, denn diese entspricht $\sigma =4\mathit{kg}.$
-> Anzuwenden ist Test 3.2.1.

1. Anwendungsvoraussetzungen
   Es konnte festgestellt werden, dass diese gegeben sind.
   
   
2. Wahl der Hypothese
   Kann die Hypothese des Lehrers widerlegt werden?
   Überprüfe:
   a) $H_0:\mu =58$ gegen $H_1:\mu \neq 58.$
   Es wird ersichtlich, dass ein zweiseitiger Test gegeben ist.
   
   
3. Festlegung des Signifikanzniveaus
   Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.
   
   
4. Testfunktionswert
   $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{67-58} 4\sqrt{40}=14,23$
   
   
5. Verwerfungsbereich
   B wird in Anlehnung an den 2. Schritt berechnet:
   $z_{1-\alpha }=z_{1-0,05/2}=z_{0,975}=1,96.$
   Der Verwerfungsbereich entspricht: $B=\text (-\infty ;-1,96\text )\cup \text (1,96;\infty \text )$
   
   
6. Testentscheidung
   Weil $\text v\in \mathit{B.}$, 14,23 > 1,96, wird $H_0$ verworfen. 
   
   
7. Deutung
   Es wurde ersichtlich, dass auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 5% abgesichert werden konnte, dass das Durchschnittsgewicht der SchülerInnen keine 58 kg beträgt.
   

2. Beispiel:

Im Rahmen einer Bundesratssitzung wird die Entscheidung getroffen, dass die Zigarettenmarken dann höher besteuert werden sollen, wenn deren Nikotingehalt im Durchschnitt mindestens zwei Milligramm streut.
Zu Gunsten der Stichprobe, werden 19 Zigaretten innerhalb einer Zigarettenschachtel daraufhin getestet. Daran soll sich zeigen, ob eine Sonderbesteuerung realisierbar ist. Bei der Zigarettenmarke MALE konnten Werte von: 6 * 18mg, 11 * 19 mg, 2*21 mg entnommen werden.
Zu überprüfen gilt, ob die Marke MALE auf einem Signifikanzniveau von 1% besteuert werden muss. Vorausgesetzt wird hier eine normalverteilte Grundgesamtheit.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben ist ein einfacher Stichprobenumfang (n = 19) nach Voraussetzung.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Mit der Hypothese wird die Streuung des durchschnittlichen Nikotingehalts verdeutlicht und bezieht sich auf den Parameter $\sigma .$ Dabei spielt es keine Rolle, ob auf die Streuung $\sigma$ oder die Varianz $\sigma^2$ getestet wird.
-> Folglich ist hier der Test 3.2.6 anzuwenden.

3. Handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit?
-> Ja, denn nach der Aufgabenstellung ist der Test 3.2.6 anzuwenden.

Chi – Quadrat – Test für die Varianz

1. Anwendungsvoraussetzungen
   Es konnte festgestellt werden, dass diese erfüllt sind.
   
   
2. Wahl der Hypothese
   Überprüft werden soll, ob die Sonderbesteuerung rechtmäßig durchgeführt werden kann. Als Alternativhypothese wird das gewählt, was gezeigt werden soll d.h. c) $H_0:\sigma ^2\leqslant 4$ gegen $H_1:\sigma ^2>4.$
   
   
3. Festlegung des Signifikanzniveaus
   Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,01$.
   
   
4. Testfunktionswert
   Da der Erwatungswert nicht bekannt ist, ist folgendes zu berechnen:
   $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$
   Somit ergibt sich $\overline x=\frac{6\ast 18+11\ast 19+2\ast 21}{19}=18,8947.$

$s^2=\frac 1{19-1}\sum _{i=1}^{19}(X_i-\overline x)^2=\frac 1{18}\ast 13,77=0,765.$
Demnach ist  s = 0,875 und somit $v=\frac{18\ast 0,875^2} 4=3,44.$

          5. Verwerfungsbereich
             $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Zu berechnen ist das Fraktil x der $\chi ^2(19-1)$ -Verteilung
             zu $x_{1-\alpha }=34,805.$ Also ist $B=(34,805;\infty ).$

         6. Testentscheidung
             Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ kommt es zu keiner Verwerfung von $H_0$ .

         7. Deutung
             Es wird ersichtlich, dass auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von 1% der durchschnittliche  Nikotingehalt weniger als zwei Millimeter streut, nicht widerlegt werden kann. Der Test macht somit deutlich, dass eine Sonderbesteuerung nicht durchzusetzen ist.

3. Beispiel:

Die Deutsche Gesellschaft der Hochschullehrer verfügt über viele Mitglieder. Von diesen werden willkürlich 80 Mitglieder nach ihrer Stellung befragt. Dabei hat sich ergeben, dass unter den 80 Mitgliedern 25 ordentliche Professoren, 30 Privatdozenten und 25 Juniorprofessoren sind. Auf der Basis eines Signifikanzniveaus von 2,5 % ist nun zu überprüfen, ob es sich um eine gleichverteilte Grundgesamtheit handelt.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es ist davon auszugehen, dass ein einfacher Stichprobenumfang (n = 80) gegeben ist.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die Verteilung der Grundgesamtheit und nicht nur einen Parameter.
-> Folglich ist der Test 3.2.7 anzuwenden, sprich: $\chi ^2$-Anpassungstest

1. Anwendungsvoraussetzungen
   Es konnte festgestellt werden, dass diese gegeben sind.
   
   
2. Wahl der Hypothese
   Bis auf $H_0$ gibt es keine andere Wahl der Hypothese. Es handelt sich dabei um eine gleichverteilte Grundgesamtheit (GG). Das bedeutet soviel wie, dass sowohl die selbe Anzahl an ordentlichen Professoren, Privatdozenten und Juniorprofessoren vertreten sind.
   
   $H_1$: Entspricht der normalverteilten Grundgesamtheit (GG)
   Es müssen keine Parameter geschätzt werden, weswegen r = 0 ist.
   
   
3. Festlegung des Signifikanzniveaus
   Gemäß der Aufgabenstellung ist: $\alpha =\frac{2,5}{100}=0,025.$
   
   
4. Testfunktionswert
   Aufgrund der drei verschiedenen Typen an Mitgliedern ist k = 3. 
   $h_1=30,h_2=25,h_3=25.$
   Wenn die Gleichverteilung bekannt wäre, so würde gelten: $p_1=\frac 1{3,}p_2=\frac 1 3,p_3=\frac 1{3.}$
   $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{i=1}^n\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n=\frac 1{80}\left(\frac{25^2}{1/3}+\frac{25^2}{1/3}+\frac{30^2}{1/3}\right)-80=\frac{2150}{1/3}-80=\frac 1{80}\left(\frac{2150}{1/3}\right)-80.$
   v= 0,63
   
   
5. Verwerfungsbereich
   c) $B=\text (x_{1-0,025};\infty \text )=\text (x_{0,975};\infty \text ).$ Ermittelt wird das Fraktil x der $\chi ^2(k-r-1)=\chi ^2(3-0-1)=\chi ^2(2)$ -Verteilung zu $x_{1-\alpha }=7,378.$ Demnach ist $B=(7,378;\infty ).$
   
   
6. Testentscheidung
   Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ , kommt es zu keiner Verwerfung von $H_0$ 
   
   
7. Deutung
   Es konnte auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 2,5 % nicht widerlegt werden, dass die einzelnen Mitgliedergruppen der Professorvereinigung in verschiedener Anzahl vertreten sind.

4. Beispiel:

Die Sportlehrer Schott und Schmidt sitzen gemeinsam auf der Zuschauertribüne und unterhalten sich über das Fußballspiel ihrer beiden Schulklassen. Dabei spekulieren Sie, welche Klasse am schnellsten ist und die höchste Ausdauer hat. Während des Spiels beginnen sich die Sportlehrer zu duellieren und entscheiden schlussendlich das herauszufinden. Zugunsten der Stichprobe wurden 33 SchülerInnen ausgewählt, die einen 1000-Meter-Lauf auf Zeit machen sollten. Dabei kamen die folgenden Mittelwerte sowie Standardabweichungen heraus:

Schotts Klasse: $\overline x_1=189\mathit{sec},$ $s_1=11\mathit{sec}.$ 
Schmidts Klasse:  $\overline x_2=214\mathit{sec},$  $s_2=4\mathit{sec.}$ 

Schmidt ist mit dem Ergebnis nicht einverstanden und sagt, dass seine Schülerinnen und Schüler trotzdem schneller sind. Überprüft werden soll nun, ob diese Hypothese auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von 5% zu widerlegen ist. Es handelt sich bei beiden um eine hyperbolische Grundgesamtheit.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit einem Umfang von $n_1=33$ und $n_2=33$
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Im Interesse von Schott und Schmidt liegt der Vergleich der durchschnittlichen Laufzeit von $\mu _1$ und $\mu _2$ 
-> Folglich sind nur die Tests 3.3.1-3.3.3 anwendbar.

3. Welche Verteilung der Grundgesamtheiten liegt vor?
-> Es handelt sich sowohl im ersten als auch im zweiten Fall um eine hyperbolische Verteilung. Dabei sind die Umfänge der Stichproben größer als 30.
-> Folglich ist der Test 3.3.3 anzuwenden.

Approximativer Zweistichproben - Gaußtest

1. Anwendungsvoraussetzungen

   Es zeigte sich, dass diese gegeben sind.

2. Wahl der Hypothese

   Es soll überprüft werden, ob die Aussage von Schmidt widerlegt werden kann.

   $\underbrace{H_0:\mu _1\geqslant \mu _2}_{\mathit{Hypothese}\mathit{von}\mathit{Maier}}$ gegen $\underbrace{H_1:\mu _1<\mu _2}_{\mathit{Alternativhypothese}}.$

    

    dabei handelt es sich um einen einseitigen Test, denn geprüft wird: $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen  $\mu _1<\mu _2.$

3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt

   Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

4. Testfunktionswert

   Alle notwendigen Werte sind vorhanden, weswegen
   $\text v=\frac{189-214}{\sqrt{\frac{121}{33}+\frac{16}{33}}}=\frac{-25}{\sqrt{\frac{137}{33}}}=-12,27.$

5. Verwerfungsbereich

   $B=\text (-\infty ;-z_{1-0,05}\text )=\text (-\infty ;-z_{0,95}\text ).$ Bestimmt wird das 0,95 Fraktil z der N(0,1)-Verteilung zu 1,6449.

   Demnach ist $B=\text (-\infty ;-1,6449\text ).$

6. Testentscheidung

   Weil $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen

7. Deutung

   Auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von fünf Prozent kann die Äußerung von Schmidt widerlegt werden.

5. Beispiel:

Nachdem die Autobahnpolizei auf der Autobahn A3 Richtung Köln eine Stichprobenkontrolle durchgeführt hat, kamen folgende Werte raus:

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es handelt sich dabei um zwei verbundene Stichproben.
-> Folglich kann nur Schema c) zum Einsatz kommen.

2. Was genau ist zu testen?
-> Zu testen ist die Unabhängigkeit bei unbekannt verteilter Grundgesamtheit.
-> Der Test 3.4.4. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest ist anzuwenden.

1. Anwendungsvoraussetzungen

   Diese konnten bestätigt werden.

2. Wahl der Hypothese

   $H_0$: Der Zusammenhang von Promille und Geschlecht sind in der Grundgesamtheit unabhängig.

   $H_1$: Es gibt einen Zusammenhang zu beiden.

3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt

   Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,02$.

4. Testfunktionswert

   Es ist nötig vorerst die erwarteten Häufigkeiten $(h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}),$ unter der Annahme der Unabhängigkeit zu bestimmen, um $\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}$ berechnen zu können.

5. Verwerfungsbereich
$B=\text (x_{0,98};\infty \text ).$
Das 0,98-Fraktil der $\chi ^2\left((2-1)(2-1)\right)=\chi ^2(1)$-Verteilung ist x.
Es existiert für 0,98 kein Tabellenwert, weswegen die beiden benachbarten Werte hinzugezogen werden müssen. Das bedeutet: $x_{0,975}=5,024<x_{0,98}<6,635=x_{0,99}.$

6. Testentscheidung

Somit ist festzustellen, dass $\text v>x_{0,99}>x_{0,98,}$ womit v im Verwerfungsbereich liegt, denn $\text v\in \mathit{B.}$ Demnach ist $H_0$ abzulehnen.

7. Interpretation 

Der Zusammenhang der beiden Indikatoren ist auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 2% statistisch abgesichert. Demnach gibt es eine Verbindung zwischen alkoholisierten Fahrern und dem Geschlecht.

b) Das Geschlecht der am Steuer Sitzenden ist hier nicht von Bedeutung, d.h.:

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben? 
-> Es handelt sich bei den gegebenen Daten um die Durchführung einer Stichprobe bezüglich der Alkoholisierung von Fahrern.
-> Folglich ist Schema a) zu wählen.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder auf einen Parameter? 
-> Der Anteil p der alkoholisierten Fahrer am Steuer ist zu testen, was einer dichotomen Grundgesamtheit entspricht.
-> Folgich ist der approximative Einstichproben-Gaußtest (Test 3.2.5) anzuwenden.

1. Anwendungsvoraussetzungen
   Zu überprüfen ist, ob die Approximationsbedingungen gegeben sind: Die Stichprobe umfasste den Umfang von n = 113.
   $n\overline x=\frac{113\ast 61}{113}\geqslant 5\text{und}n\overline x=61\leqslant 108=n-5.$
   
   
2. Wahl der Hypothese
   c) $H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$
   
   
3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt
   Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,001$.

   Gezeigt werden soll, dass die meisten Fahrer am Steuer alkoholisiert sind, weswegen p > 0,5 verdeutlicht wird durch: $H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$ $H_1$ ist dann statistisch abgesichert, wenn es durch die Testentscheidung zu einer Verwerfung von $H_0$ kommen muss. Auf einem Signifikanzniveau von α = 0,001 ist die von Hypothese $H_1:p>0,5$ nachweisbar. Wenngleich es zu keiner Verwerfung von $H_0$ kommt, ist die Richtigkeit von $H_0$ bei weitem noch nicht bewiesen. Nach wie vor besteht auch hier die Möglichkeit, dass ein Fehler zweiter Art mit unbekannter Wahrscheinlichkeit β vorliegt.

   
   
   
4. Testfunktionswert
   Es ist $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n=\frac{\frac{161}{13}-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\sqrt{113}=0,8466.$
   
   
5. Verwerfungsbereich
   $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$ Gegeben ist das 99,9 % -Fraktil der N(0,1)-Verteilung durch:
   $z_{1-\alpha }=3,0902.$
   Demnach ist $B=\text (3,0902;\infty \text ).$
   
   
6. Testentscheidung
   Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ kann die Hypothese $H_0$ nicht verworfen werden.
   
   
7. Deutung
   Auf er Grundlage eines Signifikanzniveaus von 0,1 % kann nicht widerlegt werden, dass die Hälfte der am Steuer Sitzenden alkoholisiert sind.