Inhaltsverzeichnis
1. Aufgabe
Die Schätzfunktionen
Überprüfe:
a)
b)
c)
Hinweis
iid= engl. indipendently identically distributed (unabhängig identisch verteilt)
Vertiefung
Lösung:
a)
Auf Grund der Linearität des Erwartungswertes erhalten wir:
Demnach ist:
Also wird deutlich, dass
b)
Überprüft wird:
Somit ist es:
Folglich kommt es zu:
Die Schätzfunktion
c)
Zuletzt wird diese geprüft:
Daraus resultiert:
Folglich ist:
Somit ist
2. Aufgabe
Wenn Y und Z unabhängige Zufallsvariablen sind, ist dann die Schätzfunktion
Vertiefung
Lösung:
Aufgrund der Unabhängigkeit beider gilt diese Gleichung: E(YZ) = E(Y) * E(Y)
Es ist
Demnach ist
3. Aufgabe
Wenn Y einer Zufallsvariable mit
Vertiefung
Lösung:
Daraus resultiert:
Demnach ist
4. Aufgabe
Ist die Schätzfunktion
Vertiefung
Lösung:
Damit entspricht es:
Demnach ist
5. Aufgabe
Die folgenden Schätzfunktionen sind dahingehend zu überprüfen, welche erwartungstreu für die Varianz ist:
a)
b)
c)
Vertiefung
Lösung:
Die Varianz der auftretenden Zufallsvariable ist
Wenn die Schätzfunktion
a) Überprüft wird, ob für
Der Erwartungswert ist hier linear. Fortlaufend ist
Somit gilt:
Dabei zeigt sich, dass…
b) Geprüft wird, ob
Zu Beginn ist festzustellen, dass…
Hinzugezogen wird dabei die Definition des arithmetischen Mittels
Ob eine Erwartungstreue in Bezug auf die Varianz vorherrscht, kann gemäß der vorherigen Herleitung folgendermaßen überprüft werden:
Für das weitere Vorgehen ist es von Bedeutung zu wissen, dass
wodurch
Unter Berücksichtigung der letzten Formel für
so dass
Infolge der Unabhängigkeit beider gilt hier:
wodurch:
Es gilt:
c)
6. Aufgabe
Gegeben ist das gewogene arithmetische Mittel:
Folglich ist
Vertiefung
Lösung:
Die Erwartungstreue von
Demnach ist
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