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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Normalverteilung

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Da die Normalverteilung als Approximation, spricht Näherung, an andere Verteilungen zu verstehen ist, hat sie in der Statistik einen durchaus hohen Stellenwert.

Schema zur Normalverteilung

I.  Um welche Normalverteilung handelt es sich? Was ist der Erwartungswert µ was ist die Streuung σ?

II. Nach welcher Wahrscheinlichkeit ist gefragt?

Vertiefung

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a) Die Wahrscheinlichkeit, das X maximal den Wert a annimmt

P(X ≤ a):

Abb. 6.7: Fläche bis zu bestimmter Stelle unterhalb Glockenkurve
Abb. 6.7: Fläche bis zu bestimmter Stelle unterhalb Glockenkurve

Vertiefung

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b) Die Wahrscheinlichkeit, das X wenigstens den Wert a annimmt

P(X ≥ a):

Abb. 6.8: Fläche ab bestimmter Stelle unterhalb der Glockenkurve
Abb. 6.8: Fläche ab bestimmter Stelle unterhalb der Glockenkurve

Vertiefung

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c) Die Wahrscheinlichkeit, das X zwischen den Werten a und b liegt

P(a ≤ X ≤ b):

Abb. 6.9: Fläche zwischen zwei Zahlen unterhalb der Glockenkurve
Abb. 6.9: Fläche zwischen zwei Zahlen unterhalb der Glockenkurve

III. Standardisiere, bedeutet subtrahiere den Erwartungswert µ und teile durch die Streuung σ.

  1. P(X ≤ a) = P($\frac{X\;-\;\mu }{\sigma }$ ≤ $\frac{a\;-\;\mu }{\sigma }$)
  2. P(X ≥ a) = 1 – P(X ≤ a) = 1- P($\frac{X\;-\;\mu }{\sigma }$ ≤ $\frac{a\;-\;\mu }{\sigma }$)
  3. P(b ≤ X ≤ c) = P(X ≤ c) – P(X ≤ b) = P($\frac{X\;-\;\mu }{\sigma }$ ≤ $\frac{c\;-\;\mu }{\sigma }$) - P($\frac{X\;-\;\mu }{\sigma }$ ≤ $\frac{d\;-\;\mu }{\sigma }$)

IV. da die neue Zufallsvariable XST: =  standardnormalverteilt ist XSt ~N(0,1) gilt und die Verteilungsfunktion der N(0,1) - Verteilung mit Φ geschrieben wird. Wende die Φ -Schreibweise an:

  1. P(X ≤ a) = ... = Φ ($\frac{a\;-\;\mu }{\sigma }$)
  2. P(X ≥ a) = ... = 1 - Φ ($\frac{a\;-\;\mu }{\sigma }$)
  3. P(a ≤ X ≤ b) = ... = Φ ($\frac{b\;-\;\mu }{\sigma }$) - Φ ($\frac{a\;-\;\mu }{\sigma }$).

V.  Wende, falls nötig, einen Trick an: Φ (- g) = 1 – Φ (g), da die Tabellen zur Standardnormalerteilung N(0,1) meistens erst beim Abszissenwert 0 beginnen.

VI. Schlage in der Tabelle der N(0,1)-Verteilung nach.

 

In einigen Lehrbüchern steht für die Normalverteilung N(µ,σ), andere hingegen beschreiben sie als N(µ,σ2). Wir nutzen hier N(µ,σ), also die Streuung σ und nicht die Varianz σ2. Die Streuung σ ist gleich dem Abstand des Wendepunktes zum Erwartungswert μ.

 

Wir machen wieder zur Veranschaulichung und besserem Verständnis ein Beispiel:

Beispiel

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Die durchschnittliche Körpergröße von Frauen in Deutschland beträgt 1,66m und sie normalverteilt, bei einer Streuung von 0,15m. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass...

  1. eine Frau kleiner ist als 1,60m,
  2. größer ist als 1,69m
  3. zwischen 1,57 m und 1,75 m groß ist?

Wir wenden zur Lösung das obenstehende Schema an:

-

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Lösung a:
  1. Es handelt sich offenbar um die Normalverteilung N(1,66; 0,15).

  2. Danach schreiben wir die Aufgabenstellung formal auf: P(X ≤ 1,60)
    Falls nötig, wird die Richtung auf „kleiner oder gleich“ gedreht: hier muss nichts geändert werden.

  3. Standardisieren: P(X ≤ 1,60) = P(XST ≤ ${{1,60-1,66}\over{0,15}}$) = P(XST ≤ - 0,4)

  4. Φ – Schreibweise anwenden: P(XST ≤ - 0,4) = Φ ( - 0,4)

  5. Trick anwenden: Φ ( - 0,4) = 1 – Φ (0,4)

  6. In einer Tabelle zur N(0,1)-Verteilung nachschlagen: 1 – Φ (0,4) = 1 – 0,65542 = 0,34458

-

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Lösung b:
  1.  Es handelt sich offenbar um die Normalverteilung N(1,66; 0,15).

  2. Danach schreiben wir die Aufgabenstellung formal auf: P(X ≥ 1,69)
    Falls nötig, wird die Richtung auf „kleiner oder gleich“ gedreht: P(X ≥ 1,69) = 1 – P(X ≤ 1,69)

  3. Standardisieren: P(X ≥ 1,69) = 1 – P(XST ≤ ${{1,69-1,66}\over{0,15}}$ ) = 1 – P(XST ≤ 0,2)

  4. Φ – Schreibweise anwenden: 1 – P(XST ≤ 0,2) = 1 – Φ (0,2)

  5. Hier ist der Trick nicht vonnöten, da Φ an einer positiven Stelle nachgeschlagen wird.

  6. In einer Tabelle zur N(0,1)-Verteilung nachschlagen: 1 – Φ (0,2) = 1 – 0,57926 = 0,42074

Vertiefung

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Lösung c:
  1. Es handelt sich offenbar um die Normalverteilung N(1,66; 0,15).

  2. Danach schreiben wir die Aufgabenstellung formal auf: P(1,54 ≤ X ≤ 1,75)
    Falls nötig, wird die Richtung auf „kleiner oder gleich“ gedreht: P(1,54 ≤ X ≤ 1,75) = P(X ≤ 1,75) – P(X ≤ 1,54)

  3. Standardisieren: P(1,54 ≤ X ≤ 1,75) = P(XST ≤ 0,6) – P(XST ≤ - 1,0)

  4. Φ – Schreibweise anwenden: P(XST ≤ 0,6) – P(XST ≤ - 0,8) = Φ (0,6) – Φ (- 0,8)

  5. Trick anwenden: Φ (0,6) – Φ (- 0,8) = Φ (0,6) – [1 - Φ (0,8)] = Φ (0,6) – 1 + Φ (0,8)

  6. In einer Tabelle zur N(0,1)-Verteilung nachschlagen: Φ (0,6) – 1 + Φ (0,8) = 0,72575 – 1 + 0,78814 = 0,51389.

Merke

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Das Ergebnis lässt sich kontrollieren, wenn man die Dichtefunktion und makierte Fläche miteinander vergleicht. Wie wir wissen ist die gesamte Fläche zwischen Graph und x-Achse gleich 1. Die gesuce Fläche hat dann den errechneten Anteil.

Kommen wir zu einer kleinen Veränderung der obigen Problemstellung:

Beispiel

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Welche Körpergröße überschreiten 25% der deutschen Frauen?

Die kleine Änderung der Aufgabenstellung führt dazu, dass wir später in der Tabelle die Werte von innen nach außen ableden müssen. Darum ist dieser Aufgabentyp sperat aufgeführt.

Hier ist nämlich das Erebnis der Wahrscheinlichkeit bekannt, wir sollen nun aber die Körpergroße berechnen, die von (nur) 25% der Frauen überschritten wird. P(X ≥ a) = 0,25.

In der Aufgabe zuvor verhielt es sich genau umgekehrt, die Körpergröße war bekannt und es sollte die Wahrscheinlichkeit herausgefunden werden.

Dieses Problem lässt sich auch mit dem obigen Schema lösen:

  1. X ~ N(1,66; 0,15)
  2. P(X ≥ a) = 0,25. Entspricht also dem Fall b), da die Mindestwahrscheinlichkeit bekannt ist. Um die Verteilungsfunktion nutzen zu können, müssen wir das Zeichen umdrehen:
    P(X ≥ a) = 0,25 $\Leftrightarrow$ 1 – P(X ≤ a) = 0,25$\Leftrightarrow$ - P(X ≤ a) = - 0,75 $\Leftrightarrow$ P(X ≤ a) = 0,75.
  3. Standardisieren: P(X ≤ a) = 0,75 $\Leftrightarrow$ P(XST ≤ ) = 0,75.
  4. Wende die Φ - Schreibweise an:
    P(XST ≤ $\frac{a\;-\;1,66}{0,15}$) = 0,75 $\Leftrightarrow$ Φ ($\frac{a\;-\;1,66}{0,15}$) = 0,75.
  5. Dieser Schritt ist hier nicht notwendig.
  6. Von innen nach außen nachschlagen: In der Tabelle guckt man, wo genau 0,75 erreicht bzw. gerade überschritten wird. Bei 0,75 ist dies bei 0,68 der Fall. Somit rechnet an:
    $\frac{a\;-\;1,66}{0,15}$ = 0,68 $\Leftrightarrow$ a = 0,68 · 0,15 + 1,66 = 1,762.

Bedeutet also, dass 25% der deutschen Frauen größer als 1,76m sind.

In der N(0,1)-Verteilungs Tabelle liegt der erste Wert bei 0,5. Was also tun, wenn bspw. danach gefragt ist, welche Körpergröße 65 % aller Frauen überschreiten?

Hier braucht man 0,35 als Wert innerhalb der Tabelle, aber findet keine Zahl. Hier ist dieser Trick behilflich, der speziell für die Standardnormalverteilung gilt (weil diese symmetrisch ist um null herum):

-

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xα = - x 1 - α.

Also x0,35 = - x1 - 0,35 = - x0,65. Man schaut nach dem 0,65 - Fraktil und ergänzt davor ein Minus. Es überschreiten 65 % der deutschen Frauen eine Körpergröße von 1,602m.

Wir sehen, durch unser Beispiel, dass wir noch sehr ungenau rechnen, weil wir die Werte in der Tabelle nehmen, die das gesuchte Fraktil gerade überschreiten und nicht genau dort landen. Diese Unschärfe lässt sich nicht vollkommen eliminieren, allerdings durch lineare Interpolation verringern. Darauf wollen wir aber nicht konkreter eingehen.

Das 0,7 - Fraktil der N(0,1) - Verteilung liegt also ungefähr bei 0,5244. Diese Schätzung ist genauer als 0,53.

Merke

Merke

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Die Dichtefunktion von N(0,1) ist

Abb. 6.10: Dichtefunktion der Standardnormalteilung N(0,1)
Abb. 6.10: Dichtefunktion der Standardnormalteilung N(0,1)


Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung lautet

Abb. 6.11: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1)
Abb. 6.11: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1)

Videos

Video: Normalverteilung

Video: Normalverteilung

Video: Normalverteilung

Video: Normalverteilung

Aufgabe (Richtig-Falsch-Fragen zur Normalverteilung)

Welche dieser Aussagen sind richtig oder falsch?

  1. Bei der Normalverteilung stimmen Modus, Erwartungswert und Median stets überein.
  2. Wenn eine beliebige normalverteilte Zufallsvariable standardisiert wird, erhält man immer eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.
  3. Im 1 - σ - Bereich der Normalverteilung liegen ca. 95 % aller Werte.
  4. Bei der Normalverteilung ist es wichtig, dass man standardisiert. Hierbei ist der Prozess des Zentrierens ein wichtiger Teil.
  5. Bei der Standardnormalverteilung lassen sich durch lineare Interpolation Zwischenwerte, die in der Verteilungsfunktionstabelle der N(0,1)-Verteilung nicht angegeben sind, exakt berechnen.

 

Vertiefung

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Lösung a:

Richtig

-

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Lösung b:

Richtig

-

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Lösung c:

Falsch, im 1·σ - Bereich liegen ca. 68 % aller Werte.

-

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Lösung d:

Richtig.

Zentrieren heißt, vom gesuchten Wert x den Erwartungswert μ abzuziehen. Standardisieren bedeutet, danach durch die Standardabweichung σ zu dividieren: $\frac{x\;-\;\mu }{\sigma }$.

 

Vertiefung

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Lösung e:

Falsch, sie lassen sich lediglich interpolieren (= approximieren).