Inhaltsverzeichnis
Als nächstes wollen wir das arithmetische Mittel als Lagemaß besprechen:
Auch wenn es nicht immer zu sinnvollen (aussagekräftigen) Ergebnissen führt (wie das Beispiel
Dieses gewöhnliche arithmetisches Mittel wird auch ungewogenes arithmetisches Mittel genannt.
Beispiel
Beispiel 36 - Arithmetisches Mittel:
Das Alter von sechs Menschen sind: 23, 45, 67, 19, 5, 51
Das mittle Alter wäre dann
Formel arithmetisches Mittel
Es werden zwei verschiedene Formen des arithmetischen Mittels unterschieden, die anders aussehen, es allerdings nicht sind:
Das ungewogene arithmetische Mittel
Jeder einzelne Beobachtungswert hat das gleiche Gewicht für (jeweils mit
Das gewogene arithmetische Mittel
Diese Formel wird benutzt, wenn einzelne Beobachtungswerte, also einzelne
Gewogenes arithmetisches Mittel berechnen
Beispiel
Beispiel 37:
Es soll das arithmetische Mittel der folgenden Zahlen ausgerechnet werden:
1, 4, 4, 5, 2, 8, 8, 8, 11, 3
Mit dem ungewogenen arithmetischen Mittel wird jeder Beobachtungswert
Man rechnet also
Beim gewogenen arithmetischen Mittel wird gewichtet. Es wird also nicht mehr mit den Beobachtungswerten
j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 11 | |
1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | |
Der Wert
Gleiche Werte werden also zusammengefasst und so kann das arithmetische Mittel schneller berechnet werden:
bzw.
Merke
Wichtig zu beachten ist, dass die Menge m der Merkmalsausprägungen
Das gewogene arithmetische Mittel hat den Vorteil, dass der Rechenaufwand geringer ist, für den Fall, dass alle Beobachtungswerte vorliegen.
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Eigenschaften des arithmetischen Mittels
Vorsicht
Das arithmetische Mittel ist anfälliger für Ausreißer als es der Median oder der Modus ist.
Das folgende Beispiel soll dieses zeigen:
Beispiel
Beispiel 38:
Für den Jahresabschluss eines Unternehmens sollen folgende Buchungen ins System eingetragen werden: 250€, 350€, 250€, 450€ und 500€. Allerdings wird aus Versehen an die letzte Zahl eine Null zu viel drangehangen (also 5000€ statt 500€).
Wie ändern sich dadurch die jeweiligen Mittelwerte?
Die geordnete Urliste wäre normalerweise 250€, 250€, 350€, 450€, 500€, sie ist jedoch 250€, 250€, 350€, 450€ und 5.000€. Sowohl der Modus als auch der Median bleiben von dem Fehler unberührt, sie lauten weiterhin 250€ bzw. 350€.
Nur das arithmetische Mittel
Das arithmetische Mittel zeichnet sich aus durch die
- Ersatzwerteigenschaft
- Nulleigenschaft
- Optimalitätseigenschaft
Die Eigenschaften bedeuten im Einzelnen:
Mit Ersatzwerteigenschaft ist gemeint, dass
Bezogen auf das Beispiel 36 der Alter, wird diese Gleichheit so bestimmt:
Die Nulleigenschaft sagt aus, dass
Die Summe aller Abweichungen ist also gleich null. Für das Beispiel 36 der Alter heißt dies
Die Optimalitätseigenschaft besagt, dass
Addiert man also das Quadrat der einzelnen Abweichungen der Beobachtungswerte
Nimmt man bspw.
für
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