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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Verteilungsfunktion

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Verteilungsfunktion

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Diskrete Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte bis zur Stelle x annimmt, ist gleich dem Flächeninhalt bis zur Zahl x, in Zeichen:

P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x}$ f(u)du

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Eine Verteilungsfunktion F gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens ein vorgegebener Wert x angenommen wird:

F(x) = P(X ≤ x).

Dies bedeutet, dass für diskrete Zufallsvariablen alle Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zum Wert x summiert werden:

F(x) = P(X ≤ x) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = x – 1) + P(X = x) = f(0) + f(1) + … + f(x – 1) + f(x) = f(k).

 

Bei stetigen Zufallsvariablen macht man dies auch, bezeichnet es jedoch als Integrieren. Es wird die Fläche unterhalb der Dichtefunktion bis zum Wert x  errechnet:

F(x) = f(u)du.

Hinweis

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Auch wenn sowohl die Wahrscheinlichkeits-  als auch die Dichtefunktion beide mit f benannt werden, so stellen sie trotzdem gänzlich unterschiedliche Sachverhalte dar. Im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitsfunktion, die konkrete Wahrscheinlichkeiten darstellt, sind die Werte einer Dichtefunktion völlig ohne Relevanz. Von Interesse für das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten ist dort nur die Fläche unterhalb der Dichtefunktion von Bedeutung.

Beispiel

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Beim einfachen Würfelwurfs (dabei ist X die gewürfelte Augenzahl) gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln, jeweils genau gleich ${1 \over{6}}$ ist. Man bestimme die Verteilungsfunktion.

Die Verteilungsfunktion F für das Beispiel des einfachen Würfelwerfens stellt sich wie folgt dar:

F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = f(1) = ${1 \over{6}}$,

F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = f(1) + f(2)=${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$= ${1 \over{3}}$,

F(3) = P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$ sowie

F(4) = ${2 \over{3}}$,

F(5) = ${5 \over{6}}$ und

F(6) = ${6 \over{6}}$ =1

"Groß F"  stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass maximal der Wert x angenommen wird. Der x-Wert wird durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f bestimmt:

Merke

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F(X ≤ x) = $\sum_{k=0}^x $f(k).

Die Verteilungsfunktion F, ausgedrückt als Summe aller Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f.

Es ist auch zu beachten, dass die Verteilungsfunktion auch an "krummen" Stellen ausgerechnet werden kann.

Dabei ist insbesondere wichtig, dass man auch an „krummen“ Stellen die Verteilungsfunktion berechnen kann.

Bspw. bei 3,2 (drei Komma zwei):

F(3,2) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$.

Für 8 jedoch ist der Wert schon 1: F(8) = P(X ≤ 8) = P(X ≤ 6) = f(1) + ... + f(6) = ${1 \over{6}}$ +${1 \over{6}}$+ … + ${1 \over{6}}$ = 1.

Zwischen 2 und 3 ist das Ergebnis der Verteilungsfunkton immer gleich ${1 \over{3}}$ ohne sich zu ändern: F(2,3) = F(2,5) = F(2,9) = P(X ≤ 2) = ${2 \over{6}}$ = ${1 \over{3}}$.

an der Stelle 5 dann bei ${5\over{6}}$:

F(5) = P(X ≤ 5) = ${5 \over{6}}$ usw.

Die Verteilungsfunktion F stellt also die Wahrscheinlichkeiten dar, höchstens eine gewisse Augenzahl zu werfen. Bedeutet also nichts anderes, als dass man eine 1, eine 2, oder eine Zahl x würfelt.

Grafisch stellen sich die kumulierten Werte der Verteilungsfunktion aus unserem Würfelbeispiel so dar:

Abb. 5.5: Verteilungsfunktion beim einfachen Würfelwurf
Abb. 5.5: Verteilungsfunktion beim einfachen Würfelwurf

 

Abschließend noch eine Fragen zu Verteilungsfunktionen (die Antworten knüpfen an unser Würfelbeispiel an):

 

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FRAGE 1:

Warum erhalten wir eine stufenförmige Funktion und z.B. keine lineare?

 

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ANTWORT 1:

Interessiert man sich bspw. für F(3,4), gemeint ist der x- Wert der Verteilungsfunktion bei 3,4, schaut man nach der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3,4 geworfen wird. Konkret bedeutet das 1,2 oder 3:

P(X ≤ 3,4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$.

Gleiches gilt für andere Demimalzahlen:

F(1,8) = F(1)= ${1 \over{6}}$

F(4,2) = F(4) = ${4 \over{6}}$ = ${2 \over{3}}$

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FRAGE 2:

Warum landet man rechts von der 6 bei Werten für die Verteilungsfunktion von 1?

 

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ANTWORT 2:

Bspw. ist F(9) die Wahrscheinlichkeit, dass man maximal eine „9“ würfelt. Das ist aber gleichbedeutend höchstens eine 6 zu würfeln, da es bei einem sechsseitigen Würfel keine höheren Ergebnisse gibt:

F(9) = P(X ≤ 9) = P(X ≤ 6) = 1.

Gleiches gilt für alle anderen Werte größer 6.

Z.B.:

F(23) = P(X ≤ 23) = P(X ≤ 6) = 1

F(113) = P(X ≤ 113) = P(X ≤ 6) = 1, usw.

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FRAGE 3: Warum beginnt die Verteilungsfunktion bei null ?

 

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ANTWORT 3:

Bei der Verteilfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten summiert, vom kleinsten Ereignis bis hin zum größten (Ereignisse können in eine Reihenfolge gebracht werden). Links von der 1 ist es aber nicht möglich, dass dort Werte auftreten. Daher gilt P(<1)=0.

ACHTUNG: Es sei an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, dass für unmögliche Ereignisse die Wahrscheinlichkeit gleich null ist, dies aber nicht zwangsläufig umgekehrt gilt! Bei stetigen Zufallsvariablen kann es sein, dass Ereignisse die Wahrscheinlichkeit null haben und möglich sind!

 

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FRAGE 4: Warum kann die Verteilungsfunktion nicht fallen, sondern bleibt gleich oder steigt?

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ANTWORT 4:

Bei Verteilungsfunktionen werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten größer oder gleich null summiert (F(x) = P(X ≤ x) = f(0) + f(1) + ... + f(x) für diskreten Zufallsvariablen). Darum können die Werte für F nur größer werden, aber niemals kleiner. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion stagniert nur, wenn kein neues Ereignis einreten kann, wie höchstens eine 2,3 oder 2,7 zuwürfeln. Diese Wahrscheinlichkeit ist nämlich gleich ${1 \over{3}}$, gleich derer eine 1 oder 2 zu werfen.

 

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FRAGE 5:

Warum sind die Punkte bei der Verteilungsfunktion links und nicht rechts der waagerechten Linie?

 

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ANTWORT5:

Die Punkte sind dort, wo als erstet die Sprünge, also ein neues mögliches Ereignis, auftreten.

Bis kurz vor die 3, z.B. für x = 2,9, gilt F(x) = f(1) + f(2) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${2 \over{6}}$ = ${1 \over{3}}$, an der Stelle 3 hingegen ist F(3) = f(1) + f(2) + f(3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$.

Die Augenzahl von 3 ist ein mögliches Ereignis und somit sind die Sprünge links.

 

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FRAGE 6:

Ist die Verteilungsfunktion F überall definiert?

 

Vertiefung

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ANTWORT 6:

Die Antwort lautet JA. Denn die Verteilungsfunktion gibt an, welche Werte höchstens angenommen werden können, nicht die Wahsrcheinlichkeiten selbst. Dies gilt also auch für Ereignisse, die unmöglich sind, dass sie eintreten und dereren Wahrscheinlichkeitsfunktion gleich null ist. Dies kann eben nur die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Stetige Verteilungsfunktion

An dieser Stelle folgen zwei Videos zur stetigen Verteilungsfunktion.

Ersteinmal ein Beispiel zum Einsteigen:

Video: Verteilungsfunktion

Nun ein komplexeres Beispiel:

Video: Verteilungsfunktion

Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im oben beschriebenen Experiment maximal k Erfolge zu erzielen?

Antwort:

Immer wird bei Verteilungsfunktionen nach P(X ≤ k) gesucht, was gleich F(k) ist. Bei diskreten Zufallsvariablen berechnet man die Verteilungsfunktion F durch Addieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f bis an die Stelle k.

Hinweis

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Der erste mögliche Wert ist oftmals null!

Grafisch stellt es sich folgendermaßen dar:

Abb. 6.3: Verteilungsfunktion der B(3,1/2) - Verteilung
Abb. 6.3: Verteilungsfunktion der B(3,1/2) - Verteilung

Desweiteren sei zu beachten, dass sich die B(n,p) (hergeleiet von n unabhängigen B(1,p)) Verteilungen, also aus n unabhängigen Laplace-Verteilungen. Es gilt folgende Reproduktionseigenschaft:

Es seien X1, X2, ..., Xk jeweils B(ni,p)-verteilt und unabhängig voneinander. Dann ist die Summe dieser Zufallsvariablen, also X = X1 + X2 + ... + Xk, damit B(n, p)-verteilt, wobei n = n1 + n2 + ... + nk ist.

Die Fragen aus unserem Beispiel, können wir zu folgenden fünf Eigenschaften einer Verteilungsfunktion generalisieren:

Merke

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Eigenschaften einer Verteilungsfunktion F:

  1. für immer kleinere x geht die Verteilungsfunktion gegen 0, d.h. F(x) = 0.
  2. für immer größere x geht die Verteilungsfunktion gegen +1, d.h. F(x) = 1.
  3. F ist gleichförmig steigend, --> es gilt für alle x
  4. F ist rechtsseitig stetig, d.h. F(x) = F(x0).
  5. F ist für alle reellen Zahlen x definiert.

Aufgabe:

Die folgenden Aussagen sind entweder richtig oder falsch. Entscheide.

  1. Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = f(xi).

    Vertiefung

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    Lösung 1:

    Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = $\sum_{x_i ≤ x}$f(xi).

    Richtig.

  2. Die Werte einer Dichtefunktion, kann man nicht, im Vergleich zu einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, als Wahrscheinlichkeiten deuten.

    Vertiefung

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    Lösung 2:

    Diese Aussage ist richtig.

  3. Bei stetigen Verteilungen, kann man die Wahrscheinlichkeit als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion interpretieren.

    Vertiefung

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    Lösung 3:

    Diese Aussage ist falsch. Eine Wahrscheinlichkeit kann man im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion verstehen.

  4. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

    Vertiefung

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    Lösung 4:

    Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

    Falsch. Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist nur rechtsseitig stetig. Im stetigen Falle ist die Verteilungsfunktion sowohl rechtsseitig, als auch linksseitig stetig und daher insgesamt stetig.

 

Videos

Video: Verteilungsfunktion

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