Inhaltsverzeichnis
In diesem Teil finden die Schemas in den folgenden Beispielen ihre Anwendung.
Die Vorgehensweise verläuft auch hier schrittweise.
Beispiele zu Schema (1)
Diese Beispiele beziehen sich auf die Bestimmung des Konfidenzintervalls für
Beispiel
1. Beispiel:
Für den Erwartungswert
Gegeben ist das Konfidenzniveau von
was so viel wie bedeutet. Es wird ersichtlich, dass
Bestimmt werden kann nun das
-Fraktil z der Standardnormalverteilung N(0,1), welches der Tabelle zu entnehmen ist und z=1,96 entspricht. ist das arithmetische Mittel der Stichprobe. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls entspricht dann:
Wir erhalten ein Konfidenzintervall von: [5-0,588;5+0,588]=[4,412;5,588].
Beispiel
2. Beispiel:
Der Autohersteller Audi hat ein neues Modell herausgebracht und interessiert sich für das Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % für den durchschnittlichen Benzinverbrauch μ pro 100 [km]. Um dies zu ermitteln, lässt die Firma Testfahrten mit 30 Wagen dieser Serie durchführen.
Der Benzinverbrauch ist normalverteilt und beträgt somit σ = 0.9 [l/100 km]. Durch die Tests ging ein Durchschnittsverbrauch von 9.1 [l/100 km] bei allen 30 Testwagen einher.
Gegeben ist:
(0,975)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung beträgt:
In der Stichprobe ist das arithmetische Mittel zu
gegeben. Daraus ergibt sich
Der Konfidenzintervall ist:
Beispiel
3. Beispiel:
Ein Getränkehersteller interessiert sich für das Konfidenzintervall der abgefüllten Flaschen. Es liegt eine Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% für die durchschnittliche Füllmenge pro Liter vor. Für die Ermittlung dessen werden 6 Flaschen aus der Gesamtmenge hinzugezogen.
Flasche | Füllmenge in Liter [l] |
1 | 0,51 |
2 | 0,52 |
3 | 0,5 |
4 | 0,5 |
5 | 0,51 |
6 | 0,52 |
Der Aufgabenstellung kann sowohl
Der Aufgabenstellung zufolge ist:
Die Irrtumswahrscheinlichkeit
kann aus der Gleichung ermittelt werden. Somit ergibt sich daraus Dann ist Die Tabelle gibt auskunft über das
- Fraktil z der N(0,1) Verteilung. Zu entnehmen ist z=1,96. Das arithmetische Mittel aus der Stichprobe ergibt:
Somit beträgt es
Im letzten Schritt kann demnach das entsprechende Konfidenzintervall genau angegeben werden und lautet:
Das ergibt sich einKonfidenzintervall von: KI=[0,494 ; 0,526] .
Beispiele zu Schema (2)
Die Beispiele beziehen sich auf das zweite Schema, da es sich hierbei um den Konfidenzintervall für
Beispiel
1. Beispiel:
Die Höhe der hergestellten Fensterrahmen einer Fensterbaufirma ist normalverteilt und die Streuung nicht bekannt. Aus der laufenden Produktion werden zugunsten der Stichprobe drei Rahmen herausgezogen (n = 3).
Daraus ergeben sich die Werte: 10,5 cm ; 10,5 cm ; 10,5 cm.
Zu bestimmen ist hierbei der Erwartungswert
Bekannt ist das Konfidenzniveau
und . Ersichtlich wird, dass
. Mit Hilfe der passenden Tabelle kann das 0,975-Fraktil der t(3)-Verteilung bestimmt werden, welches t = 3,1824 beträgt.
Bei dem arithmetischen Mittel handelt es sich hier um
Es ergibt sich eine Stichprobenstandardabweichung von:
Die halbe Breite des Konfidenzintervalls beträgt dann:
Das Konfidenzintervall ist: [10,27-0,463;10,27+0,463]=[9,807;10,733].
Beispiel
2. Beispiel:
Das Nettogewicht einer Packung mit gemahlenen Kaffee beträgt beispielsweise 500 g, ist normalverteilt und aus der einfachen Stichprobe von n = 25 ergibt sich
Gesucht ist ein 95 % Konfidenzintervall für den Erwartungswert.
Der Aufgabenstellung zufolge ist
und somit auch Die (0,975)-Fraktils t der t(25-1) -Verteilung:
wird bestimmt. Aus dem arithmetische Mittel und s ergibt sich:
und s = 5. beschreibt die halbe Breite des Konfidenzintervalls. Somit ist es
.
Beispiel
3. Beispiel:
Dieser Aufgabe ist die Standardabwichung
Das 0,975-Fraktil der t(5)-Verteilung kann eingesehen wird, wodurch der Wert t=2,571 abzulesen ist.
Der 3. Beispielaufgabe ist das bereits berechnete, arithmetische Mittel zu entnehmen. Daraus ging der folgende Wert hervor:
Das Ergebnis der Stichprobenstandardabweichung ist somit: =0,0089 Gerechnet wird dann
woraus der Wert 0,0093 resultiert. Der Konfidenzintervall ist:
Beispiel zu Schema (3)
Dieses Beispiel bezieht sich auf das dritte Schema zur Ermittlung des Konfidenzintervalls
Beispiel
Nach der Ziehung innerhalb einer Stichprobe ergibt sich für n = 50 und ein Mittelwert von:
Das Baumschema des Schema (3) dient hier ebenfalls zur Hilfe.
Weil
ergibt sich: Daraus resultiert:
Im 3. Schritt des Schema (3) ist eine Approximationsbedingung erwähnt, welche erfüllt sein muss. Diese ist hier erfüllt, da n > 30 laut der Aufgabenstellung ist. Wir entnehmen der entsprechenden Fraktil-Tabelle, dass das (0,995)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung gegeben ist durch: z = 2,58.
Gemäß der Aufgabenstellung:
. beschreibt die halbe Breite des Konfidenzintervalls. Daraus hervor geht das Konfidenzintervall:
Beispiel zu Schema (6)
In diesem Beispiel kommt es zur Anwendung des sechsten Schemas zur Ermittlung eines Konfidenzintervalls für
Beispiel
Leo hat bei einer Jubiläumsfeier 80 Lose gekauft. Leider musste er feststellen, dass davon 73 Nieten sind.
Die Aufgabe besteht nun darin, für den Anteil der Nieten einen 95 % - Konfidenzintervall zu erfassen.
Das Wort „Anteil“ liefert bereits einen Hinweis, sodass daraus einhergeht, dass es sich um eine dichotome Grundgesamtheit handelt. Demnach bestehen hier nur die beiden Möglichkeiten der Nietenziehung und Gewinnziehung.
Dem Baumschema zufolge ist für diese Aufgabe das Schema (6) geeignet.
Gesucht wird ein 95% Konfidenzintervall. Das Konfidenzniveau beträgt:
Eine Berechnung ist mit:
durchzuführen. Ermittelt werden muss nun das arithmetische Mittel in der Stichprobe:
Mit Hilfe der Fraktil-Tabelle für die Standardnormalverteilung [N(0,1)] das (0,975) – Fraktil z, ist zu entnehmen, dass z = 1,96 beträgt. Folglich ist dann zwischen dem 1. und 2. Fall zu unterscheiden. Gezogen wird aus einer enorm großen Menge an Losen, welche gleichzeitig die Stichprobenelemente bilden, die nicht zurückgelegt werden. Dabei wird ersichtlich, dass die Grundgesamtheit binomial verteilt ist. Des Weiteren ist eine Verifizierung von Nöten
und . Im Rahmen des Umfangs der Stichprobe (n=80) ergeben sich die Ergebnisse: = 80*0,9125=73>5 und =73 <n-5=75. Folglich soll eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen
ermittelt werden. Hierbei liegt der 1. Fall vor, wodurch = 0,2826 ergibt. bezieht sich auf die halbe Breite des Konfidenzintervalls. Das ermittelte Konfidenzintervall lautet:
Beispiele zu Schema (7)
Diese Beispiele beziehen sich auf die Anwendung des siebten Schemas zur Ermittlung eines Konfidenzintervalls für
Beispiel
1. Beispiel:
Bei der Produktion von Küchenrollen trennt eine Maschine die einzelnen „Tücher“ ca. alle 24 cm voneinander ab. Um die Streuung der Länge festzustellen, werden im Rahmen der Stichprobe 24 Stücke herausgezogen und gemessen. Ergeben hat sich daraus:
Die Aufgabe besteht darin, das Konfidenzintervall für
Das Konfidenzniveau ist
so dass ist. Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um den ersten Fall, da μ unbekannt ist.
Zugunsten der Übersichtlichkeit ist:
Das -Fraktil und -Fraktil der gegeben durch: und Somit ergibt sich:
Beispiel
2. Beispiel:
Bei der Betrachtung der Kalorienanzahl von einer Erdbeerschnitte wird deutlich, dass diese normalverteilt ist. Demnach wird eine Stichprobe durchgeführt, indem 11 willkürliche Schnitten genommen werden. Dabei ergeben sich die Werte für á 200 g: 1020; 900; 1010; 1000; 990; 1090; 1000; 1020; 1030; 960; 1040. Bereits gegeben ist, dass
Die Aufgabe besteht darin, den Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit zu ermitteln.
Dem Bauschema ist zu entnehmen, dass Schema (7) zur Lösung der Aufgabe geeignet ist.
Auf Grund von
beträgt das Konfidenzniveau: . Die Aufgabenstellung gibt keine weiteren Informationen, wesewegen
nicht bekannt ist und dem 1. Fall entspricht. Das (0,005)-Fraktil
und das (0,995)-Fraktil der
-Verteilung ist zu bestimmen. Der passenden Tabelle zu entnehmen, dass und Zu guter Letzt ist
zu ermitteln. Die angefertigte Tabelle soll dabei als Stütze dienen:
Gem. Werte je 200g | |||
1.020 | 1.005,45 | 14,55 | 211,7 |
900 | 1.005,45 | -105,45 | 11.119,7 |
1.010 | 1.005,45 | 4,55 | 20,7 |
1.000 | 1.005,45 | -5,45 | 29,7 |
990 | 1.005,45 | -15,45 | 238,7 |
1.090 | 1.005,45 | 84,55 | 7.148,7 |
1.000 | 1.005,45 | -5,45 | 29,7 |
1.020 | 1.005,45 | 14,55 | 211,7 |
1.030 | 1.005,45 | 24,55 | 602,7 |
960 | 1.005,45 | -45,45 | 2.065,7 |
1.040 | 1.005,45 | 34,55 | 1.193,7 |
22.872,7 |
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