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Sind Merkmale ordinal skaliert, kann man eine Rangfolge erstellen und nicht nur unterscheiden, wie es bei nominal skalierten der Fall ist (wie bspw. das Studienfach). Der Korrelationskoeffizient für die Ordinalskala nennt sich Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient. Diesen wollen wir uns mit Hilfe eines Beispiels erarbeiten:
Beispiel
Beispiel 56:
15 Schülerinnen und Schüler der örtlichen Schule schrieben in der vergangenen Mathe- und Deutsch-Klausur folgende Noten:
| SUS | Mathe-Note | Deutsch-Note |
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 5 | 4 |
| 5 | 5 | 3 |
| 6 | 4 | 1 |
| 7 | 5 | 4 |
| 8 | 2 | 2 |
| 9 | 2 | 5 |
| 10 | 3 | 3 |
| 11 | 6 | 1 |
| 12 | 4 | 1 |
| 13 | 3 | 3 |
| 14 | 2 | 6 |
| 15 | 1 | 2 |
Stelle durch eine einzige Kennzahl die Stärke des Zusammenhangs der Noten dar.
Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnen
Um den Zusammenhang zu quantifizieren, hier ein Schema, das streng genommen nur für den Fall ohne Bindungen gilt. Da viele Autoren diesen trotzdem auch für den Fall mit Bindungen rechnen, sei er trotzdem insbesondere auch für diesen Fall erwähnt (nämlich in Schritt 2 des folgenden Schemas).
Methode
Schema zur Bestimmung des Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizienten:
- Urliste der Ausprägungen der beiden Merkmale erstellen
- Ränge
bilden; bei doppelt, dreifach usw. vorkommenden Rängen (= Bindungen) vergibt man einheitlich das arithmetische Mittel der entsprechenden Rangzahlen an - Rangdifferenzen
errechnen - Rangdifferenzen quadrieren, also
bestimmen - Zur Berechnung des Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten in folgende Formel einsetzen:
.
Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman muss immer zwischen – 1 und +1:
Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Beispiel
Am Beispiel 56 wollen wir das Schema anwenden:
- Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.
- Die Ränge schreibt man in eine erweiterte Tabelle:
SUS Mathe-Note Rang xi Deutsch-Note Rang yi 1 1 1,5 3 8,5 2 2 4,5 4 12 3 3 8 2 5 4 5 13 4 12 5 5 13 3 8,5 6 4 10,5 1 2 7 5 13 4 12 8 2 4,5 2 5 9 2 4,5 5 14 10 3 8 3 8,5 11 6 15 1 2 12 4 10,5 1 2 13 3 8 3 8,5 14 2 4,5 6 15 15 1 1,5 2 5
Die Note „2” existiert bei den Mathe-Ergebnissen viermal, und zwar auf den Rängen 3, 4, 5 und 6, die eigentlich zu vergeben wären. Weil die Schülerinnen und Schüler 2, 8, 9 und 14, die alle eine „2” in Mathe geschrieben haben, auf Grundlage der Note nicht zu unterscheiden sind, erhalten sie alle den Rang
Nun zu den Rangdifferenzen, zu ihren Quadraten und der Summe der Quadrate, also zu den Punkten 3. und 4.:
| Schritt 2 | Schritt 3 | Schritt 4 | ||
| SUS | xi | yi | di (=xi - yi) | di2 |
| 1 | 1,5 | 8,5 | -7 | 49 |
| 2 | 4,5 | 12 | -7,5 | 56,25 |
| 3 | 8 | 5 | 3 | 9 |
| 4 | 13 | 12 | 1 | 1 |
| 5 | 13 | 8,5 | 4,5 | 20,25 |
| 6 | 10,5 | 2 | 8,5 | 72,25 |
| 7 | 13 | 12 | 1 | 1 |
| 8 | 4,5 | 5 | -0,5 | 0,25 |
| 9 | 4,5 | 14 | -9,5 | 90,25 |
| 10 | 8 | 8,5 | -0,5 | 0,25 |
| 11 | 15 | 2 | 13 | 169 |
| 12 | 10,5 | 2 | 8,5 | 72,25 |
| 13 | 8 | 8,5 | -0,5 | 0,25 |
| 14 | 4,5 | 15 | 10,5 | 110,25 |
| 15 | 1,5 | 5 | -3,5 | 12,25 |
| Schritt 5: | ∑ = 663,5 | |||
Schritt 5, also das Einsetzen in die Formel, liefert einen Korrelationskoeffizienten nach Spearman:
Die Kennzahl deutet also auf einen recht geringen Zusammenhang hin.
Merke
Im Beispiel sind so genannte Bindungen aufgetreten. Man spricht von einer Bindung, wenn innerhalb eines Merkmals mehrere Merkmalsträger denselben Rang erhalten – im Beispiel 56 hätten die Schülerinnen und Schüler 3, 10 und 13 bei der Mathe-Note den Rang 7, 8 und 9 erhalten. Weil sie sich aber nicht unterschieden, erhielten sie beide den Rang
Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman misst lediglich monotone Zusammenhänge. Es muss also ein durchgehend positiver oder ein durchgehend negativer Zusammenhang vorliegen, damit dieser von
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