Zeitreihenzerlegung

Nach den unterschiedlichen Verfahren kommen wir zur Zeitreihenzerlegung. Die Anwendung der Zeitreihenzerlegung ist auch leichter verständlich, wenn diese anhand konkreter Zahlen erfolgt. Dazu folgendes Beispiel.

Die Werte hängen also primär von der Zeit ab, t gibt hierbei den Zeitindex an. Es stellen sich mehrere Fragen:

1. Sind die Auftragseingänge ausschließlich zeitabhängig?
2. Lässt sich ein Trend erkennen, so dass z.B. die Anzahl der Aufträge in den Jahren 2019, 2020 und 2021 ansteigt, unabhängig vom jeweiligen genauen Wert in den Monaten?
3. Werden die Daten von einem Zyklus überlagert, so dass z.B. ein Konjunkturtief in 2021 für grundsätzlich niedrigere Werte sorgt als ein Hoch in 2019?
4. Lassen sich Saisoneffekte erkennen, so dass die Anzahl der Aufträge in den Wintermonaten beispielsweise geringer ist als in den Sommermonaten?

Trendkomponente, zyklische Komponente, Saisonkomponente

Sinn der folgenden Überlegungen ist es, die Werte durch Zerlegung zu erklären, und zwar in die schon angedeutete

• Trendkomponente
  • diese wird durch langfristig wirkende Faktoren bedingt
  • oftmals durch KQ-Schätzungen erklärt
    
    
• die zyklische Komponente
  • sie wird durch Konjunkturzyklen bedingt
  • sie ist oftmals wellenförmig
    
    
• die Saisonkomponente
  • hier werden Saisoneinflüsse beobachtet
  • wie z.B. im vorliegenden Fall verminderte Auftragseingänge im Baugewerbe
    
    
• die irreguläre Komponente
  • die Ursachen sind keinen der o.e. Gründe zuzurechnen.
  • die Werte der irregulären Komponente (= Störvariable, = Zufallsschwankung, = unerklärter Rest) werden als relativ klein angenommen
  • und als unsystematisch um null schwankend verstanden

Additive Zerlegung und multiplikative Zerlegung

Es werden nun mehrere Arten von Zeitreihenmodellen unterschieden:

• Die additiven Modelle mit der Zerlegung (= Überlagerung)

oder die

• multiplikativen Modelle mit der Zerlegung

Wir betrachten im Folgenden ausschließlich das additive Modell.

Zeitreihenzerlegung am Beispiel

Anwendung auf das Beispiel 65 damit wie folgt.

Schätzung des Trends

Die Trendkomponente wird mit der KQ-Methode geschätzt, die schon aus vorherigen Kapiteln bekannt ist. Wichtig ist allerdings, dass nun die Zeit der Regressor ist, also gilt. Alle übrigen Komponenten, also und , sind hier das Residuum.

Es ist im vorliegenden Beispiel , das arithmetische Mittel der Zeitdaten ist , das Produkt .

Also rechnet man die Steigung a aus als

Der Ordinatenabschnitt b ist:

.

Man erhält also als Trendgerade .

Setzt man z.B. für t = 3 ein, so erhält man den Trendwert für den März des Jahres 2019 durch: . Die anderen Trendwerte sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

Schätzung der glatten Komponente

Zur Ermittlung der zyklischen Komponente bedient man sich der Methode der gleitenden Durchschnitte. Wir schätzen die glatte Komponente als gleitenden Durchschnitt 12. Ordnung, d.h. k = 6 (wegen der Monatsdaten). Man verwendet die Formel

die speziell für k = 6 dann lautet:

Die möglichen t-Werte starten damit bei t = 7, damit in der Klammer mit die Zählung begonnen werden kann. Damit rechnet man z.B.

Die anderen Werte werden errechnet und die Arbeitstabelle 53 eingetragen. Man erhält damit die Zahlen der glatten Komponente.

Alsdann bildet man die Differenz aus den tatsächlichen Zahlen yt und den Werten der glatten Komponente , d.h. die um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe :

Danach ordnet man zur besseren Übersicht die zum jeweils gleichen Monat passenden Daten spaltenweise an:

Schließlich werden die Zahlen aus Schritt 3 spaltenweise (!) gemittelt gemäß der Formel

ist die Menge der Jahre, für die dann die um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe gebildet wird. Die Zahl ist hierbei die Anzahl der Jahre, für die man die um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe berechnen kann. Also ist , weil nur für das 2. und 3. Jahr der Wert gebildet werden kann, denn dadurch dass am Anfang sechs Monate herausfallen, sind die Werte für die Monate Januar bis Juni nur aus den Jahren 2 und 3 zu berechnen. Der Parameter ist dabei , nämlich die Anzahl der Elemente der Mengen .

Genau andersrum verhält es sich bei . Dadurch, dass am Ende (im Jahr 2003) sechs Monate wegfallen, sind für die Monate Juli bis Dezember nur die Jahre 2019 und 2020, also 1 und 2, brauchbar. Also ist , wie oben die Zahl auch, . Man erhält also

Wenn die Summe der nicht null ergibt bzw. nicht hinreichend nahe bei null liegt, muss man noch ein Korrekturglied ermitteln, nämlich das arithmetische Mittel der -Werte: es ist hier . Dieses Korrekturglied wird von den -Werten jeweils abgezogen, man erhält die normierten Schätzwerte für die monatstypische Abweichung .

Saisonbereinigte Zeitreihe

Die eigentliche saisonbereinigte Zeitreihe ergibt sich dann durch Subtraktion der Werte aus Schritt 4 und der beobachteten Werte aus der Original-Zeitreihe.