Inhaltsverzeichnis
Kriterien
Die Qualität der Schätzungen kann an bestimmten Kriterien gemessen werden, da diese von besonderer Wichtigkeit für eine Schätzfunktion sind.
Zu den Kriterien zählen: (1) Erwartungstreue, (2) Konsistenz, (3) asymptotische Erwartungstreue, (4) Effizienz.
Die dazugehörigen Bedeutungen zu den jeweiligen Begriffen werden im weiteren Verlauf verdeutlicht und auführlicher thematisiert.
Erwartungstreue
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Merke
Entspricht ein zu schätzender Parameter dem Erwartungswert, so spricht man von einem erwartungstreuen Schätzer. Wenn demnach
Hit Hilfe der folgenden Beispiele soll der Begriff der Erwartungstreue nochmals konkret verdeutlicht werden:
Beispiele
Beispiel
1. Beispiel:
Es gibt theoretisch unendlich viele minderjährige SchülerInnen, die sich in der achten Klasse befinden. Diese stellen die Gesamtpopulation dar. Jeder dieser SchülerInnen erhält einen gewissen, wöchentlichen Betrag an Taschengeld. Der Erwartungswert der Gesamtpopulation entspricht demnach
Im ersten Schritt sollen nun Stichproben gezogen und daraus ein Mittelwert gebildet werden. Das funktioniert, indem bei der ersten Ziehung 10000 SchülerInnen und bei der zweiten Ziehung 30000 SchülerInnen befragt werden. Im Anschluss wird analog zu der o. g. Durchführung ein Mittelwert für jede einzelne Ziehung berechnet.
Deutlich wird, dass der Stichprobenmittelwert
Es werden wiederholt Stichproben gezogen und, analog zu oben, ein Stichporbenmittelwert berechnet. Wenn die Anzahl „n“ an Ziehungen vorliegt, so auch „n“ an Mittelwerten
Zugunsten der Überschaubarkeit ergeben sich die Mittelwerte folgendermaßen:
Aufgrund des linearen Erwartungswertes gilt:
Da die Stichprobenwerte willkürlich bzw. zufällig aus der Gesamtpopulation gezogen wurden, entsprechen die Erwartungswerte der jeweiligen, gezogenen Zufallsvariablen des Erwartungswertes der Population und somit:
Dadurch wird deutlich, dass...
Demnach kann schlussfolgernd gesagt werden, dass der Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte mit dem Erwartungswert der Gesamtpopulation übereinstimmt. Somit ist der Stichprobenmittelwert
Beispiel
2. Beispiel:
Die Grundgesamtheit ergibt sich aus vier SchülerInnen. Im Fokus der Untersuchung steht die Körpergröße. Die Stichprobe wird anhand von zwei SchülerInnen vorgenommen, wodurch alle vier Körpergrößen offengelegt werden und der Tabelle zu entnehmen sind:
Person | Körpergröße in cm |
---|---|
1 | 170 |
2 | 180 |
3 | 160 |
4 | 190 |
Auf der Datengrundlage kann die durchschnittliche Körpergröße bestimmt werden:
Zunächst ist die Schätzfunktion zu wählen:
Des Weiteren soll darüber nachgedacht werden, wie viele Möglichkeiten existieren, wenn zwei aus vier Personen, ohne zurücklegen und ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen, gezogen werden können.
Personen | |
1&2 | =0,5*(170cm+180cm)=175cm |
2&3 | =0,5*(180cm+160cm)=170cm |
3&4 | =0,5*(160cm+190cm)=175cm |
1&4 | =0,5*(170cm+190cm)=180cm |
2&4 | =0,5*(180cm+190cm)=185cm |
1&3 | =0,5*(170cm+160cm)=165cm |
Das bedeutet, der Durchschnittswert von
Der Durchschnittswert
Beispiel
3. Beispiel:
Der Erwartungswert ist linear, so dass
Es ist
Somit haben wir gezeigt, dass die Schätzfunktion
Des Weiteren soll herausgefunden werden, inwieweit die Schätzfunktion
Dafür wird
Bei der Ermittlung des Erwartungswertes wird ersichtlich, dass
Es ist
Video zur Berechnung der Erwartungstreue
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