Zentraler Grenzwertsatz

Die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes lässt sich in Worten dadurch beschreiben, dass die Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X_i für immer größeres n sich beliebig genau durch eine Normalverteilung berechnen lässt, d.h. dass die Verteilung von  immer besser durch N(n·μ, σ·. Also:

Zentraler Grenzwertsatz

Die Zufallsvariable wird standardisiert, weil die Grenzverteilung von  X_i, nämlich N(n·μ, σ·), noch von der Anzahl n abhängig ist, was als nachteilig empfunden wird.
Die standardisierte Zufallsvariable Y_n = hat diesen Nachteil nicht mehr, die Zufallsvariable N(0,1) ist unabhängig von n.

Der Zwecks des Zentralen Grenzwertsatzs ist es, obwohl die exakte Verteilung der einzelnen X_i unbekannt ist, es zu ermöglichen, einfach die entsprechende Normalverteilung zu nehmen, um Wahrscheinlichkeiten näherungsweise zu berechnen, da das Ergebnis  für immer größeres n brauchbar ist.

Exakte Lösung mit der Binomialverteilung

Die einzelnen X_i sind binomialverteilt mit dem Erwartungswert μ = E(X_i) = 1· = 0,5 und der Standardabweichung σ =  = 0,5.
Da die einzelnen X_i unabhängig voneinander sind, gilt  X_i ~ B(n, ) als exakte Verteilung.

Für n = 5 gilt also mit der B(5,) – Verteilung:

P(X_i ≤ 3) = P(Xi = 0) + P(X_i = 1) + ... + P(X_i = 3)

= · · +  · · + ... +  · ·

=+5·+10·+10·

=  ·(1 + 5 + 10 +10)

=  = 0,812

Approximative Lösung:

Approximativ – also mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes – rechnet man mit der entsprechenden Normalverteilung, die von n abhängig ist:

für n = 5:  X_i ~ N(5·;  · ) = N(2,5; )

Für n = 5 rechnet man approximativ:

P(X_i ≤ 3) = P(  )

= Ф() = Ф (0,447) = 0,67364.

Die Abweichung zwischen dem exakten Wert – 0,812 und dem approximativen Ergebnis ist also 0,138.

Für n = 15 rechnet man analog. Zur Übung rechne doch ersteinmal für dich und klappe dann die Box auf.

Wir sehen also, dass bei größerem n die Abweichung immer kleiner wird.