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Sind Merkmalswerte Quotienten, von denen also entweder der Zähler oder der Nenner nicht gegeben sind, so verwendet man das harmonische Mittel. Hier einige Beispiele.
Beispiel
Beispiel 40:
Ein Rennfahrer macht auf verschiedenen Strecken Testfahrten mit seinem neuen Rennwagen und legt folgende Strecken bei gegebenen Durchschnittsgeschwindigkeiten zurück:
Durchlauf | 1 | 2 | 3 | 4 |
Distanz | 120 km | 240 km | 175 km | 125 km |
Ø Geschwindigkeit | 80 | 120 | 100 | 250 |
Wie lange hat er insgesamt gebraucht? Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist er insgesamt gefahren?
Der Begriff Geschwindigkeit ist definiert als Weg s pro Zeit t, also
Durchlauf | 1 | 2 | 3 | 4 |
Zeit | 1,5 h | 2 h | 1,75 h | 0,5 h |
So ist er bspw. auf Strecke 1 die Distanz von 120 km mit 80
Insgesamt war er 5,75 h unterwegs, bei einer Gesamtdistanz von 660 km hatte er demnach eine Durchschnittsgeschwindigkeit von
Beispiel
Beispiel 41:
Dieser Rennfahrer gibt nun lediglich an, wie lange er für die einzelnen Strecken gebraucht hat und mit welcher Geschwindigkeit er gefahren ist, jedoch nicht die Länge der Distanz:
Strecke | 5 | 6 | 7 | 8 |
Zeit | 2 h | 1,5 h | 0,75 h | 1h |
Ø Geschwindigkeit | 50 | 100 | 80 | 150 |
Welche Strecke hat er insgesamt zurückgelegt? Was war dabei seine Durchschnittsgeschwindigkeit?
Wir berechnen zunächst die längen der einzelnen Strecken, wie bspw. für Weg 5:
Strecke | 5 | 6 | 7 | 8 |
Distanz | 100 km | 150 km | 60 km | 150 km |
Insgesamt fuhr der Student also 460 km in einer Zeit von 5,25 Stunden. Das ergibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von
Formel harmonisches Mittel
Möchte man den Mittelwert aus Brüchen
Es ist aber auch möglich, ohne erst Zähler oder Nenner zu bestimmen den Mittelwert zu berechnen. Dies geht über die indirekte Methode, diese nennen wir auch harmonisches Mittel
Expertentipp
Mittelwerte bei Brüchen:
Gegeben seien die Beziehungszahlen
Wir berechnen das Mittel aus diesen Werten:
- wenn die einzelnen Nenner
unbekannt sind durch: - wenn die einzelnen Zähler
unbekannt sind durch:
Wollen wir diese nun auf die obigen Beispiele anwenden:
Beispiel 40, bei unbekanntem Nenner
Beispiel 41, bei unbekanntem Zähler
Dadurch, dass wir es jetzt sehr ausführlich hingeschrieben haben, können wir erkennen, dass sich beiden Methoden gar nicht so sehr unterscheiden. Die Anwendung des harmonischen Mittels ist im Prinzip nicht anderes, als die der direkten Methode, das Ausrechnen entweder des Zählers oder des Nenners.
Oftmals schreibt man die Formel für das harmonische Mittel folgendermaßen:
bzw.
Hierbei sind die
Im Beispiel 40 ist z.B.
Damit rechnet man das harmonische Mittel aus als
Mittelwerte und Skalenniveau
Merke
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass die Skalierung der Merkmalswerte bestimmend sind für die Anwendung des entsprechenden Mittelwertes.
Die Tabelle gibt nochmals einen Überblick für den passenden Mittelwert bei entsprechender Skala:
Skala | Lageparameter |
Nominalskala | Modus |
Ordinalskala | Median |
Intervallskala | arithmetisches Mittel |
Verhältnisskala | geometrisches Mittel |
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