Deskriptive Statistik

  1. Metrische Skalen - Intervallskala
    Grundbegriffe der deskriptiven Statistik > Skalierungen > Metrische Skalen - Intervallskala
    ... (°F) um, so gilt wegen der Umrechnungsformel $ °F = {9 \over 5}°C + 32 $, dass eine Temperatur von 30°C einer Temperatur von $\ {9 \over 5} \cdot 30°C + 32 = 86°F $ entspricht, analog ist 20°C dann 68°F. Die zweite Temperatur ist dann aber nicht mehr doppelt so groß wie die erste: $\ {86°F \over 68°F}= 1,265\ ≠\ 1,5 = {30°C \over 20°C} $. Die Aussage „ist anderthalbmal so warm wie”, die bei der Einteilung in °C noch ...
  2. Skalentransformation auf der Kardinalskala
    Grundbegriffe der deskriptiven Statistik > Skalentransformation > Skalentransformation auf der Kardinalskala
    ... ja bekannt, dass wir die Temperaturen mit der Formel $\ ^{\circ}\mathrm{C} $ in $\ ^{\circ}\mathrm{F} $: $\ ^{\circ}\mathrm{F} = {9 \over 5}^{\circ}\mathrm{C} + 32 $umrechnen können. Durch Umstellen der Formel nach °C können berechnen, dass 77°F einer Temperatur von 25°C entspricht.Wir sehen, dass das Merkmal Temperatur trotz Transformation weiterhin intervallskaliert ist, egal ob diese in Grad Celsius oder Grad Fahrenheit angegeben wird. Intervallskalierte Merkmale werden ...
  3. Regeln zur Klassenbildung in der Statistik
    Häufigkeitsverteilungen > Klassierte Daten und ihre Darstellung > Regeln zur Klassenbildung in der Statistik
    ... die wir beachten sollten. Eine einfache Formel gibt es hierfür nicht, denn im Grunde kann man die Klassen relativ beliebig festlegen. Trotzdem sollten, wenn umsetzbar, folgende Regeln beachtet werden:Falls möglich bilde gleichgroße Klassenbreiten.Dabei sollten nicht zu viele (gewünschte Informationsverdichtung wird nicht erreicht) aber auch nicht zu wenige Klassen (Struktur der ursprünglichen Daten geht evtl. verloren) gebildet werden.Dabei haben sich für ...
  4. Fraktile
    Verteilungsmaße > Lagemaße > Fraktile
    Fraktile mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion
    ... oder gerade eben überschritten sind. Die Formel für das $\alpha - $ Fraktil bei Vorliegen einer geordneten Urliste aus n Werten ist$x_\alpha = x_{\alpha \cdot n}$Dabei ist $\lceil {\alpha \cdot n} \rceil $ die obere Gaußklammerfunktion, die einer reellen Zahl die nächstgrößere ganze Zahl zuordnet. So ist$\lceil 1,7 \rceil $ = 2; $\lceil 2,34 \rceil = 3 $; $\lceil 4,1 \rceil = 5 $; $\lceil 7 \rceil = 7 $; etc.Für das Beispiel aus der Aufgabe Fußballprofis ...
  5. Arithmetisches Mittel
    Verteilungsmaße > Lagemaße > Arithmetisches Mittel
    ... \cdot (23 + 45 + 67 + 19 + 5 + 51) = 35 Jahre $$Formel arithmetisches MittelEs werden zwei verschiedene Formen des arithmetischen Mittels unterschieden, die anders aussehen, es allerdings nicht sind:Das ungewogene arithmetische Mittel$\ \overline x= {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $Jeder einzelne Beobachtungswert hat das gleiche Gewicht für (jeweils mit $\ {1 \over n} $ gewichtet) das arithmetische Mittel $\ \overline x $ .Das gewogene arithmetische Mittel$\ \overline x = \sum_{j=1}^m f(a_j) ...
  6. Geometrisches Mittel
    Verteilungsmaße > Lagemaße > Geometrisches Mittel
    ... des geometrischen Mittels Zwei Wege zur Bestimmung des geometrischen Mittels: direkter Weg Man erhält also die mittlere Wachstumsrate auf direktem Wege durch die Formel $$\ \overline x_g = ( \sqrt [n]{K_n \over K_0} -1 ) \cdot 100 $$ indirekter Weg (= geometrisches Mittel) Über die einzelnen Jahresrenditen selbst gelangt man aber auch zum Ziel durch das geometrische Mittel $\ \overline x_g $ $$\ \overline x_g= ( \sqrt [n]{x_1 \cdot ...
  7. Harmonisches Mittel
    Verteilungsmaße > Lagemaße > Harmonisches Mittel
    ... v = {460km \over 5,25h} = 87,619 {km\over h} $.Formel harmonisches MittelMöchte man den Mittelwert aus Brüchen $\ {a_i \over b_i} $ bestimmen, haben wir dies bisher mit der direkten Methode gemacht, indem wir zunächst den gesamten Zähler und den gesamten Nenner berechnet und anschließend in die Formel Mittelwert bei „direkter Methode“ $$\ \overline v ={\sum_{i=1}^n a_i \over \sum_{i=1}^n b_i} $$ eingesetzt haben. Im Beispiel 40 waren die Nenner $\ b_i $, nämlich ...
  8. Unterschiedliche Streuungsmaße
    Verteilungsmaße > Streuungsmaße > Unterschiedliche Streuungsmaße
    ... Spannweite SP (= engl. Range) wird durch die Formel $\ SP = x_{max} – x_{min} $ berechnet.Sie zeigt den absoluten Unterschied zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Beobachtungswert an. Dieses Maß ist äußerst anfällig für Ausreißer, da sie abhängig von den äußersten Werten der geordneten Urliste ist. Die Spannweite der Einkommensverteilung aus unserem Beispiel:Für Gruppe 2: $\ SP_B = x_{max} – x_{min} = 4.000€ ...
  9. Streuungszerlegung
    Verteilungsmaße > Streuungsmaße > Streuungszerlegung
    ... kann die Streuungszerlegungsformel (besser wäre der Ausdruck Varianzzerlegungsformel, da sprachlich exakter) angewandt werden.Streuungszerlegungsformel & MittelwertzerlegungsformelFür $k$ unterschiedliche statistische Massen $\ M_1, M_2, ..., M_k $ mit jeweils $\ n_j $ Beobachtungswerten, deren jeweiliges arithmetisches Mittel $\overline x_1,..., \overline x_k $ und deren mittlere quadratische Abweichungen $\ {s_1}^2,{s_2}^2,...,{s_k}^2 $ seien, gilt für die ...
  10. Schiefe
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    Verteilungsmaße > Formmaße > Schiefe
    Linksschiefe Verteilung
    ... Fechnersche LageregelMomentschiefeDie Formel für die Momentschiefe $\ u_M $ lautet:$\ u_M = {m_3(0) \over s^3} = {\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^3 \over {n \cdot s^3 }}= {{\sum_{j=1}^k (a_j- \overline x)^3 \cdot h(a_j)} \over {n \cdot s^3}} $Man dividiert also das 3. gewöhnliche Moment durch die dritte Potenz der Standardabweichung.Dabei ist dann die Verteilung rechtsschief, wenn $\ u_M > 0 $ und linksschief, wenn $\ u_M < 0 $. QuartilsschiefeDie Quartilsschiefe ...
  11. Gini-Koeffizient
    Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Gini-Koeffizient
    Lorenzkurve - Gini-Koeffizienten
    ... existieren auch noch einige weitere Formeln zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten, welche auch ohne das graphische Verständnis der Fläche unterhalb der Lorenzkurve auskommen:$$\begin{align} 1. \; \; \; G = & {2 \sum_{i=1}^n i \cdot p_i-(n+1) \over n} \\ 2. \; \; \; G = & {{2 \sum_{i=1}^n i \cdot x_i - (n+1) \cdot \sum_{i=1}^n x_i} \over {n \cdot \sum_{i=1}^n x_i}}\\ 3. \; \; \; G = & {{1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j| \over {2 \cdot \overline x}}\\ ...
  12. Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala
    Zusammenhangsmaße > Zusammenhangsmaße auf Nominal- und Ordinalskala > Zusammenhangsmaße auf der Ordinalskala
    ... Rangkorrelationskoeffizienten in folgende Formel einsetzen: $$\ r_s = 1- {6 \sum_{I=1}^n d_i^2 \over {(n-1) \cdot n \cdot (n+1)}} $$ .Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman muss immer zwischen – 1 und +1: $\ -1 \leq r_s \leq 1 $ liegen und entspricht dem Bravais-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten der Rangzahlen.Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient BeispielAm Beispiel 56 wollen wir das Schema anwenden:Die Urliste steht meistens, so auch hier, in der Aufgabenstellung.Die ...
  13. Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient
    Zusammenhangsmaße > Zusammenhangsmaße auf metrischen Skalen > Bravais-Pearsonscher Korrelationskoeffizient
    Exakte Korrelation
    ... x) (y_i- \overline y) $Einsetzen in die Formel $$\ r_{BP}={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x)(y_i- \overline y) \over \sqrt {\sum{i=1}^n (x_i- \overline x)^2 \cdot \sum_{i=1}^n (y_i- \overline y)^2}} $$Für das oben genannte Beispiel 57 rechnet man die einzelnen Schritte einfach in einer Arbeitstabelle:  Schritt 1 Schritt 3 Schritt 4 Schritt 5 i $\ x_i $ $\ y_i $$\ x_i- \overline x $$\ y_i- \overline y $ $\ (x_i - \overline x)^2 $ $\ (y_i - \overline y)^2 $ $\ (x_i – \overline ...
  14. Korrelationskoeffizient von Fechner
    Zusammenhangsmaße > Zusammenhangsmaße auf metrischen Skalen > Korrelationskoeffizient von Fechner
    Einteilung fr Korrelationskoeffizienten nach Fechner
    ... da die Vorzeichen der Abweichungen in der Formel berücksichtigt werden, allerdings nicht die Abweichungen selbst.Für die Wahl des richtigen Korrelationskoeffizienten ist die Skalierung maßgeblich.Skalenniveau und KorrelationskoeffizientZusammenfassend zu dem Kapitel Zusammenhangsmaße wollen wir nochmal einen kurzen Überblick darüber geben, ab welcher Skala welcher Korrelationskoeffizient anwendbar ist: Skala KorrelationskoeffizientNominalskala(korrigierter) ...
  15. Methode der gleitenden Durchschnitte
    Zeitreihenanalyse > Zeitreihenverfahren > Methode der gleitenden Durchschnitte
    ... $\ k $entsprechend $\ 1, 2, 3, ... $zentrale Formel: $$\ x_t^* = {1 \over (2k+1)} \sum_{ \tau=t-k}^{t+k} x_t $$konkretes Vorgehen:für den 1. Wert greife die ersten m Glieder der Zeitreihe heraus und ordne dieses Mittel an die $\ {m+1 \over 2} $-te Stelle der Zeitreihe an.für den 2. Wert nimm das $\ 2., 3., ... (m + 1) $. Glied, bilde wieder das arithmetische Mittel dieser Zahlen und schreibe diesen Mittelwert eine Stelle weiter, d.h. an die $\ 1+{m+1 \over 2} $-te StelleWiederhole ...
  16. Exponentielle Glättung
    Zeitreihenanalyse > Zeitreihenverfahren > Exponentielle Glättung
    ... \hat y_{t+1}= 0 \leq \alpha \leq 1 $ nach der FormelFormel: $\ \hat y_{t+1} = \sum_{i=0}^n \alpha (1 - \alpha)^i \cdot y_{t–i}+(1 - \alpha)^{n+1} \cdot \hat y_1 $,Möchte man sofort den Prognosewert für die (t + 1)-te Periode in Abhängigkeit der wahren Werte $\ y_1, y_2, ..., y_t $ und des Startwertes $\ \hat y_1 $ haben, so nutzt man am besten diese Formel.Formel: $\ \hat y_{t+1} = \alpha \cdot y + (1 - \alpha) \cdot \hat y_t $ (Einschrittprognose)Die Ein-Schritt-Prognose ...
  17. Methode der Kleinsten Quadrate
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    Zeitreihenanalyse > Zeitreihenverfahren > Methode der Kleinsten Quadrate
    Punktwolke
    ... b der Geraden durch unterschiedlich aussehende Formeln:Steigung a der Regressionsgeraden:$\begin{align} a & ={ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) \cdot (y_i - \overline y) \over \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 }\\\\ a & = {{n \cdot \sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i - \sum_{i=1}^n x_i \cdot \sum_{i=1}^n y_i} \over { n \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2 -( \sum_{i=1}^n x_i)^2}} \end{align}$Auch den Ordinatenabschnitt b (y-Achsenabschnitt, bzw. Schnittpunkt mit der y-Achse) kann man auf verschiedene Wege ...
  18. Zeitreihenzerlegung
    Zeitreihenanalyse > Zeitreihenzerlegung > Zeitreihenzerlegung
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    ... = 6 (wegen der Monatsdaten). Man verwendet die Formel$\ x^*_t = \biggl[ {1 \over 2} x_{t-k}+ {1 \over 2} x_{t+k} + \sum {\tau=t-(k-1)}^{t+(k+1)} x_\tau \biggr] $die speziell für k = 6 dann lautet:$\ x^*_t = {1 \over 2 \cdot 6} \cdot \biggl[ {1 \over 2} x_{t-6}+ {1 \over 2} x_{t+6} + \sum_{\tau =t-5}^{t+5} x_\tau \biggr] $Die möglichen t-Werte starten damit bei t = 7, damit in der Klammer mit $\ x_{7-6} = x_1 $ die Zählung begonnen werden kann. Damit rechnet man z.B.$\ \begin {align} ...
  19. Preisindizes nach Laspeyres und Paasche
    Indexrechnung > Preisindizes > Preisindizes nach Laspeyres und Paasche
    ... nach Laspeyres und nach Paasche kennen.FormelnDer Preisindex $PI _{0,t}^L $ nach Laspeyres lautet:Aggregatformel (Laspeyres):$$PI _{0,t}^L = {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0} $$Wie also im vorherigen Abschnitt gesehen, wird die Veränderung des Preisniveaus bestimmt, indem in der Berichtsperiode t dieselben Mengen $\ q_i^0 $ genutzt würden wie in der Basisperiode 0. Man betrachtet also nur die Preisentwicklung, da die Menge konstant bleibt.  Der Preisindex nach Laspeyres ...
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Wahrscheinlichkeitsrechnung

  1. Permutationen
    Kombinatorik > Permutationen
    ... (= Polynomialverteilung) werden die Formel $$\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $$ nochmals aufgreifen.Bei beiden Arten von Permutationen haben wir alle vorhandenen n-Objekte angeordnet. Sollte man dies jedoch nur für eine kleinere Auswahl der Elemente machen, kommt man zum Begriff der Variation.
  2. Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Kombinatorik
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    Kombinatorik > Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Kombinatorik
    ... Rennfahrer fahren um die Podestplätze der Formel 1 (Platz 1,2,3). Wie viele verschiedene Podestkonstellationen sind denkbar?Lösung 11:Durch Abb. 1.1 lässt sich erkennen, dass es sich im eine Variation handelt. Man wählt eine dreifache Auswahl (n=3) aus N=6 Rennfahrern. Die Abfolge ist zu beachten, denn für den einzelnen Rennfahrer ist es schon entscheidend, ob er den 1. , 2. oder 3. Platz belegt. Es gibt keine Wiederholung, jeder Fahrer kann nur einen Podestplatz belegen. ...
  3. Ereignisse
    Ereignisse
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    ... eben beide gleichzeitig erfüllt sind.Als Formel schreibt man: $ A \cup B$das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ heißt nichts anderes als „oder“Ereignis A: "min. zwei mal die gleiche Farbe hinter einander"A= {(S,S,S), (S,S,R), (R,S,S), (S,R,R), (R,R,S), (R,R,R)}Ereignis B: die Farbe muss min. einmal wechselnB= {(S,S,R), (S,R,S), (R,S,S), (S,R,R),(R,S,R), (R,R,S)}Dann ist$A \cup B$ = (S,S,S), (S,S,R), ..., (R,R,R) $ \cup$ (S,S,R), (S,R,S), ..., (R,R,S)$= A \cup $ {(S,R,S),(R,S,R)}Abb. ...
  4. Formeln für Wahrscheinlichkeiten
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    Wahrscheinlichkeiten > Formeln für Wahrscheinlichkeiten
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    ... ersten drei Formeln sagen aus, dass jeweils die Paare (A $\cap$ B), (A $\cap$ C), (B $\cap$ C) unabhänig voneinader sind.Die paarweise Unabhängigkeit ist notwendige Bedingung für die Unabhängigkeit aller drei Ereignisse, jedoch nicht hinreichende Bedingung.Somit ergibt sich aus der dreiseitigen Unabhängigkeit die paarweise Unabhängigkeit, allerdings gilt dies nicht umgekehrt.
  5. Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
    Bedingte Wahrscheinlichkeiten > Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
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    ... VierfeldertafelMethode: Bayessche FormelMethode: BäumchenMethode: Einschränkung der GrundgesamtheitErläutern wir nun die fünf Methoden durch unser Beispiel. Als erstes zeichen wir eine Urne (in unserem Fall eine Bonbontüte) und die Bonbons mit den entsprechenden Spezifikationen (rund, quadratisch; Erdbeer, Zitrone) auf.Abb 4.1Nun zu den einzelnen Methoden:1. Methode: DefinitionDie bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, in Zeichen P(A|B), ...
  6. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
    Bedingte Wahrscheinlichkeiten > Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
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    ... der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.Als Formel ausgedrückt:  P(A|B) = P(A)Man kann jedoch die Unabhängigkeit zweier Ereignisse nicht davon abhängig machen, ob P(A|B) = P(A) gilt. Den diese gilt nur für P(B) > 0, jedoch für P(B) = 0 (z.B. für unmögliche Ereignisse) ist dieser Zusammenhang nicht geklärt.Trotzdem kann man mit der oben aufgeführten Definition der Unabhängigkeit eine Aussage für unmögliche Ereignisse treffen:Unmögliche ...
  7. Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit
    Bedingte Wahrscheinlichkeiten > Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit
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    ... Aufgabe b lässt sich super die Bayessche Formel anwenden: P(W3|BW) ist gefragt, P(BW|W3) hingegen ist bekannt.$P(B_3|BW) = \frac{P(BW|B_3)\;\cdot \;P(B_3)}{P(BW)} = \frac{0,3\;\cdot \;0,35}{0,215} = 0,488$Aufgabe 5:Der Schüler Peter Schummel ist unter seinen Freunden dafür berüchtig in Klausuren zu 80% schummeln. Er macht das, weil er so nämlich mit der Wahrscheinlichkeit von 90% besteht, schummelt er nicht, so liegt die Quote die Klausur zu bestehen nur bei 50%.Wie ...
  8. Lageparameter
    Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Verteilungsparameter > Lageparameter
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    ... Lösung hierzu lässt sich mit der p-q-Formel berechnen:$\Rightarrow$ $x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{({p\over{2}})^2-q}$$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4}-3,4} $$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4-3,4} $$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{0,6} $$x_{1/2} = 2 \pm 0,7746$$x_1 = 2,7746$ $x_2 = 1,2254 $Die korrekte Lösung muss xmed = 1,2254 sein, da das Ergebnis x1 außerhalb des Definitionsbereiches der Dichtefunktion f liegt.diskrete ZufallsvariablenFür diskrete Zufallsvariablen ...
  9. Streuungsparameter
    Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Verteilungsparameter > Streuungsparameter
    ... nicht so einfache rechnen, darum sollen diese Formeln noch genannt werden:Für eine diskrete Zufallsvariable X, die die Ausprägungen x1, x2, ..., xn besitzt:Var(X) = $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^n\;$(xi - E(X))2Für eine stetige Zufallsvariable X, wenn f die zugehörige Dichtefunktion ist:Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$ x2·(f(x) - E(X))dx, Häufig wird Var(X) = oder kurz Var (X) = σ2 geschrieben.In unserem Beispiel des einfachen Würfelwurfs ...
  10. Linearkombinationen von Zufallsvariablen
    Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Linearkombinationen von Zufallsvariablen
    ... zwei Zufallsvariablen X und Y ist die Formel etwas übersichtlicher:Var (a·X + b·Y ) = a2·Var(X) + b2·Var(Y) +2ab$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,YSind X und Y zudem unabhängig voneinander (also insbes. unkorreliert, d.h. ρX,Y = 0), dann gilt sogarVar (a·X + b·Y ) = a2·Var(X) + b2·Var(Y)BeispielNehmen wir für obiges Beispiel jetzt mal konkrete Zahlen an. Wir möchten nun das ...
  11. Diskrete Verteilungen
    Eindimensionale Verteilungen (mit Namen) > Diskrete Verteilungen
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    ... = ${1\over 6}$ und lässt sich dann in die Formel (1 – p)k-1·p einsetzen:k = 1 (1 – p)1-1·p = (1 – p)0·p = p = ${1\over 6}$k = 2 (1 – p)2-1·p = (1 – ${1\over 6}$)1·${1\over 6}$ = $({5\over 6})^1$·${1\over 6}$ = ${5\over 36}$k = 3 (1 – p)3-1·p = (1 – ${1\over 6}$)2·${1\over 6}$ = $({5\over 6})^2$·${1\over 6}$ = ${25\over 216}$k = 4 (1 – p)4-1·p = (1 – ${1\over ...
  12. Binomialverteilung
    Eindimensionale Verteilungen (mit Namen) > Diskrete Verteilungen > Binomialverteilung
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    ... die Verteilungsfunktion herleiten.Rekursionsformel der BinomialverteilungDie Rekursionsformel der Binomialverteilung B(n,p) istp0 = $(1 – p)^n$pk+1 = $\frac{n\;-\;k}{k\;+\;1}$· $\frac p{1\;-\;p}$·pk  für k = 0, 1, 2, …, n - 1.Die Rekursionsformel der Binomialverteilung B(n,p) emöglicht ein einfacheres Berechnen der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktionen f(0) = P(X = 0), f(1) = P(X = 1), f(2) = P(X = 2)...Für das oben angeführte ...
  13. Weitere diskrete Verteilungen
    Eindimensionale Verteilungen (mit Namen) > Diskrete Verteilungen > Weitere diskrete Verteilungen
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    ... 6.2 MultinomialverteilungDie Rekursionsformel bei hypergeometrischen Verteilung:$p_{k + 1}$ =$\frac{(M\;-\;k)}{(k\;+\;1)}\;\cdot \;\frac{(n\;-\;k)}{(N\;-\;M\;-\;n\;+\;k\;+\;1)}\cdot {p_k}$für k = 0, 1, 2, …, n - 1.So kann man aus pk = P(X = k) weitere Wahrscheinlichkeiten berechnen:Aus unserm Beispiel:P(X = 3) = p3 = p2 + 1 =$\frac{4\;-\;2}{2\;+\;1}\;\cdot \;\frac{4\;-\;2}{8\;-\;4\;-\;4\;+\;2\;+\;1}\cdot {p_2}$ =  $\frac 2 3$· $\frac 2 3$·$\frac ...
  14. Aufgaben, Lösungen und Beispiele zu eindimensionalen Verteilungen (mit Namen)
    Eindimensionale Verteilungen (mit Namen) > Aufgaben, Lösungen und Beispiele zu eindimensionalen Verteilungen (mit Namen)
    ... setzt k = 3, N = 15, M = 3 und n = 5 in die Formel der hypergeometrischen Verteilung ein und erhält:P(X = 3) = $\frac{\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}33\right)\;\cdot \;\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15\;-\;3}{5\;-\;3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15}5\right)}$ =  $\frac{1\;\cdot \;\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{12}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15}5\right)}$ ≈ 0,022.Lösung 1c:für diesen Fall ist k = 0, was ergibt:P(X = 0) = $\frac{\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}30\right)\;\cdot ...
  15. Gemeinsame Verteilungsfunktion
    Mehrdimensionale Verteilungen > Gemeinsame Verteilungsfunktion
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    ... ..., u_n)du_n ... du_2du_1$. Die obige Formel wird also konkretisiert durch die Bildung des Integrals. Die Funktion f ist Dichtefunktion der Zufallsvariablen X = (X1, X2, ...,Xn).
  16. Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Tschebyscheffschen Ungleichung
    Tschebyscheffsche Ungleichung > Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Tschebyscheffschen Ungleichung
    ... kann man den Erwartungswert mit der Formel berechen:E(X) = n∙p = 12 ∙ $1 \over 2$ = 6.Die Varianz lässt sich mit der Formel Var(X) = n∙p∙(1 - p) errechnen:Var(X) = 12∙$1 \over 2$∙(1-$1 \over 2$) = 3.Lösung 1b:Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei und weniger als acht Köpfe fallen, errechnet sich wie folgt:P(4 < X < 8) = P(4 < X ≤ 7) = F(7) – F(4)Erst eine Nebenrechnungen:P(X ≤ 7) = 1 - P(X > 7)= ...
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Stichprobentheorie

  1. Schätzfunktionen
    Schätzen > Schätzfunktionen
    ... $x_4=20\text{€}.$ Die Formel enthält das arithmetische Mittel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i$ Da die Stichprobe aus der Befragung von vier Schülern einhergeht, ist n = 4. Das genaue arithmetische Mittel ergibt sich daraus wie folgt: $\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$. Das Ergebnis der Schätzung ...
  2. Aufgaben zu Schätzfunktionen mit Beispielen und Berechnungen
    Schätzen > Schätzfunktionen > Aufgaben zu Schätzfunktionen mit Beispielen und Berechnungen
    ... herleiten:hierzu existiert eine Häufigkeitstabelle. Durch die Herleitung einer allgemeinen Formel gelingt es anschließend die Standardabweichung einer Häufigkeitstabelle zu berechnen:Dafür steht $n_i$ für die absolute Häufigkeit der Merkmalausprägungen, $x_i$ und j für die Anzahl der Merkmalausprägungen $x_i$.Für den Mittelwert ergibt sich: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^jx_in_i=\frac ...
  3. Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue
    Schätzen > Schätzfunktionen und ihre Eigenschaften > Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue
    ... ).$Unter Berücksichtigung der letzten Formel für $\sigma ^2$ kommt heraus:$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n\text (\sigma ^2+(EY_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\overline{\sigma }^2+(E\overline Y)^2)\text ),$ $\overline{\sigma }^2=\mathit{VAR}(\overline Y)=\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nY_i)$ so dass$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EY_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nY_i)+(\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(Y_i))^2)$Infolge der Unabhängigkeit ...
  4. Notwendiger Stichprobenumfang
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schätzen > Konfidenzintervalle > Notwendiger Stichprobenumfang
    ... unterschreiten. Bei der Beantwortung hilft die Formel: $n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2$. Die Länge des Intervalls wird mit „L“ gekennzeichnet. Diese ist wie folgt zu berechnen: L= oberste und unterste Grenze des Intervalls. Hierfür zählt: 4-2 = 2.Der Aufgabenstellung zufolge ist: $1-\alpha =\frac{99}{100,}$ so dass $\alpha =\frac 1{100}.$ Es wird ersichtlich, dass z für das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)=(1-0,005)=0,995$ -Fraktil der Standardnormalverteilung ...
  5. Differenzenschätzung
    Hochrechnung > Differenzenschätzung
    Abb. 9: x-Achse: Primrinformation; y-Achse: Sekundrinformation
    ... 2S_{\mathit{XY}}.$ Mittels der oberen Formel erhalten wir die Ungleichung: $P_X(1-P_X)\leqslant 2(P_{11}-P_XP_Y)\text{{\textless}={\textgreater}}(1-P_X)\leqslant 2(\frac{P_{11}}{P_X}-P_Y).$ Der Anteil der Wähler, welche wiederholt die Partei Neo wählten, entspricht hier $\frac{P_{11}}{P_X}.$ Falls diese zu groß ist, wird eine Reduktion der Varianz vorgenommen. Bei Unabhängigkeit der Ergebnisse der letzten und zukünftigen Wahl gilt: $P_{11}=P_XP_Y.$ Dabei ist ...
  6. Geschichtete Stichproben
    Hochrechnung > Klumpen und geschichtete Stichproben > Geschichtete Stichproben
    ... aufweisen.Zu guter Letzt werden die wichtigsten Formeln hinsichtlich der geschichteten Stichproben aufgelistet:FormelsammlungSchätzer für den Mittelwert und die Varianz einer geschichteten StichprobeAufteilung der Population in M disjunkte Schichten vom Umfang $N_h,h=1,...,M.$ Es sei in jeder Schicht eine einfache Zufallsstichprobe zu ziehen, mit einem Umfang von $n_h,h=1,...,M$ Die Ziehungen in den Schichten sind unabhängig voneinander. Es liegt ein erwartungstreuer Schätzer ...
  7. Wahl des Stichprobenumfangs
    Hochrechnung > Klumpen und geschichtete Stichproben > Wahl des Stichprobenumfangs
    ... $\frac{N_h-n_h}{N_h}$ der Varianzformel außen vor gelassen werden, so dass $\hat{\mathit{VAR}\left(\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}\right)}=\sum _{h=1}^M\left(\frac{N_h} N\right)^2\frac{S_h^2}{n_h}.$ Zu erkennen gibt sich hier, dass die Varianz umso größer ist, je größer der Ausdruck $N_hS_h.$ Eine ideale Aufteilung ergibt sich durch die Wahl von $n_h$ proportional zu $H_hS_h.$ ${n_{h,\mathit{opt}}=\left[n\frac{N_hS_h}{\sum _{h=1}^{M}N_hS_h}\right]+1}.$Hier ...
  8. Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5) > Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    Lsung Aufgabe 14_Teil 1a
    ... Stichprobenumfang wird die passende Formel verwendet. Draus ergibt sich:$n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2=\left(\frac{300\ast 1,96}{75}\right)^2=61,47.$ Um das durchschnittliche Monatseinkommen der Angestellten aus dem Unternehmen Riga (R) auf $\pm 75\text €$ genau schätzten zu können, müssen mindestens 62 Angestellte befragt werden. Zu b): Das Konfidenzniveau liegt vor durch:$1-\alpha =0,99\alpha =0,01.$Wir bekommen: $1-\frac{\alpha } 2=0,995.$ ...
Stichprobentheorie
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  1. Kreuztabellen
    Statistische Kennzahlen (Deskriptive Statistik) > Kreuztabellen
    Kreuztabellen
    ... "Pearson-Chi-Quadrat" berechnet sich nach der Formel $$\chi^2=\Sigma \frac{(f_0-f_e)^2}{f_e}$$Hierbei handelt es sich um den Standardtest, der hierbei meistens durchgeführt wird.2. Der "Likelihood-Quotient" ist eine mögliche Alternative zum normalen "Chi-Quadrat-Test“$$\chi^2=-2 * \Sigma f_0 *ln  \frac{f_0}{f_e}$$Bei großen Stichproben nähern sich der Pearson-Chi-Quadrat und der Likelihood-Quotient dem Chi-Quadrat an.3. Der "Zusammenhang linear-mit-linear" gibt ...
SPSS Software
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Makroökonomie

  1. Verwendungsgleichung im Einkommen-Ausgaben-Modell
    Einkommen-Ausgaben-Modell > Verwendungsgleichung im Einkommen-Ausgaben-Modell
    Abb. 4: Gesamtwirtschaftliche Nachfragefunktion
    ... Ex - Im.,die Investitionen I,Als Formel gilt demnach:  Verwendungsgleichung $Y = C + I + G + Ex – Im$.     Verschiedene Sektoren und ihre Nachfrageprivate Haushaltekonsumieren Unternehmeninvestieren StaatStaatsausgaben G  AuslandStaatsausgaben GAußenbeitragHandelsbilanzüberschussKomponenten der Verwendungsgleichung und ihre MerkmaleDer Konsum wird als $C = C(Y)$ geschrieben, da er einkommensabhängig ist.Die ...
Makrokonomie
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Webinare

  1. Vorsteuerabzug vor dem Hintergrund des Steuersatzwechsels
    ...standteile Folgen der Einführung des § 25f UStG (Versagung des VoSt-Abzugs) Rechnungen nach § 13b UStG Besonderheiten bei Rechnungen mit Auslandsbezug Durchlaufende Posten Rechnungsberichtigung oder -stornierung Besonderheiten durch den Steuersatzwechsel Steuerentstehung Abschlagzahlungen vs. Anzahlungen Boni und Skonti Dauerschuldverhältnisse An wen richtet sich das Webinar? Das Webinar dient dem Aufbau des prüfungsrelevanten Wissens für angehende BWL-Studenten, Bila...
  2. Cashflow: Rückblick auf die Prüfungen
    ... inkl. Änderungen Bonus: Wie man Cashflow-Rechnung in der Präsentation zur mündlichen Prüfung verwenden kann Voraussetzung: Beherrschung der Begriffe Aufwand/Ertrag, Ausgabe/Einnahme, Auszahlung /Einzahlung.   Ihre Referentin  Natalia Menzel, M.A. Finance & Controlling ist Prüferin an der IHK Schwaben. Aufgrund ihrer langjährigen Erfahrung weiß sie, worauf es in Ihrer Prüfung zum Bilanzbuchhalter ankommt....
  3. Vorsteuerabzug vor dem Hintergrund des Steuersatzwechsels
    ...g des § 25f UStG (Versagung des VoSt-Abzugs) Rechnungen nach § 13b UStG Besonderheiten bei Rechnungen mit Auslandsbezug Durchlaufende Posten Rechnungsberichtigung oder -stornierung Besonderheiten durch den Steuersatzwechsel Steuerentstehung Abschlagzahlungen vs. Anzahlungen Boni und Skonti Dauerschuldverhältnisse An wen richtet sich das Webinar? Das Webinar dient dem Aufbau des prüfungsrelevanten Wissens für angehende BWL-Studenten, Bilanzbuchhalter (IHK) ...
  4. Überblick über wichtige Korrekturrechtstatbestände der AO
    ...waltungsakten Berichtigung offenbarer Unrichtigkeit (§ 129 AO) Korrektur unter Vorbehalt der Nachprüfung (§ 164 AO) Korrektur vorläufiger Festsetzung (§ 165 AO) Aufhebung und Änderung von Steuerbescheiden (§ 172 AO) Korrektur wegen neuer Tatsachen oder Beweismittel (§ 173 AO) Widerstreitende Steuerfestsetzungen (§ 174 AO) Aufhebung oder Änderung in sonstigen Fällen (§ 175 AO) Anhand von anschaulichen Beispielen eralten Sie den perfekten Überblick und einen starken Anwendun...
  5. Crashkurs Statistik: Wahrscheinlichkeitsrechnung
    ...hkeiten (bei letzterem insbesondere die Bayessche Formel und den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit), diskrete und stetige Verteilungen (insbesondere die Binomial- und die Normalverteilung und die dazugehörigen Anwendungen) sowie die Tschebyscheffsche Ungleichung. Auch die nötigen Parameter wie Erwartungswert und Varianz kommen nicht zu kurz. Kurzum wird Dir umfangreich prüfungsrelevantes Wissen vermittelt!...
  6. Crashkurs Wahrscheinlichkeitsrechnung
    ...hkeiten (bei letzterem insbesondere die Bayessche Formel und den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit), diskrete und stetige Verteilungen (insbesondere die Binomial- und die Normalverteilung und die dazugehörigen Anwendungen) sowie die Tschebyscheffsche Ungleichung. Auch die nötigen Parameter wie Erwartungswert und Varianz kommen nicht zu kurz. Kurzum wird Dir umfangreich prüfungsrelevantes Wissen vermittelt!...
  7. Crashkurs Statistik: Wahrscheinlichkeitsrechnung
    ...letzterem insb. die Bayessche Formel und den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit). Danach behandeln wir diskrete und stetige Verteilungen, insb. die Binomial- und die Normalverteilung und die dazugehörigen Anwendungen. Auch die nötigen Parameter wie Erwartungswert und Varianz kommen nicht zu kurz. Schließlich erklären wir noch die Tschebyscheffsche Ungleichung. Kurzum: Die großen Themen der Statistik (Wahrscheinlichkeitsrech...
  8. Gratis-Webinar Finanzmathematik
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  9. Wahrscheinlichkeitsrechnung - Nachmittag
    ...Bayessche Formel, Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)diskrete Zufallsvariablen (Binomial-, Poisson-, Hypergeometrische Verteilung)stetige Zufallsvariablen (Normalverteilung, Exponentialverteilung)Parameter von Verteilungen (Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung)Zweidimensionale Verteilungen (Kovarianz, Korrelation, Unabhängigkeit)Tschebyscheffsche Ungleichung...
  10. Wahrscheinlichkeitsrechnung
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  11. Kostenloses Webinar zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
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  13. Induktive Statistik
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