ZU DEN KURSEN!

Grundlagen der Mikroökonomie - Die Lagrange-Methode

Kursangebot | Grundlagen der Mikroökonomie | Die Lagrange-Methode

Grundlagen der Mikroökonomie

Die Lagrange-Methode

Eine ebenfalls genutzte Vorgehensweise für das Errechnen optimaler Konsumgüterbündel ist die Lagrange-Methode. Sie dient zur Bestimmung eines Optimums unter Beachtung von Nebenbedingungen.
Diese Methode soll hier kurz der Vollständigkeit halber dargestellt werden, da sich die Schreibweise von der bisherigen unterscheidet. Die Ergebnisse sind jedoch mit dem zuvor behandelten Vorgehen identisch.

Das Ziel ist wieder die Nutzenmaximierung eines Haushaltes. Als Beispiel soll eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion dienen.

Beispiel

Beispiel mit Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

$\ m=64,
p_1=2,
p_2=8 $
Nutzenfunktion: $\ u=(x_1 \cdot x_2)^{0,5} $

Lagrange - Optimierung unter Nebenbedingungen

Die Nutzenfunktion soll unter Berücksichtigung der Budgetbeschränkung als Nebenbedingung maximiert werden. Dazu muss zuerst die Lagrange-Funktion formuliert werden. Sie ergibt sich als:

Merke

$\ L(x_1, x_2, \lambda) = Zielfunktion - \lambda \cdot (Nebenbedingung) $

"$\ \lambda $" ist der Lagrange-Multiplikator. Er fällt, wie wir sehen werden, im Laufe der Rechnung weg. Seine Bestimmung ist möglich, soll uns hier jedoch nicht weiter interessieren. Dies gehört in einen weiterführenden Kurs zur Mikroökonomik.

Bevor wir nun die Lagrange-Funktion für unser Beispiel aufstellen, müssen wir noch eben einen Blick auf die Nebenbedingung werfen. Sie muss so umgeformt werden, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Für unser Beispiel wird aus der Budgetbeschränkung $\ 64 = 2x_1+8x_2 $ also $\ 64-2x_1-8x_2 = 0 $.

Stellen wir nun die komplette Funktion auf, erhalten wir:
$$\ L(x_1, x_2, \lambda)=(x_1 \cdot x_2)^{0,5} - \lambda \cdot(64-2x_1-8x_2) $$ Der nächste Schritt ist das Ableiten nach allen drei Variablen $\ x_1, x_2 $ und $\ \lambda $.
Damit ergeben sich drei Funktionen:
$$\ {dL \over dx_1}=0,5 \cdot x1^{-0,5} \cdot x_2^{0,5} - \lambda \cdot 2=0 $$ $$\ {dL \over dx_2}=0,5 \cdot x1^{0,5} \cdot x_2^{-0,5} - \lambda \cdot 8=0 $$ $$\ {dL \over d \lambda}=64-2x_1-8x_2=0 $$

Wichtig ist, dass die ersten beiden Funktionen nicht allein die Ableitung der Nutzenfunktion darstellen, sondern auch aus der Nebenbedingung $\ - \lambda \cdot 2 $ (allgemein: $\ - \lambda p_1 $) bzw. $\ - \lambda \cdot 8 \ (- \lambda p_2) $ hinzukommen. Die letzte Ableitung ergibt nur die umgeformte Budgetbeschränkung.
Bei den ersten beiden Gleichungen werden im nächsten Schritt $\ - \lambda \cdot 2 $ bzw. $\ -\lambda \cdot 8 $ auf die andere Seite gebracht. Dann werden sie jeweils durch 2 ($\ p_1 $) bzw. 8 ($\ p_2 $) geteilt, so dass nur $\ \lambda $ auf einer Seite der Gleichung steht.
Da nun bei beiden Funktionen auf einer Seite $\ \lambda $ steht, können sie gleichgesetzt werden. So erhalten wir:
$$\ {0,5 \cdot x_1^{-0,5} \cdot x_2^{0,5} \over 2}={0,5 \cdot x_1^{0,5} \cdot x_2^{-0,5}\over 8} $$ Wird diese Gleichung ausmultipliziert, ergibt sich: $\ x_2={1 \over 4} \cdot x_1 $. Dies kann wieder ganz normal in die Budgetbeschränkung eingesetzt werden. Dann lässt sich das Ergebnis bestimmen. Es lautet hier (16; 4).