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Beispiel zur Varianzanalyse
Als Beispiel werden die Einkommensverteilungen in unterschiedlichen Gruppen A, B, und C betrachtet.
Die Einkommensverteilung der Gruppe A ist:
Gruppe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Einkommen | 5000 | 5000 | 5000 | 5000 | 5000 |
Die Einkommensverteilung der Gruppe B lautet:
Gruppe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Einkommen | 3000 | 4000 | 5000 | 6000 | 7000 |
und für die Gruppe C sind die Einkommen:
Gruppe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Einkommen | 1000 | 2000 | 5000 | 8000 | 9000 |
Wie stark streuen die Einkommen in den einzelnen Gruppen?
Das Durchschnittseinkommen, hier als arithmetisches Mittel berechnet (wobei der Median das gleiche Ergebnis liefern würde), liegt in allen Gruppen bei 5.000 €. Man erkennt aber direkt, dass die Verteilung in Gruppe B ungleichmäßiger als in Gruppe A ist, denn dort ist das Einkommen gleichverteilt. Die sogenannte Streuung ist in B höher als in A. In Gruppe C streut das Einkommen sogar noch stärker als in B, die „Schere“ zwischen dem kleinsten und dem größten Einkommen ist noch größer.
Mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
Die mittlere quadratische Abweichung
bzw.
Die zweite Formel für
Merke: Viele Autoren bevorzugen
Für die mittlere quadratische Abweichungen rechnet man
Mit dem Verschiebungssatz kommt man auf das gleiche Ergebnis:
Standardabweichung
Die Standardabweichung s berechnet man als Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung, also
Sie hat (im Gegensatz zur mittleren quadratischen Abweichung) die gleiche Dimension wie die Beobachtungswerte.
Die Standardabweichung ist also
Interpretation der Varianz
- Die Abweichungen als Maß dafür, wie schlecht die Schätzung des Mittelwertes ist, werden bei der mittleren quadratischen Abweichung
stark gewichtet, nämlich quadriert. Von Nachteil ist allerdings, dass die Dimension (hier ) nicht mit der Dimension der Beobachtungswerte übereinstimmt. Dieser Nachteil wird durch die Standardabweichung aufgehoben .
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