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Kerngedanke der Portefeuilletheorie ist der folgende: Wenn man unterschiedliche Wertpapiere, deren Erträge unsicher sind, miteinander vergleicht, so ist es interessant zu wissen, welche Rendite man erwarten kann und mit welchem Risiko diese Erwartungen verbunden sind. Folgende Aufgabe möge die Problematik verdeutlichen.
Beispiel
Beispiel 29:
Die Aktien A und B haben folgende Rendite in den letzten Jahren erzielt:
Aktie | A | B |
t = 1 | 0,05 | 0,12 |
t = 2 | 0,07 | 0,10 |
t = 3 | 0,08 | 0,07 |
t = 4 | 0,10 | 0,06 |
t = 5 | 0,15 | - 0,05 |
Welche erwartete Rendite weisen die beiden Aktien auf? Welches Risiko ist mit der Anlage in die jeweilige Aktie verbunden? Wie stark hängen die Wertentwicklungen zusammen?
Berechnung des Erwartungswerts
Die Formel zur Berechnung des Erwartungswert μ der Rendite eines Wertpapiers lautet:
Merke
wenn die Umweltzustände alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit
bzw.
wenn der i. Umweltzustand mit Wahrscheinlichkeit
Die zu erwartende Rendite von Wertpapier A ist damit
die von Wertpapier B ist
Angesichts der recht schwankenden Wertentwicklung von A, die immerhin zwischen
Der Erwartungswert ist kein Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von
Auch muss der Erwartungswert nicht in der Liste der möglichen Werte liegen muss. Vergleiche dazu die Liste von Wertpapier A, in der die
Risiko der Renditeentwicklung
Das Risiko der Renditeentwicklung wird gemessen durch die Standardabweichung der Renditen. Hierzu muss man zunächst die Varianz ausrechnen.
Die Varianz eines Wertpapiers A ist hierbei
Merke
wenn die Wahrscheinlichkeiten alle gleich sind, nämlich
bzw.
wenn die Verteilung möglicherweise unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten
Berechnung nach dem Steinerschen Verschiebungssatz
Auch das Rechnen mit dem Steinerschen Verschiebungssatz sollte direkt angewöhnt werden, da seine Anwendung häufig viel leichter ist:
Merke
Varianz der Renditen
bzw.
Die Standardabweichung erhält man anschließend aus der Varianz durch Wurzelziehen:
Rechnen wir die Varianzen der gegebenen Wertpapiere aus:
Der Steinersche Verschiebungssatz liefert natürlich dasselbe Ergebnis:
Die Standardabweichung des Wertpapiers A ist damit
Vertiefung
Für das Wertpapier B rechnen wir genauso:
bzw.
Die Standardabweichung
Merke
Die Varianz wird durch die Quadrierung in einer Dimension gemessen, die wir nicht verwenden können, hier z.B. ist die Varianz von Wertpapier A dann 11,6 (
Durch das Wurzelziehen wird dieses Manko der Varianz aber geheilt, die Dimension ist % bzw. € bzw.
Wir halten fest:
Aktie | A | B |
Erwartungswert | 0,09 | 0,06 |
Standardabweichung | 0,034059 | 0,058992 |
Tab. 34: Parameter, die Eingang in die Effizienzlinie finden
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