Effizienz

1. Zu Beginn soll geschaut werden, welche der gegebenen Schätzfunktionen erwartungstreu sind.

Hierzu schauen wir uns einmal jede Schätzfunktion einzeln an.

a):  
Es zeigt sich, dass diese nicht erwartungstreu ist. Für die weitere Betrachtung kann a) demnach ausgeblendet werden.

Gehen wir weiter zu
b):  
Hierbei stellt sich heraus, dass eine Erwartungstreue vorliegt. 

bei c): stellt sich heraus, dass diese ebenfalls erwartungstreu ist.

und d): erweist sich gleichermaßen als nicht erwartungstreu und kann demnach ebenso ausgeblendet werden.


2. Im zweiten Schritt sollen nun die Varianzen der Schätzfunktionen miteinander verglichen werden

Die Varianz ist bei unabhängigen Zufallsvariablen linear in Bezug auf die Addition und Subtraktion.

Somit ist es  für jede einzelne Konstante der Schätzfunktion a, indem   Durch den Vergleich der Varianzen resultiert die Lösung, dass diese effizient ist.

 Definiert wird für mindestens ein i  mit und

Es ergibt sich für die Varianz von :

.

Somit konnte gezeigt werden, dass dies für das gewöhnliche arithmetische Mittel eine bessere Schätzfunktion für den Mittelwert der Grundgesamtheit ist. Andere Mittelwerte der Stichprobenvariablen, die nicht bei jeder Beobachtung das gleiche Gewicht ergeben, eigenen sich daher weniger.

Demnach verdeutlicht es besonders, dass den kleinsten möglichen Standardfehler innehat.