Geschichtete Stichproben

Die Aufgabe besteht darin, den durchschnittlichen Quadratmeterpreis einer Fläche innerhalb einer ländlichen Region des Westerwalds zu ermitteln. Zwar könnte hier die Ziehung in Form einer einfachen Stichprobe erfolgen, jedoch unterschiedet sich nach den Aussagen der Landwirte die Fruchtbarkeit der Fläche in der Region erheblich. Demnach hängt diese davon ab, wo sie gelegen ist. Aus diesem Grund soll es zu einer Ziehen auf drei verschiedenen Flächen kommen, unterteilt in die folgenden Regionen:

 1. Äußerst fruchtbare Fläche

2. Fruchtbare Fläche

3. Weniger fruchtbare Fläche

Wenn somit eine Stichprobe aus allen drei Flächen gezogen wird, ermöglicht es den Quadratmeterpreis hinreichend genauer zu bestimmen. Darüber hinaus ermöglicht das Vorgehen das Gesamtmittel des Quadratmeter-Mietpreises besser zu schätzen. Damit fällt die Varianz deutlich geringer aus.

1. Beispiel

Die statistische Untersuchung soll dabei Helfen den durchschnittlichen Wohnraum von Familien in einem ländlichen Kreis zu ermitteln. Hierzu wird eine Umfrage unter 100 zufällig ausgewählten Familien eingeleitet. Wenn es sich um eine einfache Stichprobe handeln würde, würden die Stichproben nach gleich großen Wahrscheinlichkeiten jeder Familie sortiert werden.
Jedoch sind hier Sekundärinformationen gegeben, bei denen es ratsam wäre, diese auch hinzuzuziehen. Einen erheblichen Einflussfaktor auf die Größe des Wohnbereichs bietet hierbei das Einkommen jenes Familienmitglieds, welches für das Haupteinkommen verantwortlich ist. Es gibt jedoch auch die Möglichkeit, dass das Einkommen mittels Schichten berücksichtigt werden. Tendenziell kann demnach gesagt werden, dass der Wohnraum in gehobenen Gegenden größer ist, im Vergleich zu denen, in den Arbeiterbezirken. Diese beiden Gegensätze können bereits nach Schichten aufgeteilt werden. Dabei geht es fortlaufend nicht darum, dass einfache Zufallsstichproben gezogen werden, sondern dass beide Schichten gleichermaßen berücksichtigt werden. Das zentrale Ziel besteht darin, dass die Varianz des Schätzers so niedrig wie möglich bleibt. Das Hauptziel ist hierbei nicht die repräsentative Stichprobe.

2. Beispiel

Eine Erlebnistherme möchte gerne wissen, wie häufig und in welchem zeitlichen Umfang die neue Infrarot-Sauna genutzt wird. Aus diesem Grund soll eine Stichprobe gezogen werden. Vorab liegen allerdings Sekundärinformationen vor:

Zu Beginn sollen hier einmal die Nachteile der einfachen Zufallsstichprobe kurz beschrieben werden:

• Bei der Anwendung einer einfachen Stichprobe besteht die Gefahr, dass die zufällig gewählten Personen alle entweder etwas älter oder alle etwas jünger sind.
  
  
• Dadurch könne eine falsche Schlussfolgerung resultieren. Dabei könnte es entweder dazu kommen, dass eine übermäßige Nutzung oder eine sehr geringfügige Nutzung der Infrarot-Sauna eingeschätzt wird.

Die geschichtete Stichprobe ermöglicht es die o. g. Fehlanalysen zu umgehen.

3. Beispiel

Ein neues Produkt wird in einer Stadt getestet, in der viele verschiedene Nationalitäten vertreten sind. Aus vorherigen Tests ist bereits bekannt, dass unter einigen Nationalitäten das neue Produkt nicht beliebt ist bzw. nicht gekauft wird. Empfehlenswert ist es hier, die vorhandenen Nationalitäten in Schichten aufzuteilen, Darunter zählen hier beispielsweise: Albaner, Ukrainer, Araber, Rumänen etc.

4. Beispiel

Ausgehend von einer vorliegenden Grundgesamtheit von fünf Elementen, gehen die folgenden Werte einher: , , , , 

Der Mittelwert der Grundgesamtheit liegt vor durch:

Aus der Menge wird im Rahmen der einfachen Stichprobe ein Stichprobenumfang von n = 3 entnommen. Der einfachen Stichprobe liegt zugrunde, dass eine gleich große Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Stichproben besteht.
Demnach resultieren daraus die folgenden, möglichen Stichproben:

Es ergibt sich der Mittelwert der ersten Stichprobe zu:
Alle weiteren werden auf ähnliche Weise berechnet. Für die Verteilung von sind folgende Werte zu entnehmen:

Wir bekommen für den Erwartungswert von :  

Gleichermaßen erhalten wir für die Varianz:

An diesem Punkt kann überlegt werden, ob die Varianz durch die gezielte Wahl von n = 3 Ziehungen verringert werden kann.
Die Annahme besteh darin, dass die Sekundärinformation der Grund ist, weswegen die  Population in zwei Schichten bzw. Gruppen vorliegt. Die vorliegenden Werte für die erste Gruppe lauten: , und und für die zweite: und

Der Vorteil der Zerlegung ist der, dass die Werte in jeder Gruppe eng beieinander liegen. Somit kann schlussgefolgert werden, dass eine offensichtliche Abhängigkeit von Niveau und der Gruppe vorliegt. Die Schichtung kommt durch die Aufteilung der Population in Gruppen zustande.
Da auch in diesem Kontext die Begriffe Gruppe und Schicht äquivalent zueinander sind, wird nur noch der Begriff der Schicht verwendet.

Eine einfache Zufallsprobe wird nun aus jeder Schicht gezogen.
Das Vorgehen kann als geschichtete Stichprobe beschrieben werden. Ausgehend von den Werten von erscheint die folgende Unterteilung in Schichten logisch:

Zugunsten der Annäherung der jeweiligen Menge der gegebenen Werte in den einzelnen Schichten, kommt es in der ersten Schicht zu einer Ziehung von zwei Elementen und in der zweiten Schicht zu der Zeitung von einem Element.

Daraus resultieren allumfassend die folgenden Möglichkeiten für die einzelnen Ziehungen:

Das Hauptziel besteht darin, dass es zu einer möglichst realitätsnahen Kombination des jeweiligen Mittelwerts und des Schätzers kommt. Die Aufgabe des Schätzers ist es, das Populationsmittel zu schätzen.

Für das Erreichen unseres Ziels ist es von Bedeutung, dass die Auswahlwahrscheinlichkeiten der einzelnen Individuen berechnet werden.

5. Beispiel

Hierbei wird das erste Beispiel zur Verhältnisschätzung weiter fortgeführt, da nun die Voraussetzungen gegeben sind.
Es werden zu Beginn alle Stichproben die möglich sind, in den Schichten tabellarisch notiert.
Dabei erhalten wir die folgenden Möglichkeiten:

Bei der Berechnung des Schätzers für die geschichtete Stichprobe bekommen wir:

Berechnet werden kann nun der Erwartungswert für :

Folglich können wir auch die Variante von ermitteln:

Zu sehen ist dabei, dass der geschichtete Schätzer erwartungstreu ist für :  

Der erwartungstreue Schätzer wurde von uns selbst entwickelt.

Dabei fällt äußerst positiv auf, dass die berechnete Varianz zu 0,7 wesentlich niedriger ist im Vergleich zu der, in der einfachen Zufallsstichprobe, denn diese lag bei 4,33.
Die Ursache für die extrem niedrige Varianz besteht darin, dass die Schichten gezielt so verteilt wurden, dass die kleinen -Werte in die Schicht 1 kamen und die großen -Werte in die Schicht 2. Erzielt wurde damit eine Ähnlichkeit der Elemente in den einzelnen Schichten.

Achtung! Es darf keine Verwechslungsgefahr in der Hinsicht bestehen, dass die Schichten sich einander ähneln. Die Schichten an sich sind unterschiedlich bzw. disjunkt.

1. Beispiel

Als Schichtungsmerkmal könnte beispielsweise innerhalb eines Bundeslandes eine Stadt fungieren. Das könnte aufgrund dessen erfolgen, da die Bevölkerung in den Städten tendenziell sehr ähnliche Eigenschaften aufweisen. Erfolgt die Schichtung auf diese Weise, so wird diese einen positiven Anwendungseffekt innehaben.

2. Beispiel

Wenn es zu einer Umfrage in einer Stadt- und Landregion zu einem bestimmten Thema kommt, sollte bei der Durchführung darauf geachtet werden, dass die Bevölkerung in der Stadt bzw. auf dem Land hinreichend homogen ist bzw. diese innerhalb der „Gruppe“ wenige Unterschiede aufweisen.