Cournot-Nash-Gleichgewicht

Mit dem Wissen aus der Spieltheorie, dass Kartelle nicht immer stabil sind, können wir nun einen anderen Weg beschreiben, wie Unternehmen im Oligopol das Gewinnmaximum erreichen können.
Auch hier hat das Ganze den Charakter eines Spiels. Die beiden Unternehmen, die wir analysieren, müssen ihre Outputentscheidungen gleichzeitig treffen. Um ihren gewinnmaximalen Output bestimmen zu können, müssen sie allerdings die Outputmenge des Konkurrenten voraussagen. Gesucht ist nun genau die Situation, wo beide Unternehmen ihre Erwartungen über die Produktionsmenge des anderen Unternehmens bestätigt finden.
Dieses Modell wird als Cournot-Modell bezeichnet, nach einem französischen Mathematiker, der sich im 19. Jahrhundert als erster mit diesem Thema befasst hat.
Mit in unsere Überlegungen kommt auch das Nash-Gleichgewicht aus unserem vorherigen Kapitel. Aus der Kombination beider Ansätze, bestimmen wir die optimale Outputentscheidung beider Unternehmen. Dieser Punkt wird als Cournot-Nash-Gleichgewicht bezeichnet.

Die Reaktionsfunktion

Die Entscheidung eines Unternehmens ist abhängig von der Entscheidung des anderen. Rein formell ist also der optimale Output von U1 eine Funktion in Abhängigkeit des Output von U2, $\ y*1 = f(y*2) $ zu $ y_1= f(y_2) $
Diese Funktion wird als Reaktionsfunktion bezeichnet.
Mit einer kleinen Änderung der Gewinnfunktion aus dem Kartellfall lassen sich die beiden Reaktionsfunktionen für die jeweiligen Unternehmen leicht bestimmen.

Die Gewinnfunktion für U1 lautet nun: $\ G = (500 - 2(y_1+y_2))y_1 -25y_1 $
Der Term in der Klammer gibt den Marktpreis an. Dieser bildet sich aus der gesamten angebotenen Menge. Dieser Preis wird mit der Outputmenge des Unternehmens multipliziert (hier U1) um den Umsatz zu errechnen. Davon werden die Kosten für die Produktion abgezogen.
Parallel dazu lautet die Gewinnfunktion für U2: $\ G = (500-2(y_1+y_2))y_2 -y_2^2 $.

Das weitere Vorgehen sieht schematisch so aus:

1. Ausmultiplizieren der beiden Gewinnfunktionen
2. Nach der jeweiligen Produktionsmenge $\ y_1 $ oder $\ y_2 $ ableiten und gleich Null setzen
3. Bei U1 nach $\ y_1 $ und bei U2 nach $\ y_2 $ auflösen; wir erhalten dann die beiden Reaktionsfunktionen
4. Eine der Reaktionsfunktionen in die andere einsetzen und auflösen; das Ergebnis ist die Outputmenge eines der Unternehmen
5. Mit der einen Outputmenge lässt sich die andere durch Einsetzen in die Reaktionsfunktion bestimmen.

Rechnerisch ergibt sich für das obige Beispiel somit folgendes:

1. $ G_1= (500-2[y_1+y_2])\cdot y_1-25y_1 $
          $ = (500-2y_1-2y_2)\cdot y_1-25y_1 $
          $ = 500y_1-2y_1^2-2y_1y_2-25y_1 $
          $ = 475y_1-2y_1^2-2y_1y_2 $
   
   $ G_2= (500-2[y_1+y_2])\cdot y_2-y_2^2 $
          $ = (500- 2y_1-2y_2)\cdot y_2-y_2^2 $
          $ = 500y_2-2y_1y_2-2y_2^2-y_2^2 $
          $ = 500y_2-2y_1y_2-3y_2^2 $
   
   
2. ${2G \over 2y_1}=475-4y_1-2y_2\stackrel{!}{=}0 $
   $ \Leftrightarrow 475-2y_2=4y_1 $
   $ \Leftrightarrow 118,75-0,5y_2=y_1 $
   
   ${2G \over 2y_2}=500-2y_1-6y_2\stackrel{!}{=}0 $
   $ \Leftrightarrow 500-2y_1=6y_2 $
   $ \Leftrightarrow {250 \over 3}- {1 \over 3}y_1=y_2 $
   
   
3. $ 118,75-0,5({250 \over 3}- {1 \over 3}y_1)=y_1 $
   $ \Leftrightarrow 118,75- {125 \over 3}+ {1 \over 6}y_1 $
   $ \Leftrightarrow {925 \over 12}= {5 \over 6}y_1 $
   $ \Leftrightarrow 92,5= y_1 $
   
   
4. $ {250 \over 3}- {1 \over 3}\cdot 92,5=y_2 $
   $ \Leftrightarrow 52,5= y_2 $

Die Ergebnisse hier lauten also: $\ y_1 = 92,5 $ und $\ y_2 = 52,5 $.

Interessant ist hier, dass die gesamte Outputmenge im Vergleich zur Kartellsituation gestiegen ist. Dies liegt am (zwar eingeschränkten) Wettbewerb der nun aufkommt.