Inhaltsverzeichnis
Ein weiteres Lagemaße sind die Fraktile bzw. Quantile, die in der Statistik eine große Rolle spielen.
Ein
Dabei ist
Beispiel
Für das Beispiel aus der Aufgabe Fußballprofis des Median-City FC etwa liegt folgende geordnete Urliste vor:
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 5 | 8 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 12 |
Es handelt sich um n = 15 Werte. Für das 0,2 - Fraktil rechnet man
Was ist aber das 32% Fraktil?
Man rechnet
Spezialfall Quartile
Besondere Fraktile sind die sogenannten Quartile. Dabei unterscheidet man das obere und das untere Quantil.
- Das untere Quantil
gibt an, wann 25 % der Werte erreicht oder gerade eben überschritten sind. - Das obere Quartil
gibt an, wann 75 % der Werte erreicht oder gerade eben überschritten sind.
Fraktile berechnen und graphisch bestimmen
Für klassierte Daten existiert noch ein gesonderter Weg, ein
Merke
Graphisch kann man Fraktile auch sehr gut durch die empirischer Verteilungsfunktionen bestimmen. Zur Verdeutlichung zeigen wir die zugehörige empirische Verteilungsfunktion unseres Beispiels der Fußballer des Median-City FC und deren Extratrainingszeiten:
Wollen wir jetzt bspw. den Median bestimmen, ziehen wir eine Linie bei 0,5 auf der Ordinatenachse bis zur empirischen Verteilungsfunktion. An dem Punkt geht man orthogonal bis zur Abszisse und kann dort den Median ablesen. Genauso kann man bei allen anderen zur bestimmenden Fraktilen verfahren.
Expertentipp
Ermittlung
- Bestimme die Einfallsklasse, also jene, in die der Wert
fällt. Berechne dafür die relative Häufigkeit f und die kumulierte relative Häufigkeit F (bspw. über eine Tabelle). Anschließend gucke bei welcher in welcher Klasse der Wert die kumulierte relative Häufigkeit F erreicht oder gerade eben übersteigt. Jede weitere Berechnung spielt sich innerhalb dieser Einfallsklasse ab. ist die untere Grenze dieser Klasse, ist die obere Grenze. Die unkumulierte relative Häufigkeit der Einfallsklasse ist , die kumulierte relative Häufigkeit bis vor die Einfallsklasse wird durch angegeben. - Setze alle Werte ein in die Formel:
Hinweis
Der Wert
Rechnen wir die Methode an einem Beispiel nach.
Berechnung der Quantile bei klassierten Daten
Beispiel
Beispiel 32:
In der Profiliga, in der unser Median-City FC spielt, sind auch noch 19 weiter Mannschaften mit dabei, mit unterschiedlicher Dauer der Ligazugehörigkeit:
Demnach wird gerechnet:
Das untere Quartil ist daher
Für das obere Quartil gilt
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