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Die Schiefe von Daten kann man sehr gut in einem Stabdiagramm sichtbar machen, in dem der Maximalwert nicht in der Mitte liegt. Von einer rechtsschiefen bzw. linkssteilen Verteilungen spricht man, wenn sie weiter nach rechts abfallen als nach links. Fallen die Werte jedoch weiter nach links ab als nach recht, so spricht man von einer linksschiefen bzw. rechtssteilen Verteilung.
Man spricht von einer symmetrischen Verteilung, wenn ungefähr die Hälfte der Daten unter bzw. über dem mittleren Wert liegt und meisten Beobachtungswerte ca. in der Mitte sind.
Im Gegensatz dazu liegt eine u-förmige Verteilung vor, wenn an dem rechten und dem linken Rand der Skala gleichviele Beobachtungswerte liegen und mittig nur sehr wenige.
Wie der Name schon vermuten lässt, liegt eine Gleichverteilung vor, wenn die Anzahl der Beobachtungswerte bei allen Merkmalsausprägungen gleich ist.
Momente in der Statistik
Bevor wir ein Schiefemaß entwickeln können, müssen wir als erstes den Begriff der Momente besprechen.
Unter dem k-ten Moment der Verteilung x um den Wert a versteht man die Zahl
Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen Momenten für die gilt
Merke
Da
Da für
Es existieren unterschiedliche Maße bzw. Regeln für die Schiefe einer Verteilung, die lauten:
- die Momentschiefe
- die Quartilsschiefe
- die Fechnersche Lageregel
Momentschiefe
Die Formel für die Momentschiefe
Man dividiert also das 3. gewöhnliche Moment durch die dritte Potenz der Standardabweichung.
Dabei ist dann die Verteilung rechtsschief, wenn
Quartilsschiefe
Die Quartilsschiefe
Man bildet also den Quotienten aus der Differenz vom Abstand zwischen oberem Quartil und Median (
Weil in rechtsschiefen Verteilungen das untere Quartil
Merke
Die Quartilsschiefe
Fechnersche Lageregel
Nach der Fechnerschen Lageregel ist eine Verteilung rechtsschief, wenn gilt, dass der Modus kleiner als der Median ist und dieser wiederum kleiner als das arithmetische Mittel:
Schiefekennzahlen
Beispiel
Beispiel 45:
Für eine besseres Verständnis der Schiefekennzahlen wollen wir diese für unser Beispiel der Extratrainingsstunden der Fußballprofis des Median-City FC anwenden.
Als erstes bestimmt man den Median
Dies könne wir dann in die Formel der Quartilsschiefe
Die Momentschiefe ist hingegen etwas mühsamer zu berechnen:
Sowohl die Quartilsschiefe
Merke
Es sei darauf hingewiesen, dass bei den Schiefekennzahlen
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