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Stichprobentheorie - Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

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Stichprobentheorie

Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)

Inhaltsverzeichnis

Gleich wie beim Differenzschätzer kann die Sekundärinformation als Approximation für Y auch für den Quotientenschätzer genutzt werden.

Als grundlegende Basis dient das Wissen darüber, dass X proportional zu Y ist, d.h.

Der Proportionalitätsfaktor entspricht der Größe R (engl. ratio), welche wie folgt lautet:

Es sei darauf hingewiesen, dass der Wert zu schätze ist, da er nicht bekannt ist. Der Mittelwert der Sekundärinformation ist jedoch bekannt. Folglich kommt es zu einer Ziehung der Stichprobe vom Umfang n. Daraus resultieren die Werte mit den dazugehörigen Sekundärinformationen
Mit Hilfe dieser Informationen ist es möglich, einen Schätzer für den Quotienten R festzulegen, welcher folgender ist:


Der Quotientenschätzer lautet dann: weil

 

Beispiel

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Nun sollen im Folgenden einige Quotientenschätzer, anlehnend an das obere Beispiel zur Differenzenschätzung, ermittelt werden.

Zunächst einmal kann der Mittelwert der ersten Stichprobe der Primärelemente zu   berechnet werden und die der Sekundärelemente entsprechend zu

Deutlich wird, dass
Auch die restlichen Mittelwerte können gemäß des Verfahrens berechnet werden:

Stichprobe

Ermittelte Werte im Bezug auf die Indizes

 = 15*

1

1 3 2

10

11

0,91

13,64 (=15*0,91)

2

1 4 2

12,33

14,33

0,86

12,91 (=15*0,86)

3

1 5 2

13,67

14,33

0,95

14,3

4

1 4 3

12,67

14,33

0,88

13,26

5

1 5 3

14

14,33

0,98

14,65

6

1 5 4

16,33

17,67

0,92

13,87

7

2 4 3

13

14,33

0,91

13,6

8

2 5 3

14,33

14,33

1

15

9

2 5 4

16,67

17,67

0,94

14,15

10

3 5 4

17

17,67

0,96

14,43

Bei der Gegenüberstellung des Differenzenschätzers und Quotientenschätzers wird ersichtlich, dass eine Ähnlichkeit beider Ergebnisse besteht. Die visuelle Darstellungsweise macht dies besonders deutlich. Dabei geht es primär um die Abbildung der Varianzreduktion beim Quotientenschätzer.

Abb. 12: Vergleich zwischen Differenzenschätzer und Quotientenschätzer

Beispiel 2

Beispiel

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Es stellt sich heraus, dass in einigen Bereiche des alltäglichen Lebens nur der Quotient von Bedeutung ist.
Beispielsweise bezeichnet die Variable X den Umsatz eines Einzelhandels im Jahr XXXX. Der Umsatz im Folgejahr wird mit der Variable Y beschrieben. Das Gesamtwachstum bzw. die Schrumpfung wird dann mit R verdeutlicht.

Folglich kann R geschätzt werden durch:

Allumfassend kann festgehalten werden:

Quotientenschätzer

  1. Gegeben ist eine einfache Zufallsstichprobe samt den Primärinformationen und Sekundärinformationen

  2. Zwischen den Größen ist die Proportionalitätsbedingung zu entnehmen: Y = RX.

  • Der Quotientenschätzer
    erweist sich als approximativ erwartungstreuer Schätzer für  

  • Mit Hilfe von:
     kann die Varianz von geschätzt werden.

Im Falle dessen, dass nur kleine Stichproben vorliegen, empfiehlt sich eine Korrektur bzw. eine Erweitung der Varianzschätzung durch  

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