Mathematische Bestimmung der Skalenerträge

Wie gehen wir nun die mathematische Bestimmung von Skalenerträgen an? Wir werden uns dies zuerst allgemein an einem Beispiel anschauen und danach die konkreten Fälle betrachten.

Hier nochmal die drei verschiedenen Möglichkeiten:
1. konstante Skalenerträge:

2. fallende Skalenerträge: 

3. steigende Skalenerträge:

Auf der linken Seite sehen wir die Erhöhung des Inputs, auf der rechten Seite die Erhöhung des Outputs.

Aus dem letzten Satz ergibt sich auch schon das Vorgehen. Dazu setzen wir den Vorfaktor λ zum einen vor den gesamten Output und zum anderen vor den jeweiligen Inputfaktor. Das bedeutet nichts weiter, als das wir den Input um den Faktor λ (z.B. 2, 3 oder jeden x-beliebigen Wert) erhöhen. Nun erwarten wir z.B. im ersten Fall (konstante Skalenerträge), dass sich auch der Output um den Faktor λ erhöht.

Zuerst wird der Faktor λ für beide Seiten eingesetzt:

Das Gleichheitszeichen zwischen beiden Gleichungen ist im Folgenden völlig unbestimmt. Es könnte auch ein „> ” oder ein „ < ”.
Im nächsten Schritt lösen wir die Klammern auf der rechten Seite auf. Die linke Seite wird vorerst ignoriert:


Kurz vereinfachen und umstellen:


Der letzte Teil der Funktion mit und ist gleich der unveränderten Funktion . Ein Zwischenziel ist erreicht. Die nun folgenden Umformungen sind weniger wichtig, erst der Schluss wird wieder interessant.

Auf beide Seiten wird der natürliche Logarithmus angewandt:

Auf beiden Seiten ist der letzte Term gleich. Wir können ihn daher abziehen. Außerdem können wir durch „ln(λ)” teilen.

Damit erhalten wir: 1 = a + b

Die ist der zentrale Ausdruck den wir benötigen. Ist die Summe der beiden Exponenten kleiner 1, haben wir fallende Skalenerträge. Ist er gleich 1, sind die Skalenerträge konstant und bei größer 1 sind sie schließlich steigend.

Ein letztes Zahlenbeispiel zum Verständnis. Diesmal sei λ=2 und die Funktion laute: . Die Summe der Exponenten ergibt zusammen vier und ist damit größer als 1. Es liegen steigende Skalenerträge vor. Das liegt daran, dass wenn wir die jeweiligen Exponenten auf λ=2 anwenden, sich der Faktor 4 für jeden Inputfaktor ergibt. Für beide zusammen damit 16. Insgesamt versechzehnfacht sich der Output in unserem (etwas unrealistischem) Beispiel, wenn beide Inputfaktoren nur verdoppelt werden. Jeder kann dies nachprüfen, in dem er beliebig Werte für und einsetzt, mal mit, mal ohne λ. Analog gilt diese Überlegung für konstante und steigende Skalenerträge natürlich auch.