Streuungszerlegung

Die Streuungszerlegung, auch Varianzzerlegung, erklärt die Gesamtvarianz unterschiedlicher statistischer Massen mit Hilfe der Teilvarianzen.

Wie lässt sich die Gesamtvarianz aller zwölf Teilnehmenden mit Hilfe der Teilvarianzen der einzelnen Gruppen erklären?

Dafür kann die Streuungszerlegungsformel (besser wäre der Ausdruck Varianzzerlegungsformel, da sprachlich exakter) angewandt werden.

Streuungszerlegungsformel & Mittelwertzerlegungsformel

Für unterschiedliche statistische Massen mit jeweils Beobachtungswerten, deren jeweiliges arithmetisches Mittel und deren mittlere quadratische Abweichungen seien, gilt für die Gesamtmasse , die aus Beobachtungswerten besteht, demnach ist die Varianz für die Gruppen insgesamt:

(Streuungszerlegungsformel)

Das Gesamtmittel berechnet man mit der Formel:

(Mittelwertzerlegungsformel)

Auf das Beispiel 44 angewendet, rechnet man:

Für die Varianzen:

Die Stichprobenumfänge sind

Also ist

Der Gesamtmittelwert lautet:

Für die Gesamtvarianz:

Erklärung der Formel

Man sollte sich die Aufteilung der Streuungszerlegungsformel vor Augen führen:

Summand 1 oder auch interne mittlere quadratische Abweichung: (hier 3.030.208,33)

Summand 2, die externe mittlere quadratische Abweichung:    (hier 1.596.09,75).

Die Streuungszerlegungsformel ist aus dem Grund so attraktiv, da man für sie nicht die ganzen Werte  gegeben haben muss, sondern lediglich die entsprechenden arithmetischen Mittel, die Streuungen der Gruppen und die jeweiligen Stichprobenumfänge , um die Gesamtvarianz bestimmen zu können. Zudem ist die Streuungszerlegungsformel bei der Varianzanalyse von Wichtigkeit, dies ist jedoch erst in der Stichprobentheorie von Bedeutung.