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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Verteilungsfunktion

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Verteilungsfunktion

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Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte bis zur Stelle x annimmt, ist gleich dem Flächeninhalt bis zur Zahl x, in Zeichen:

P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x}$ f(u)du

Merke

Eine Verteilungsfunktion F gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens ein vorgegebener Wert x angenommen wird:

F(x) = P(X ≤ x).

  • Für diskrete Zufallsvariablen heißt dies konkret, dass man alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zum Wert x aufaddiert:

    F(x) = P(X ≤ x) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = x – 1) + P(X = x) = f(0) + f(1) + … + f(x – 1) + f(x) = f(k).

  • Für stetige Zufallsvariablen addiert man streng genommen auch – nur dass dies nun integrieren genannt wird. Man berechnet die Fläche unterhalb der Dichtefunktion bis zum Wert x:

    F(x) = f(u)du.

Methode

ACHTUNG: man bezeichnet mit f sowohl eine Wahrscheinlichkeits- als auch eine Dichtefunktion, obwohl hiermit ganz unterschiedliche Sachverhalte gemeint sind. Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt Wahrscheinlichkeiten an, eine Dichtefunktion hingegen nicht. Die Werte der Dichtefunktion selbst sind vollkommen unerheblich, lediglich die Fläche unterhalb der Dichtefunktion interessiert für das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel

Für das Beispiel des einfachen Würfelwurfs (Beim einfachen Würfelwurf bezeichne X die gewürfelte Augenzahl. Damit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln, jeweils genau gleich 1/6 ist) berechne man die Verteilungsfunktion.

Man kalkuliert die Verteilungsfunktion F für den Fall des einfachen Würfelwurfs folgendermaßen:

F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = f(1) = 1/6,

F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = f(1) + f(2)=1/6 + 1/6= 1/3,

F(3) = P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ sowie

F(4) = 2/3,

F(5) = 5/6 und

F(6) = 1.

F gibt also jeweils die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens der Wert x angenommen wird. Dieser wiederum berechnet sich dann mit Hilfe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f:

Merke

F(X ≤ x) = $\sum_{k=0}^x $f(k). Verteilungsfunktion, ausgedrückt als Summe von Werten der Wahrscheinlichkeitsfunktion

Dabei ist insbesondere wichtig, dass man auch an „krummen“ Stellen die Verteilungsfunktion berechnen kann. So gilt z.B. bei 2,5:

F(2,5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3. An der Stelle 10 hingegen ist der Wert schon bei 1:

F(10) = P(X ≤ 10) = P(X ≤ 6) = f(1) + ... + f(6) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 1.

Zwischen 3 und 4 liegt der Wert der Verteilungsfunktion immer bei 0,5, ohne zu wechseln: F(3,2) = F(3,4) = F(3,7) = (X ≤ 3) = 3/6 = ½.

an der Stelle 4 dann bei 4/6:

F(4) = P(X ≤ 4) = 4/6 usw.

F gibt also jeweils die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an, höchstens eine bestimmte Augenzahl zu würfeln. Dies heißt aber konkret nichts anderes, als dass man eine 1, eine 2, ..., oder die Zahl x würfelt.

Bildlich erhält man:

Abb. 5.5: Verteilungsfunktion beim einfachen Würfelwurf
Abb. 5.5: Verteilungsfunktion beim einfachen Würfelwurf

METHODE:

Methode

Dann einige Fragen und Antworten zu Verteilungsfunktionen (die Antworten beziehen sich beispielhaft auf den einfachen Würfelwurf aus Beispiel 5.2)

Beispiel

FRAGE 1: 

Wie kommt es dazu, dass wir eine treppenförmige Funktion erhalten?

ANTWORT:

Es ist ganz einfach: interessiert man sich z.B. für F(2,5), also für den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 2,5, so sucht man die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2,5 gewürfelt wird. Dies heißt aber nichts anderes als eine 1 oder eine 2 zu würfeln, also

P(X ≤ 2,5) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Genauso für andere Kommazahlen wie

F(2,9) = F(2)= 2/6 = 1/3,

F(3,7) = F(3) = 3/6 = 1/2 etc.

Beispiel

FRAGE 2:

Warum landet man rechts von der 6 bei Werten für die Verteilungsfunktion von 1?

ANTWORT:

Es ist z.B. F(10) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine „10“ gewürfelt wird. Dies ist aber nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens eine „6“ würfelt, denn Augenzahlen größer als 6 können nicht auftreten:

F(10) = P(X ≤ 10) = P(X ≤ 6) = 1.

Analog für andere Werte, die größer als 6 sind, z.B.

F(11) = P(X ≤ 11) = P(X ≤ 6) = 1

F(100) = P(X ≤ 100) = P(X ≤ 6) = 1, etc.

Beispiel

FRAGE 3:

Warum fängt die Verteilungsfunktion bei null an?

ANTWORT:

Bei der Verteilungsfunktion werden Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Links vom „kleinsten“ Ereignis (Ereignisse lassen sich in eine Reihenfolge bringen) ist es aber unmöglich, dass hier Werte auftreten, also gilt links von der 1: P(X < 1) = 0.

ACHTUNG: Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit null, nicht jedoch umgekehrt. Bei stetigen Zufallsvariablen kann es passieren, dass Ereignisse die Wahrscheinlichkeit null besitzen und aber trotzdem möglich sind!

Beispiel

FRAGE 4:

Warum steigt die Verteilungsfunktion entweder an oder bleibt auf gleicher Höhe?

ANTWORT:

Es werden bei Verteilungsfunktionen wegen F(x) = P(X ≤ x) - was dann f(0) + f(1) + ... + f(x) bei diskreten Zufallsvariablen entspricht - Wahrscheinlichkeiten, also Zahlen größer oder gleich null, aufaddiert. Deshalb können die Werte für F höchstens größer werden, niemals jedoch kleiner. Auf gleicher Höhe bleibt die Verteilungsfunktion F, wenn zwischendurch kein zusätzliches Ereignis eintritt: so sind die Wahrscheinlichkeiten, dass höchstens eine 3,2 bzw. eine 3,4 bzw. eine 3,7 gewürfelt wird, alle gleich 0,5, nämlich gleich der Wahrscheinlichkeit, höchstens eine 3, d.h. eine 1 oder eine 2 oder eine 3 zu würfeln.

Beispiel

FRAGE 5:

Warum sind die Punkte bei der Verteilungsfunktion am linken Ende der Stäbe und nicht am rechten?

ANTWORT:

Die Punkte sind dort, wo die Sprünge auftreten.

Bis kurz vor die 4, z.B. für x = 3,8, gilt F(x) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5, an der Stelle 4 hingegen ist F(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3.

Die Augenzahl von 4 ist ein mögliches Ereignis und also sind die Sprünge links.

Beispiel

FRAGE 6:

Ist die Verteilungsfunktion F überall definiert?

ANTWORT:

Ja, auch für Ereignisse, die gar nicht eintreten können, wo also die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion den Wert null hat. Die Verteilungsfunktion gibt eben auch nur an, höchstens einen bestimmten Wert anzunehmen, nicht die Wahrschscheinlichkeiten der Werte selbst. Dies leistet lediglich die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Stetige Verteilungsfunktion

An dieser Stelle folgen zwei Videos zur stetigen Verteilungsfunktion.

Zunächst ein einfacheres Beispiel:

Video: Verteilungsfunktion

Nun ein schwierigeres Beispiel:

Video: Verteilungsfunktion

Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im oben beschriebenen Experiment höchstens k Erfolge zu erzielen?

Antwort:

Gefragt ist – wie immer bei Verteilungsfunktionen nach - P(X ≤ k). Dies ist gleich F(k), der Wert der Verteilungsfunktion F errechnet sich also (bei diskreten Zufallsvariablen) durch Aufsummieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f bis an die Stelle k.

Achtung: der erste mögliche Wert ist oftmals null!

Als Bild erhält man

Abb. 6.3: Verteilungsfunktion der B(3,1/2) - Verteilung
Abb. 6.3: Verteilungsfunktion der B(3,1/2) - Verteilung

Wichtig ist außerdem, dass sich die B(n,p) - Verteilung herleitet aus n unabhängigen B(1,p) - Verteilungen, also aus n unabhängigen Laplace-Verteilungen. Es gilt folgende Reproduktionseigenschaft:

Es seien X1, X2, ..., Xk jeweils B(ni,p)-verteilt und unabhängig voneinander. Dann ist die Summe dieser Zufallsvariablen, also X = X1 + X2 + ... + Xk, damit B(n, p)-verteilt, wobei n = n1 + n2 + ... + nk ist.

Die Fragen, die wir beim Beispiel gestellt haben, lassen sich verallgemeinern zu folgenden fünf Eigenschaften einer Verteilungsfunktion

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion F

1. für immer kleinere x strebt die Verteilungsfunktion gegen 0, d.h. F(x) = 0.

2. für immer größere x strebt die Verteilungsfunktion gegen +1, d.h. F(x) = 1.

3. F ist monoton steigend, d.h. es gilt für alle x < y: F(x) ≤ F(y).

4. F ist rechtsseitig stetig, d.h. F(x) = F(x0).

5. F ist für alle reellen Zahlen x definiert.

Aufgabe:

Die folgenden Aussagen sind entweder richtig oder falsch. Entscheide.

a) Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = f(xi).

Lösung:

Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = $\sum_{x_i ≤ x}$f(xi).

Richtig.

b) Der Wert einer Dichtefunktion lässt sich – im Gegensatz zum Wert einer Wahrscheinlichkeitsfunktion – nicht als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

Lösung:

Der Wert einer Dichtefunktion lässt sich – im Gegensatz zum Wert einer Wahrscheinlichkeitsfunktion – nicht als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

Richtig.

c) Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion verstehen.

Lösung:

Eine Wahrscheinlichkeit lässt sich im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion verstehen.

Falsch. Als Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion.

d) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

Lösung:

Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

Falsch. Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist lediglich rechtsseitig stetig. Im stetigen Falle ist die Verteilungsfunktion zwar auch rechtsseitig stetig, zusätzlich aber noch linksseitig stetig und damit insgesamt stetig.

Videos

Video: Verteilungsfunktion

Video: Verteilungsfunktion

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