Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind das, was die Verteilung einer Zufallsvariablen ausmacht.
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f für eine diskrete Zufallsvariable X ist definiert als f(x) = P(X = x). Dabei wird einer Zufallsvariablen X ein Wert x für ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
Dabei sollte man darauf achten, dass die Zufallsvariable " groß X " und der ihr zugeortnete Wert "klein x" ist.
Wichtig ist zu beachten, dies gilt ausschließlich für diskrete Zufallsvariablen!
Bei stetigen Zufallsvariablen nennt man es Dichtefunktion, diese werden wir im folgenden Kapiteln behandeln werden.
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Wirft man einen fairen Würfel einmal, so ist X die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 1 und 6 zu werfen ist je
Hätten wir den Terminus der Zufallsvariablen nicht, so müssten wir es wie derart notieren:
P(Augenzahl 1) = P(Augenzahl 2) = usw. = P(Augenzahl 6)
Als Wahrscheinlichkeitfunktion f ist dies in deutlich kürzerer Form möglich:
f(x) = P(X = x) =
etwas ausführlicher: f(1) = f(2) = ... = f(6) =
Grafisch sieht soetwas folgendermaßen aus:
Hinweis
Es sei erneut auf die verschiedene Schreibweise und deren Aussage hingewiesen.
ohne Zufallsvariable: P(4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 4 geworfen wird,
mit Zufallsvariable: P(X = 4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvariable der Wert 4 zugewiesen wird.
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Wirft man eine Münze zweimal, so ist die Ereignismenge Ω = {(K,K), (K,Z), (Z,K), (Z,Z)}. X soll jetzt die Anzahl der gefallen Zahl sein.
Wie gibt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X an?
Ist die Münze zweimal geworfen worden und X die Anzahl gefallenen Zahl, dann gilt:
X=0 falls nie Zahl fällt,
X=1 falls einmal Zahl geworfen wird,
X=2 falls beide Male Zahl geworfen wird.
So ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X die Darstellung:
| Wert der Zufallsvariablen X | Ergebnis | Wahrscheinlichkeit P |
| 0 | (K,K) | |
| 1 | (K,Z) ; (Z,K) | |
| 2 | (Z,Z) |
SCHEMA FÜR WAHRSCHEINLICHKEITSFUNKTIONEN:
Methode
- Was ist die Ereignismenge Ω, also die Menge aller Elementarereignisse?
- Was ist von Interesse, also welche Werte sind für die Zufallsvariable X möglich?
HINWEIS: Häufig hat die Zufallsvariable auch den Wert 0, was gerne übersehen wird. - Was ist die zugeordnete Wahrscheinlichkeit P?
HINWEIS: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss in jedem Fall gleich 1 sein! So kann man sich selbst überprüfen. - Die Werte in das Koordinatensystem eintragen. Dabei werden auf der x-Achse die Werte der Zufallsvariablen eingetragen, auf der y-Achse die zugeordneten Wahrscheinlichkeiten.
HINWEIS: Häufig wird es als Balken dargestellt, was jedoch mathematisch gesehen falsch ist, denn die Wahrscheinlichkeitsfunktion nimmt nur den obersten Wert an.
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