Gesetz der großen Zahlen

Grundlagen

Im Folgenden unterstellen wir, dass X_i unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Die neue Zufallsvariable =   bezeichnet das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen.

Ist z.B. n = 6, wird die Marke also sechs mal geworfen könnte ein möglicher Ausgang {s,r,s,s,r,s} sein. Bedeutet im ersten, dritten, vierten und letzem Wurf fällt schwarz, in den anderen Fällen rot.

Das arithmetische Mittel ist:

=   = (1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1) = = .

Durch die Summe der Zufallsvariablen  = (1 + 0  + 1 + 1 + 0 + 1) = 4, weiß man, dass insgesamt viermal schwarz gefallen ist, kann aber nicht sagen, in welchen Würfen genau.
Die Zufallsvariable des arithmetischen Mittels gibt also lediglich Auskunft darüber, dass in  der Fälle, nämlich in 66,67 %, schwarz gefallen ist. zeigt also nur die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses schwarz an.

Bei der Misesschen Wahrscheinlichkeitsdefinition haben wir das Problem erwähnt, mit der Zufallsvariablen immer größere n die Wahrscheinlichkeit für schwarz zu messen. Bei sechsmaligem Werfen hatten wir schon das mögiche Beispiel von P(schwarz) =   für {s,r,s,s,r,s}.
Werfen wir die Wählmarke häufiger, bspw. n = 15 mal, könnte das Ergebnis {s,r,s,s,r,s,r,r,s,r,s,s,r,s,r,} sein. Die Wahrscheinlichkeit wäre dann = = 53,33 %
Wir sehen also, dass bei einer deutlich größeren Anzahl an Würfen mit der Wählmarke sich die Wahrscheinlichkeit annähert, an die Wahrscheinlichkeit, die man sich vo einer fairen Wählmarke P(schwarz)= = 50 % wünscht.
Trotzdem wäre es möglich, dass das Ergebnis für n = 15 auch ganz anders verläuft z.B. (r,s,s,r,r,r,r,s,s,r,r,s,r,r,r) = = 33,3 %
Dann wären wir also weiter weg von der erhofften (und bei einer fairen Münze richtigen) Zahl P(schwarz) = 50 %.

Das schwache Gesetz der großen Zahlen zeigt uns aber, dass dieses Szenario für ein immer größer werdendes n immer unwahrscheinlicher wird.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Das bedeutet:

1. dass die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel vom Erwartungswert E(X_i) der einzelnen Zufallsvorgänge abweicht, größer oder gleich einer beliebigen, von einem fest vorgegebenem Wert c (welcher echt größer als null sein muss!), gegen null verläuft (oberer Grenzwert).
   
   
2. dass die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge abweicht, kleiner oder gleich einer beliebigen, von einem fest vorgegebenem Wert c (welcher echt größer als null sein muss!), gegen eins verläuft (unterer Grenzwert).

Angewendet für unser Beispiel bedeutet das, dass E(X_i) = (weil die Marke fair ist). Die Abweichung | - E(X_i)| wird immer kleiner, also  wird, wenn n immer größer wird, nahe bei liegen.