In diesem Teil werden wir uns ausführlicher mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund in Bezug auf die Fehlerarten beschäftigen, um den Signifikationstest besser zu verstehen. Dazu schauen wir uns eine normalverteilte Grundgesamtheit mit bekannter Standardabweichung an.
Betrachtet wird hier der Einstichproben -Gaußtest zum Signifikanznivaeu
Demnach kann sich die Frage gestellt werden, ob das zufolge hat, dass die Hypothese
Das arithmetische Mittel
Demnach ist
Wir kennen den Erwartungswert des arithmetischen Mittels nicht. Falls das nicht der Fall wäre, wäre der Test nicht durchführbar, weil der Erwartungswert des arithmetischen Mittels dem Wert der Grundgesamtheit gleichermaßen entspricht.
Folglich muss
Somit ist
Bei dem Zusammenhang spricht man auch von dem "Wurzel n-Gesetz“.
Es ergibt sich:
Unbeantwortet bleibt jedoch die Frage, wann es soweit ist
In der oben abgebildeten Normalverteilung, ist der kritische Wert des Alphafrakils zu sehen.
Es wird ersichtlich, dass das arithmetische Mittel
Wenn angenommen wird, dass
Somit ist dies mit der Testfunktion deckungsgleich.
Fortlaufend lassen sich die Überlegungen zur oberen Graphik auf den Testfunktionswert anwenden:
Zu beachten ist, dass vermutet wird, dass
Wenn es nun so ist, dass v eine signifikante Abweichung von null nach unten aufweist, dann kann davon ausgegangen werden, dass
Daraus resultiert dann der Verwerfungsbereich
Das Alphafraktil der Standardnormalverteilung ist z. Meist sind hierbei lediglich Werte für
wegen der Symmetrieeigenschaften der Standardnormalverteilung. Falls v im Verwerfungsbereich liegt, dann kommt es zu einer Verwerfung von
Da v unter der Annahme ermittelt wurde, dass
Demnach wäre möglich, dass man zu der Entscheidung käme, dass
Es wird deutlich, dass der Erwartungswert der Testfunktion kleiner als null ist.
Es wurde davon ausgegangen, dass die Standardabweichung in der Grundgesamtheit bekannt ist, was gleichzeitig heißt, dass sich diese nicht verändert sondern gleich groß bleibt.
Somit ist
Da wir vorausgesetzt haben, dass
Wenn dabei davon ausgegangen wird, dass
Die folgende Abbildung zeigt den Einstichproben – Gaußtest:
Anhand der Abbildung sehen wir, dass dies nicht immer der Fall ist. In 100 mal
Die Firma Neuser GmbH steht vor der Aufgabe, neue Schneidemaschinen zu besorgen, da sich die alten im Laufe der Zeit abgenutzt haben. Dabei soll herausgefunden werden, ob sich die neue Anschaffung gelohnt hat. Um das zu überprüfen, wurden fünf Bleche hinzugezogen und durchgeschnitten. Dabei konnten die folgenden Werte bei einer Schneideeinstellung von 160 mm vernommen werden:
160 mm
161 mm
162 mm
166 mm
161 mm
Aufgaben:
a. Beweisen Sie mittels des Einstichrobengauß – Tests bei einer bekannten Standardabweichung von
b. Welche Größe umfasst der Betafehler, falls
Lösung zur Aufgabe a
Anwendungsvoraussetzungen
Die Anwendungsvoraussetzungen sind gegeben.Wahl der Hypothese
c)gegen Signifikanzniveau
Testfunktionswert
Verwerfungsbereich
Hinsichtlich der Wahl der Hypothese ist der Verwerfungsbereich zu wählen, d.h.bei dem das 95 % Fraktil \ der N(0;1) Verteilung z ist.
Demnach istTestentscheidung
Weilwird verworfen. Deutung
Der Erwartungswert ist größer als 16 cm, wenn das Signifikanzniveau 5 % beträgt.
Lösung zur Aufgabe b
Hinsichtlich der Größe des Betafehlers kommt folgendes heraus:
aufgrund von
Wenn
Das bedeutet, dass, obwohl
Beispielaufgaben zur Klausurvorbereitung
Zugunsten der Fehlervermeidung in der Statistikklausur, wurden die folgenden Aufgaben falsch gelöst.
1. Aufgabe
Ausgehen davon, dass VAR(Y) = 100 und VAR(Z) = 6 , besteht die Annahme, dass die Varianz von Y+Z folgendes beträgt: VAR(Y)+VAR(Z) = 10 +6 = 16.
Vertiefung
Korrektur:
Wenn die Zufallsvariablen eine Unabhängigkeit aufweisen würde, dann wäre die Lösung korrekt. Da dieser Fakt jedoch unerwähnt bleibt, ist die Aufgabe nicht zu lösen.
2. Aufgabe
VAR(Y) = 10. Zu finden ist die Varianz von Z = 10Y.
Demnach ist davon auszugehen, dass: VAR(Z) = VAR(10Y) = 10*VAR(Y) = 100.
Vertiefung
Korrektur:
Dabei wurde eine falsche Rechenregel angewandt.
Bei der Varianzrechenregel kommt heraus: VAR(Y) = VAR(10X) =
3. Aufgabe
Laut den Ergebnissen einer einfachen Stichprobe sind von 20 Personen ein fünftel gestresst. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Anteil der nicht gestressten Personen
Behauptung:
Vertiefung
Annahme:
Die Approximationsbedingungen der Normalverteilung sind nicht gegeben. Somit führt das dazu, dass der Konfidenzintervall auf keinem klassischen Weg bestimmbar ist.
4. Aufgabe
Bei einer Stichprobe mit einer normalverteilten Grundgesamtheit von fünf statistischen Einheiten, kommt für das arithmetische Mittel 80 und für die Standardabweichung fünf heraus.
Frage: Ist es möglich aufzuzeigen, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit unter 89 liegt?
Annahme: Die Anwendungsvoraussetzungen für den Einstichproben-Gaußtest sind erfüllt.
Da das Signifikanzniveau nicht bekannt ist, ist dieses frei wählbar. Damit wird hier ein gängiger Wert von
c)
Weil
Vertiefung
Annahme:
1. Es wurde hierbei richtig erkannt, dass es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit handelt und es somit zur einer Testung des Parameters
Da die Streuung gegeben ist, kommt der Einstichproben-t-Test (Test 3.2.2) zum Einsatz.
Die Wahl der Hypothese ist falsch.
Berichtigung
b)
Die Deutung macht ersichtlich, dass die Testtheorie nicht vollends von dem Klausurteilnehmenden verstanden wurde.
Merke
Nur weil es zu keiner Verwerfung von
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Signifikanztests bei einfachen Stichproben
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Signifikanztests bei einfachen Stichproben (Testtheorie) aus unserem Online-Kurs Stichprobentheorie interessant.
-
Tests bei zwei verbundenen Stichproben
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Tests bei zwei verbundenen Stichproben (Testtheorie) aus unserem Online-Kurs Stichprobentheorie interessant.