Kursangebot | | Berechnen von mechanischen Beanspruchungen

Berechnen von mechanischen Beanspruchungen

01. Was sind mechanische Spannungen?

Voraussetzung für einen Umformvorgang ist das Wirken äußerer Kräfte und/oder Momente. Bei den unterschiedlichsten Umformvorgängen (mechanische Beanspruchung von Werkstoffen) entstehen unterschiedlichste Spannungszustände:

  • Lastspannungen sind nach Art und Richtung der Beanspruchung definiert: Zug, Druck, Biegung, Scherung und Torsion.

  • Eigenspannungen sind Spannungen in einem Bauteil nach inhomogener plastischer Verformung. Die inneren Kräfte und Momente stehen dabei im Gleichgewicht. Eigenspannung entsteht beim Urformen, Umformen, Fügen, Trennen, Wärmebehandeln und Beschichten.

    Je nach Art und Lage im Bauteil können Eigenspannungen die Festigkeit herabsetzen oder erhöhen (z. B. erhöhte Dauerfestigkeit bei Druckspannungen in Oberflächenbereichen).

Aus der in beliebiger Richtung wirkenden Kraft F ergibt sich die Komponente

Fnin der normalen Richtung und
Ftin tangentialer Richtung.

Bei gleichmäßiger Verteilung über die Gesamtfläche A ergibt sich die

Normalspannung

 

$$δ = \frac{F_{n}}{A}$$

und die

Tangentialspannung (Schubspannung)

 

$$τ = \frac{F_{t}}{A^{·}}$$

Die Einheit einer mechanischen Spannung ist das Pascal (Pa):

 

$$[δ] = [τ] = \frac{N}{m^{2}} = Pa$$

Aus Sicherheitsgründen werden die Körper nicht bis zur Belastungsgrenze beansprucht. In Abhängigkeit von den materialabhängigen Größen Streckgrenze (Rc) und Zugfestigkeit (Rm) sowie einer Sicherheitszahl v (nü) wird

  • die zulässige Zugspannung δzzul wie folgt errechnet:

    $$δ_{zzul} = \frac{R_{c}}{v}$$

    für StahlRcStreckgrenze

    $$δ_{zzul} = \frac{R_{m}}{v}$$

    für GusseisenRmZugfestigkeit
  • Die zulässige Zugspannung Fzul ist:

    $$F_{zul} = δ_{zzul} \cdot S$$

    SQuerschnittsfläche
  • Analog gilt für die zulässige Druckspannung δdzul

    $$δ_{dzul} = \frac{δ_{dF}}{v}$$

    für StahlδdFQuetschgrenze

    $$δ_{dzul} = \frac{4 \cdot R_{m}}{v}$$

    für GusseisenRmZugfestigkeit
  • und die zulässige Druckkraft Fzul

    $$F_{zul} = δ_{dzul} \cdot S$$

    SQuerschnittsfläche

Diese Spannungen führen zu folgenden Formänderungen:

imported

 

02. Was sagt das Hookesche Gesetz aus?

  • Dehnung:

    Ein fester Körper wird nur in einer Richtung auf Zug oder Druck beansprucht; er wird gestaucht oder gedehnt. Die Zug- oder Druckkraft verursacht eine Längenänderung Δ l, deren Größe außer von den Abmessungen auch vom Material und von der Kraft abhängig ist.

    Es gilt das Hookesche Gesetz:

    → Spannung und Dehnung sind einander proportional.

     

    $$\frac{F}{A} = E \frac{\Delta\;  I}{L_{0}}$$

    → Der Elastizitätsmodul E ist das Verhältnis der erforderlichen Spannung δ zur relativen Längenänderung Δ l/l (Dehnung ε):

     

    $$E = \frac{δ}{ε}$$

    bzw.

     

    $$δ = ε \cdot E$$

    Der Elastizitätsmodul ist eine Materialkonstante und gilt nur innerhalb des Elastizitätsbereiches bzw. bis zu der Proportionalitätsgrenze δp; δp ist die Größe, bis zu der Spannung und Dehnung proportional bleiben (E = konstant).

    → Kraft und Längenänderung sind proportional:

     

    $$F ∼ \Delta\;  l$$

    Für die Längenänderung Δ l ergibt sich

     

    $$\Delta\;  l = l \frac{δ}{E}$$

    → Die Volumenänderung ist

     

    $$\Delta\;  V = p \cdot \frac{V}{K}$$

    mit

    $$p = \frac{F_{n}}{A}$$

    Dabei ist:

    KKompressionsmodul (Verhältnis von Druck und relativer Volumenänderung)
    FnNormalkraft in N
    AFläche in mm2
    pFlächenpressung = 

    $$\frac{N}{mm^{2}}$$

     

    $$F_{n} = F \cdot sin\; α$$

    Im technischen Gebrauch wird der Druck auch als Flächenpressung bezeichnet.

    → Bei Druckkräften ergibt sich eine Verkürzung: Spannung δ und Längenänderung Δ l sind negativ.

    Zugspannung: δ > 0

    Druckspannung: δ 

    → Außer der Längenänderung ändert sich durch eine mechanische Spannung auch die Abmessung des Körpers quer zur Kraft:

     

    $$\frac{\Delta\;  d}{d} = – μ \frac{\Delta\;  I}{I}$$

    Dabei ist:

    dQuerabmessung
    Δ dÄnderung der Querabmessung
    lLänge
    Δ lLängenänderung
    μPoisson-Zahl

Die Poisson-Zahl μ ist eine Materialkonstante und gibt das Verhältnis von relativer Änderung der Querabmessung zu relativer Längenänderung an. Die Zahlenwerte für die Poisson-Zahl liegen für alle Stoffe zwischen 0 und 0,5.

 

03. Was ist ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm?

Es handelt sich hierbei um die grafische Aufzeichnung der Ergebnisse eines Zugversuches an definierten Probestäben (Prüfstäbe). Dabei werden die registrierten Kräfte auf den Ausgangsquerschnitt und die Verlängerungen der Stäbe auf die Anfangsmesslängen bezogen: Man erhält ein Spannungs-Dehnungs-Bild.

Außer dem Elastizitätsmodul E (s. oben) erhält man so

  • die Streckgrenze Re als Grenzspannung zwischen elastischer und plastischer Verformung,

  • die Zugfestigkeit Rm als die höchste erreichbare Spannung,

  • die Bruchdehnung A als die auf die Ausgangslänge bezogene Längenänderung und

  • die Brucheinschnürung Z als Verhältnis der Querschnittsänderung an der Bruchstelle zum ursprünglichen Querschnitt.

 

04. Wie entsteht Scherung und wie wird sie berechnet?

Wenn die Kraft (Tangentialkraft) parallel zu zwei gegenüberliegenden Flächen eines Körpers wirkt, werden beide Flächen gegeneinander verschoben. Stellt man sich ein Modell vor, so entsteht die Verformung durch Verschiebung einzelner Schichten gegeneinander:

imported

Dabei ist:

FtTangentialkraft parallel zu A
AFläche (mitunter wird für die Scherfläche der Buchstabe S verwendet)
τSchubspannung
γScherwinkel
GSchubmodul

Diese Verformung wird Schub genannt. Ist der Abstand zwischen den Wirkungslinien der verschiedenen Kräfte Ft und – Ft sehr klein, spricht man von Scherung (z. B. bei Bolzen- oder Stiftverbindungen).

Die Schubspannung (τ = Ft/A) erzeugt den Scherwinkel γ.

 

$$τ = \frac{F}{A} = G\; \cdot γ$$

 

$$[G] = \frac{N}{m^{2}} = Pa$$

 

$$[γ] = rad$$

Dabei ist G der Schubmodul, auch als Scherungs-, Gleit- oder Torsionsmodul bezeichnet. Der Schubmodul G ist ebenso wie der Elastizitätsmodul E und die Poisson-Zahl μ in entsprechenden Tabellen zu finden.

 

05. Was ist Torsion?

Die Torsion (auch: Drillung) eines Zylinders (Radius r, Länge l) stellt einen Sonderfall des Schubs dar. Wenn durch tangentiale Kräfte am Zylinder ein Drehmoment M in Richtung der Zylinderachse erzeugt wird, werden dadurch die beiden Querschnitte um den Winkel φ gegeneinander verdreht. Durch Umrechnung aus γ = l/G • δt kann die Beziehung

 

$$M_{t} = \frac{π}{2}\; G \frac{r^{4}}{I}\; \cdot φ$$

mit Mt Torsionsmoment abgeleitet werden (als spezielle Form des Hook’eschen Gesetzes). Dabei ist eine starke Abhängigkeit der Torsion vom Radius des Zylinderquerschnitts festzustellen (4. Potenz).

Die Torsion spielt eine große Rolle bei der Übertragung von Drehmomenten durch Wellen im Maschinenbau; bei jeder drehenden Welle tritt eine Drehspannung τt bzw. Torsion auf.

Das Drehmoment M ist ein Kraftmoment, das eine Rotation herbeiführt. Die Drehwirkung der Kraft F hängt vom Abstand r ihrer Wirkungslinie von der Drehachse ab (die Wirkungslinie bildet mit r einen rechten Winkel):

 

$$M = F \cdot r \cdot sin\; α$$

Dabei ist:

Fangreifende Kraft
rAbstand des Angriffspunktes von der Drehachse
αWinkel zwischen Kraftrichtung und Abstand

Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so werden die Drehmomente addiert.