Inhaltsverzeichnis
Zum einfacheren Verständnis der Methode der gleitenden Durchschnitte wollen wir sie wieder anhand eines Beispiels kennen lernen.
Beispiel
Beispiel 59:
Es liegen folgende frei erfundene Daten vor:
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x | 2 | 3 | 3 | 3 | 8 | 8 | 2 | 3 | 3 | 9 |
Berechnung des gleitenden Durchschnittes
Gleitende Durchschnitte m. Ordnung:
Liste die vorhandenen Werte auf und frage dich, soll der gleitende Durchschnitt ungerader oder gerader Ordnung bestimmt werden?
Für ungerade Ordnungen gilt
Gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung m
- Welchen Wert hat m und k?
- Ist
ergibt sich für entsprechend
- Ist
- zentrale Formel:
- konkretes Vorgehen:
- für den 1. Wert greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus und ordne dieses Mittel an die
-te Stelle der Zeitreihe an. - für den 2. Wert nimm das
. Glied, bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen und schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die -te Stelle - Wiederhole dieses Vorgehen für alle weiteren Werte
- für den 1. Wert greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus und ordne dieses Mittel an die
- Ergebnis:
- man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte
Wichtig ist hierbei, dass am Anfang und am Ende der neuen, der geglätteten Zeitreihe, jeweils
Gleitende Durchschnitte gerader Ordnung m
- Welchen Wert hat m und k?
- Ist
ergibt sich für entsprechend
- Ist
- zentrale Formel:
- konkretes Vorgehen
- für den 1. Wert greife die ersten
Glieder heraus. Bei der Bildung des arithmetischen Mittels zählt jedoch das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte, also Dividiere die Summe durch . Schreibe dieses (gewogene) arithmetische Mittel an die -te Stelle der ersten m Glieder - für den 2. Wert nimm dann das
Glied und zähle wiederum das erste und das letzte Glied nur zur Hälfte. Dividiere die Summe durch die Anzahl der Werte und schreibe diesen Mittelwert an die -te Stelle - usw.
- für den 1. Wert greife die ersten
- Ergebnis:
- man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte, wobei
Glieder am Anfang und am Ende wegfallen.
- man erhält die Glieder der gleitenden Durchschnitte, wobei
Häufig ist es schwierig den Überblick zu behalten, wie viele Glieder wegfallen bzw. an welcher Stelle das erste und das letzte vorkommende Glied stehen. Darum soll die folgende Tabelle eine Möglichkeit zur Vereinfachung bieten:
Ordnung | ||
| | |
es fallen weg | ||
der erste Wert steht an der Stelle |
Beispiel zum gleitenden Durschnitt
Wenden wir das beschriebene Vorgehen auf das Beispiel 59 an.
Wir bilden als erstes den gleitenden Durchschnitt dritter Ordnung. Damit ist
Zu erkennen ist, dass man erst ab
t | | |
1 | 2 | |
2 | 3 | 2,6667 |
3 | 3 | 3 |
4 | 3 | 4,6667 |
5 | 8 | 6,3333 |
6 | 8 | 6 |
7 | 2 | 4,3333 |
8 | 3 | 2,6667 |
9 | 3 | 5 |
10 | 9 |
Daraufhin bilden wir den gleitenden Durchschnitt vierter Ordnung, ergo
Rechne also nach der Formel
Für unser Beispiel ergibt sich:
Auch hier ist klar erkennbar, dass das kleinste t = 3 sein muss, damit der erste Wert
Verfahre genauso mit den Zahlen
t | | |
1 | 1 | |
2 | 4 | |
3 | 4 | 3,5 |
4 | 4 | 4,875 |
5 | 7 | 5,375 |
6 | 7 | 5,25 |
7 | 1 | 4,625 |
8 | 4 | 4,125 |
9 | 4 | |
10 | 10 |
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Berechne für die Daten aus Beispiel 59 die gleitenden Durchschnitte 2., 5., 6., 7., 8., 9. Ordnung.
Vertiefung
Zur Kontrolle und zum eigenen Nachrechnen sind hier die gleitenden Durchschnitte von der zweiten bis zur neunten Ordnung angegeben.
t | | ||||||||
1 | 2 | ||||||||
2 | 3 | 2,75 | 2,6667 | ||||||
3 | 3 | 3 | 3 | 3,5 | 3,8 | ||||
4 | 3 | 4,25 | 4,6667 | 4,875 | 5 | 4,5 | 4,1429 | ||
5 | 8 | 6,75 | 6,3333 | 5,375 | 4,8 | 4,5 | 4,2857 | 4,0625 | 3,8889 |
6 | 8 | 6,5 | 6 | 5,25 | 4,8 | 4,5 | 4,2857 | 4,5 | 4,6667 |
7 | 2 | 3,75 | 4,3333 | 4,625 | 4,8 | 5 | 5,1429 | ||
8 | 3 | 2,75 | 2,6667 | 4,125 | 5 | ||||
9 | 3 | 4,5 | 5 | ||||||
10 | 9 |
Merke
Für
Für immer größeres
Die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte selbst verläuft für größeres
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