Inhaltsverzeichnis
Der Grundgedanke der Risikotransformation durch Portefeuillebildung ist es, ein Portefeuille (= Portfolio) aus den zwei bekannten Aktien A und B zu bilden.
Erwartete Rendite der Wertpapiere
Die zu erwartende Rendite der Aktie A aus dem vorherigen Beispiel liegt bei 9%, die von Aktie B bei 6%. Bildet man nun aus diesen zwei Wertpapieren ein Portefeuille liegt der Gesamterwartungswert
Merke
Ein bemerkenswerter und wichtiger Aspekt ist hierbei, dass diese Regel nicht für die Streuung des Portefeuilles gilt. Die Gesamtstreuung kann sich sogar unter gewissen Umständen unter die niedrigste Streuung eines einzelnen Wertpapiers fallen. In unserem Fall also unter 3,4059%.
Portefeuille und Erwartungswert
Ein Portefeuille aus m Wertpapieren mit den Erwartungswerten
Den Gesamterwartungswert
für den Fall, dass zwei Wertpapiere A und B mit den Anteilen
Hinweis
Das wie hier von m Wertpapieren reden und nicht von n liegt an dem Umstand, dass wir diese Variable schon im vorherigen Kapitel für die Anzahl der Umweltzustände vergeben haben. Da wir keine Variable zweimal vergeben, wird sie hier als m benannt.
Varianz des Gesamtportefeuilles
Die Varianz des Gesamtportefeuilles wird bestimmt von den einzelnen Anteilen
Man kann dies allerdings auch schreiben als
Merke
Portefeuillevarianz:
dabei ist Cov (A,B) die Kovarianz der Renditeentwicklung der zwei Wertpapiere A und B.
Sind jedoch m Wertpapiere gegeben sind, liest man diese Formel als:
Merke
Portefeuillevarianz:
Streuung des Gesamtportefeuilles
Die Streuung des Gesamtportefeuilles erhält man schließlich wieder als
Bspw. liegt ein Verteilung des Portefeuilles bei 60:40, bedeutet also
Der Gesamterwartungswert liegt dann bei
Die Gesamtvarianz ist
Somit beträgt das Gesamtrisiko 1,5335 %.
Es stellt sich allerdings die Frage, ob es noch "vorteilhaftere" Aufteilungen der zwei Aktien A und B gibt und welche Auswirkungen dies auf den Gesamterwartungswert
Dazu rechnet man als erstes für andere Verteilungen den Erwartungswert und die Streuung aus.
Die Ergebnisse sind folgende:
| Anteil des Wertpapiers A | Anteil des Wertpapiers B | Erwartungswert des Portefeuilles | Risiko des Portefeuilles |
| 1 | 0 | 9 | 3,4059 |
| 0,9 | 0,1 | 8,7 | 2,6404 |
| 0,8 | 0,2 | 8,4 | 1,9718 |
| 0,7 | 0,3 | 8,1 | 1,5322 |
| 0,6 | 0,4 | 7,8 | 1,5335 |
| 0,5 | 0,5 | 7,5 | 1,9748 |
| 0,4 | 0,6 | 7,2 | 2,6442 |
| 0,3 | 0,7 | 6,9 | 3,4099 |
| 0,2 | 0,8 | 6,6 | 4,2199 |
| 0,1 | 0,9 | 6,3 | 5,0529 |
| 0 | 1 | 6 | 5,8992 |
Tab. 35: Erwartungswert und Streuung für verschiedene Portefeuille-Mischungen
Merke
Man kann erkennen, dass sich einzig und allein durch die Kombination zweier Aktien A und B das Risiko insgesamt unzer das Risiko einer einzelnen Aktie drücken lässt. Dieser Effekt wird Diversifikationseffekt genannt.
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Linie der möglichen Portefeuilles
Die Kurve, die für alle Zusammensetzungen des Portefeuilles die erwartete Gesamtrendite und das Gesamtrisiko angibt, heißt Linie der möglichen Portefeuilles.
Sie ist – im Falle von zwei Wertpapieren - geschwungen zwischen den beiden Wertpapieren A und B und mehr oder weniger krumm.
Merke
Wie stark der Linie des möglichen Portefeuilles gekrümmt ist, ist abhängig vom Korrelationskoeffizienten r.
- Für r = 1 ist sie eine Verbindungsgerade zwischen den Punkten A und B. Es ist kein Diversifikationseffekt zu erzielen. Das minimale Portefeuillerisiko erzielt man, indem man nur ein Wertpapier reinnimmt, nämlich jenes mit der geringeren Streuung.
- Für r = -1 ist die Linie der möglichen Portefeuilles ebenfalls keine Kurve, sondern die Verbindung zweier Geradenstücke. Es ist eine vollständige Diversifikation möglich. Das Portefeuillerisiko lässt sich vollkommen weg diversifizieren. Das heißt, es existiert eine Kombination
und , die zu führt. Es ist damit ein sicherer Ertrag ohne jedes Risiko möglich.
- Für -1 < r < + 1 ist die Linie der möglichen Portefeuilles eine geschwungene Kurve zwischen den beiden Extremwerten.
Auffinden des risikominimalen Portefeuilles
Fall a)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient echt zwischen -1 und +1 liegt, interessiert man sich für die Kombination aus Wertpapieren A und B, die das minimale Portefeuillerisiko bilden. Hierbei nutzt man aus, dass
Man rechnet:
Die Ableitung nach dem Anteil des Wertpapiers A wird ausgerechnet:
Wenn man dies gleich null setzt und nach
Fall b)
Für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient sogar -1 ist, muss man ein anderes Verfahren wählen, da die Funktion
Man geht daher so vor, dass man gleich Null setzt und nach
Portfeuilleanteile:
Halten wir das Vorgehen des Auffindens des risikominimalen Portefeuilles fest:
Expertentipp
Risikominimales Portefeuille:
- Rechne zunächst den Korrelationskoeffizienten
aus - Rechne in Abhängigkeit von
die Anteile und aus , das Risiko ist sogar = 0 wähle oder je nachdem, welches einzelne Wertpapier die geringere Streuung hat.
Für das o.e. Beispiel gilt damit
und
Für diese Zusammensetzung des Portefeuilles ist das Gesamtrisiko minimal. Es liegt bei
Der Vergleich zwischen den beiden Punkte A und B ist bemerkenswert. Beide haben das gleiche Risiko, trotzdem hat die Portefeuillemischung A eine größere erwartete Rendite, das heißt
Allgemein gilt für die Portefeuilles
Merke
Ein Portefeuille A mit
wenn bei gleichem Risiko der erwartete Wert höher ist, das heißt
wenn bei gleichem Erwartungswert das Risiko geringer ist, das heißt
Wenn ein Portefeuille A nicht von einem anderen Portefeuille B dominiert wird, dann nennt man A effizient.
Effizienzlinie
Dabei kann man erkennen, dass auf der durchgehenden Linie alle Portefeuilles effizient sind, daher nennt man den Teil der Linie möglicher Portefeuilles auch Effizienzlinie. Also zeigt die Effizienzlinie den Bereich aller effizienten Ertrags-Risiko-Kombinationen.
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