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Stetige Gleichverteilung
Merke
Eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion f
f(x) =
lautet, ist als stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b] definiert.
Graphisch stellt sich die Dichtefunktion einer Rechteckverteilung so dar:
Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:
Merke
F(x) =
Graphisch stellt sich die Verteilungsfunktion der Rechteckverteilung so dar:
Um das Ganze besser nachvollziehen zu können, machen wir folgendes Beispiel:
-
In der Musterstadt muss man max. 12 Min. auf ein Taxi warten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ankommender Fahrgast länger als x Minuten warten muss?
Zunächt sollte man sich die Funktion skizzieren. Dabei ist X die verbleibende Wartezeit und die Fläche hat die Grenzen a=0, wenn ein Taxi gerade sowieso anwesend ist und b=12 der Fahrgast die maximale Wartezeit von 12 Min. warten muss.
Mit der Dichtefunktion kann man bspw. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen von 4 bis 12 bestimmen. Also die Frage beantworten, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man zwischen 4 bis 12 Min. warten muss. Berechnet wird hier also die makierte Fläche, für die sich dann ergibt:
P(X ≥ 4) =
Mit der Verteilungsfunktion ist dies wbenfalls möglich. Es ist aber daruf zu achten, dass das „Größer-Gleich-Zeichen“ in „Kleiner-Gleich“ umudrehen ist, damit man die Verteilungsfunktion anwenden kann.
P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) = 1 – F(4) = 1 -
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