Die mathematische Bestimmung bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Optimales Güterbündel bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Schließlich wenden wir uns noch der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion zu. Einem der üblichen Fälle mit denen wir es zu tun haben.

Wir nutzen dieselbe Vorgehensweise wie bei den perfekten Substituten. Zuerst wird die MRS bestimmt. Die Ableitung der Nutzenfunktion nach lautet: , die nach .
Um die MRS zu bekommen teilen wir durch . Die Steigung der Budgetgeraden lautet: . Beides wird gleichgesetzt und umgeformt nach oder . Hiermit ersetzten wir das in der Formel für die Budgetbeschränkung und erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten, die leicht zu lösen ist. Die optimale Menge für kann wieder in die Budgetgerade eingesetzt werden, um zu errechnen, .

Berechnung des Haushaltsoptimums

Die Berechnung des Haushaltsoptimums bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wird in diesem Video nochmals zur Verdeutlichung vorgerechnet.

Lernvideo - Berechnung des Haushaltsoptimums

Es gibt noch einen weiteren, etwas informelleren, Weg zur Bestimmung der Gütermengen.
Dazu werfen wir einen Blick auf die Exponenten, in unserem Fall "2" (für ) und "1" (für ). Sie werden addiert und in Verhältnis gesetzt zu den einzelnen Exponenten, also für und für . Diese Zahlen geben an, wie der Konsument sein Einkommen auf die Güter verteilt, zu auf Gut 1 und zu auf Gut 2.
Für unser Beispiel ergibt das und . Dies geteilt durch die Preise ergibt wieder (30; 6). Dies gilt für alle möglichen Exponenten. Auf die genaue Herleitung verzichten wir.