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Die optimale Entscheidung > Das Haushaltsoptimum:

Die Lagrange-Methode

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Eine ebenfalls genutzte Vorgehensweise für das Errechnen optimaler Konsumgüterbündel ist die Lagrange-Methode. Sie dient zur Bestimmung eines Optimums unter Beachtung von Nebenbedingungen.
Diese Methode soll hier kurz der Vollständigkeit halber dargestellt werden, da sich die Schreibweise von der bisherigen unterscheidet. Die Ergebnisse sind jedoch mit dem zuvor behandelten Vorgehen identisch.

Das Ziel ist wieder die Nutzenmaximierung eines Haushaltes. Als Beispiel soll eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion dienen.

Beispiel

Beispiel mit Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

$\ m=64,
p_1=2,
p_2=8 $
Nutzenfunktion: $\ u=(x_1 \cdot x_2)^{0,5} $

Lagrange - Optimierung unter Nebenbedingungen

Die Nutzenfunktion soll unter Berücksichtigung der Budgetbeschränkung als Nebenbedingung maximiert werden. Dazu muss zuerst die Lagrange-Funktion formuliert werden. Sie ergibt sich als:

Merke

$\ L(x_1, x_2, \lambda) = Zielfunktion + \lambda \cdot (Nebenbedingung) $

"$\ \lambda $" ist der Lagrange-Multiplikator. Er fällt, wie wir sehen werden, im Laufe der Rechnung weg. Seine Bestimmung ist möglich, soll uns hier jedoch nicht weiter interessieren. Dies gehört in einen weiterführenden Kurs zur Mikroökonomik.

Bevor wir nun die Lagrange-Funktion für unser Beispiel aufstellen, müssen wir noch eben einen Blick auf die Nebenbedingung werfen. Sie muss so umgeformt werden, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Für unser Beispiel wird aus der Budgetbeschränkung $\ 64 = 2x_1+8x_2 $ also $\ 64-2x_1-8x_2 = 0 $.

Stellen wir nun die komplette Funktion auf, erhalten wir:
$$\ L(x_1, x_2, \lambda)=(x_1 \cdot x_2)^{0,5} + \lambda \cdot(64-2x_1-8x_2) $$ Der nächste Schritt ist das Ableiten nach allen drei Variablen $\ x_1, x_2 $ und $\ \lambda $.
Damit ergeben sich drei Funktionen:
$$\ {dL \over dx_1}=0,5 \cdot x1^{-0,5} \cdot x_2^{0,5} - \lambda \cdot 2=0 $$ $$\ {dL \over dx_2}=0,5 \cdot x1^{0,5} \cdot x_2^{-0,5} - \lambda \cdot 8=0 $$ $$\ {dL \over d \lambda}=64-2x_1-8x_2=0 $$

Wichtig ist, dass die ersten beiden Funktionen nicht allein die Ableitung der Nutzenfunktion darstellen, sondern auch aus der Nebenbedingung $\ - \lambda \cdot 2 $ (allgemein: $\ - \lambda p_1 $) bzw. $\ - \lambda \cdot 8 \ (- \lambda p_2) $ hinzukommen. Die letzte Ableitung ergibt nur die umgeformte Budgetbeschränkung.
Bei den ersten beiden Gleichungen werden im nächsten Schritt $\ - \lambda \cdot 2 $ bzw. $\ -\lambda \cdot 8 $ auf die andere Seite gebracht. Dann werden sie jeweils durch 2 ($\ p_1 $) bzw. 8 ($\ p_2 $) geteilt, so dass nur $\ \lambda $ auf einer Seite der Gleichung steht.
Da nun bei beiden Funktionen auf einer Seite $\ \lambda $ steht, können sie gleichgesetzt werden. So erhalten wir:
$$\ {0,5 \cdot x_1^{-0,5} \cdot x_2^{0,5} \over 2}={0,5 \cdot x_1^{0,5} \cdot x_2^{-0,5}\over 8} $$ Wird diese Gleichung ausmultipliziert, ergibt sich: $\ x_2={1 \over 4} \cdot x_1 $. Dies kann wieder ganz normal in die Budgetbeschränkung eingesetzt werden. Dann lässt sich das Ergebnis bestimmen. Es lautet hier (16; 4).

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Eine ebenfalls genutzte Vorgehensweise für das Errechnen optimaler Konsumgüterbündel ist der . Er dient zur Bestimmung eines Optimums unter Beachtung von Nebenbediungungen.
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Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Die Lagrange-Methode

  • Maren Nebeling schrieb am 03.08.2016 um 07:40 Uhr
    Hallo Lisa, die falsche Darstellung hängt damit zusammen, dass du noch mit der alten Kursobefläche arbeitest. Bitte wechsel auf unsere neue Kursoberfläche um diesen Fehler zu umgehen. Diese erreichst du über den Home-Button (das Haus links oben). Schöne Grüße
  • Lisa-Marie Gaschler schrieb am 02.08.2016 um 19:51 Uhr
    Der Text ist total zerschossen und nicht nachvollziehbar.
  • Maren Nebeling schrieb am 25.07.2016 um 08:16 Uhr
    Hallo Fabio, ich habe den Text bereits mehrfach überprüft und kann keinen Fehler feststellen. Vielleicht versuchst Du es ja mal auf unserer neuen Kursoberfläche. Diese erreichst du über den Home-Button (das Haus oben links unter der Kapitel-Zahl). Sollte Dir auch dort erneut nur der Quellcode angezeigt werde, schreib bitte eine E-Mail mit Screenshot an unseren Support (support@wiwiweb.de). Schöne Grüße
  • Fabio schrieb am 22.07.2016 um 15:30 Uhr
    Hallo, bitte überprüfen Sie schnellstmöglich den Quellcode. Der Text und die Formeln sind nicht lesbar und das Kapitel daher nicht lernbar! Vielen Dank im voraus
  • Lukas Linnig schrieb am 28.07.2014 um 22:01 Uhr
    Hallo Sinem, wenn man nach x1 ableitet, wird 8x2 als Konstante behandelt. Wie Sie wissen, werden Konstanten beim Ableiten weggelassen. Für die Ableitung nach x2 gilt das Gleiche. Liebe Grüße!
  • Sinem Yilmaz schrieb am 23.07.2014 um 18:03 Uhr
    Ich verstehe nicht, warum bei der Ableitung nach x1 die 8 am Ende wegfällt und bei der Ableitung nach x2 die 2. Wenn ich nach x1 ableite betrachte ich x2 doch als konstante oder nicht :/
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