Exponentielle Glättung

Die Methode der exponentiellen Glättung (= exponential smoothing) ragt aus den Zeitreihen-Modellen ein wenig heraus und wird deshalb hier auch gesondert behandelt. Sie ist ein heuristisches Verfahren, ihr liegt kein explizit formuliertes Zeitreihen-Modell zugrunde. Anders hingegen parametrische Zeitreihen-Modelle wie Box-Jenkins-Verfahren oder die Spektralanalyse, die allerdings beide im Rahmen dieser einführenden Analyse nicht behandelt werden.

Die exponentielle Glättung mit erster Ordnung prognostiziert den Wert der . Periode nach der Formel

1. Formel: ,
   Möchte man sofort den Prognosewert für die (t + 1)-te Periode in Abhängigkeit der wahren Werte und des Startwertes haben, so nutzt man am besten diese Formel.
   
   
2. Formel: (Einschrittprognose)
   Die Ein-Schritt-Prognose ist in der Methode der exponentiellen Glättung ein gewogenes arithmetisches Mittel aus dem (tatsächlichen) Zeitreihen-Wert der Periode t und dem für die Periode t prognostizierten Wert (wobei diese Prognose in der Periode t-1 abgegeben wurde).
   
   
3. Formel: (partielle Korrektur der Fehlschätzung der Vorperiode).
   Wenn man mit die Fehlschätzung der t. Periode bezeichnet, so lässt sich die Prognose mit dieser Formel bestimmen.
   
   

Bei allen Formeln steht den wahren Wert der t. Periode und (sprich: „y-t-Dach“) den in der (t-1). Periode prognostizierten Wert der Folgeperiode, also jenen für die t. Periode.
ist der Glättungsparameter, welcher immer zwischen 0 und 1 liegt. Ist näher bei 0, wird der für die t. Periode prognostizierte Wert stärker gewichtet als der tatsächliche Wert der t. Periode, ist näher 1 verhält es sich andersherum.

Wir differenzieren stets den prognostizierten Wert (mit Dach) vom wahren Wert (ohne Dach). Wichtig ist zudem die Festlegung des Startwertes, also . Häufig verwendet man hier oder das arithmetische Mittel der bekannten Beobachtungswerte.

Berechnung exponentielle Glättung am Beispiel

Prognostiziere den Wert für die sechste Periode. Glättungsparameter sei , der Startwert ist .

Man berechnet nach unterschiedlichen Methoden den gleichen Wert:

1. Formel: Die wahren Werte der ersten fünf Perioden werden zur Prognose der sechsten herangezogen. Mit und erhält man
   
   
   
   
2. Formel: Man prognostiziert zunächst die Werte für die 2., 3., 4. und 5. Periode, um danach erst jenen für die 6. vorhersagen zu können:
   
   
   
3. Dritte Formel
   Nach dem Vorgehen der Prognosefehler berechnet man
   • zunächst die Vorhersagewerte ,
   • dann die Prognosefehler und
   • benutzt nur jenen der 5. Periode, also :
   • und damit dann die Prognose für die 6. Periode:
     

Zum eigenen Nachrechnen seien die Prognosewerte angegeben

• in Zeile drei der folgenden Tabelle für einen anderen Glättungsparameter und Startwert wie oben sowie
• in Zeile 4 der folgenden Tabelle für einen anderen Startwert ŷ₁, nämlich dem arithmetisches Mittel der fünf wahren Werte, also und alter Glättungsparameter von .
  
  

  t	1	2	3	4	5	6
  	5	6	8	10	14
  	5	5	5,5	6,75	8,375	11,1875
  	8,6	7,16	6,696	7,2176	8,3306	10,5983