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Merke
Wenn die maximale Intervalllänge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert und die Streuung in der Grundgesamtheit bekannt sind, dann ist dafür die relevante Anzahl an Stichprobenelementen folgendermaßen gegeben:
Beispiel
Ein Konfidenzintervall von 99 Prozent wurde ermittelt. Dieser hat die Form [2;4]. Dabei handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit der Streuung, welche
Damit stellt sich die Frage, wie hoch die Mindestgröße des Stichprobenumfang n zu sein hat, um die Intervalllänge zu unterschreiten.
Bei der Beantwortung hilft die Formel:
Die Länge des Intervalls wird mit „L“ gekennzeichnet. Diese ist wie folgt zu berechnen: L= oberste und unterste Grenze des Intervalls. Hierfür zählt: 4-2 = 2.
Der Aufgabenstellung zufolge ist:
Es werden demnach mindestens 60 Stichprobenelemente gebraucht, um zu gewährleisten, dass die gesamte Länge des Intervalls kleiner gleich zwei ist.
Merke
Wenn eine binomialverteilte Grundgesamtheit vorliegt, gilt für den entsprechenden Stichprobenumfang:
Stichprobenvarianz
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Aufgaben zum relevanten Stichprobenumfang
1. Aufgabe
Zu bestimmen ist der erforderliche Stichprobenumfang, wenn ein 95 %-iger Konfidenzintervall eine Länge von fünf Prozentpunkten aufweist.
Vertiefung
Lösung:
Für die fünf Prozentpunkte gilt:
Benötigt wird dafür die folgende Formel:
Somit ist
Demnach werden n = 1537 Stichprobenelemente benötigt.
2. Aufgabe
Im Rahmen der Meinungsumfrage in Bezug auf einen politischen Gesetzesentwurf soll herausgefunden werden, wie viele BürgerInnen für den Entwurf stimmen würden. Alle Stimmen werden in % angegeben.
Demnach stellt sich die Frage, wie viele Personen mindestens bei einem 94%-igen Konfidenzintervall, das eine Breite von vier Prozentpunkten besitzt, zu befragen sind, in Anbetracht der relativen Häufigkeit:
ca. 44 Prozent
ca. 35 Prozent
im Bereich zwischen 10 und 20 Prozent liegt.
Vertiefung
Lösung:
Gemäß des Schema (6) kann die Stichprobenvarianz für die Standardabweichung genutzt werden, was
Der erforderliche Stichprobenumfang ist durch:
Zu 1.:
Eine Stichprobe mit einem Umfang von n = 2.178 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.
Zu 2.:
Eine Stichprobe mit einem Umfang von n = 2.011 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.
Zu 3.:
Eine Stichprobe, mit einem Umfang von n = 1.414 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.
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