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Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kapitalwertmethode

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Auch im Rahmen der Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunkts nach der Kapitalwertmethode betrachten wir wieder Erst- und Folgeinvestitionen. Das Vorgehen ist z.T. davon abhängig, ob die Folgeinvestition unendlich häufig durchgeführt wird oder nicht.

Schema zur Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunkts
1 Wie oft wird die Folgeinvestition durchgeführt?
- endlich oft
$\ \rightarrow $ verwende den Kapitalwert der Folgeinvestition (bzw. der Kette der Folgeinvestitionen)

- unendlich oft
$\ \rightarrow $ verwende die Annuität der Folgeinvestition

2. Schreibe ein Gitter hin, in dem zeilenweise die Ersatzzeitpunkte der Altanlage stehen und in den Spalten die Zeitpunkte. Im letzten Nutzungsjahr der Altanlage, d.h. im Ersatzzeitpunkt, schreibt man zusätzlich den Liquidationserlös hin.

3. Schreibe danach
- im Fall der endlich häufigen Durchführung der Folgeinvestition den Kapitalwert bzw.
- im Fall der unendlich häufigen Durchführung der Folgeinvestition
- deren Annuität hin

4. Berechne zeilenweise die Kapitalwerte
beachte dabei, dass im Fall der unendlich häufigen Durchführung der Folgeinvestition mit der Formel der ewigen Rente zu rechnen ist.

Das angesprochene Gitter sieht also wie folgt aus:

  0 1 2 3 $\ \ldots $ n n + 1 n + 2 n + 3 Kapitalwert
I = 0                    
I = 1                    
I = 2                    
I = 3                    
I = 4                    

Tab. 33: Optimaler Ersatzzeitpunkt mit Kapitalwertmethode

Am linken Rand stehen mit $I = 0$, $I = 1$, usw. die möglichen Ersetzungszeitpunkte der Altanlage. Man schreibt in die Perioden $\ 0,1,2,\ldots ,n $ die Zahlungsreihen der Altanlage beim Ersatz in der jeweiligen Periode und fügt hiernach die Annuität der Ersatzanlage an (bzw. den Kapitalwert der Folgeinvestition bei nur endlich häufiger Wiederholung der Folgeinvestition). Es entsteht damit zeilenweise die Investitionskette aus der Altanlage und der Ersatzanlage. Am rechten Rand wird der Kapitalwert dieser Investitionskette berechnet, der maximale Kapitalwert gibt $\ i^* $, den optimalen Ersatzzeitpunkt der Altanlage $\ I^* $ an.

Beispiel

Beispiel

Beispiel 28:
Die Wal AG bestimmt im Zeitpunkt 0 die optimale Nutzungsdauer einer Fertigungsanlage. Die maximale Restnutzungsdauer liegt bei drei Perioden. Es liegen folgende Daten vor:
Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe 100 500 350 200 50
Liquidationserlöse 800 500 300 150 100
a) Bestimme die optimale Nutzungsdauer der Fertigungsanlage. Der Kapitalmarktzins liege bei $8 %$.
b) Die Wal AG entschließt sich, die bestehende Anlage durch eine neue unendlich häufig zu ersetzen, welche eine Annuität von $200 €$ besitzt. Wann sollte die Wal AG optimalerweise die alte Anlage ersetzen?

Optimale Nutzungsdauer

a) Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer

Nutzungsdauer 0 1 2 3 4 Kapitalwert
n = 0 900         900
n = 1 100 1.000       1.025,93
n = 2 100 500 650     1.120,23
n = 3 100 500 350 350   1.140,87
n = 4 100 500 350 200 150 1.042,05


Die Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse zeigt dasselbe Bild:

Jahr 1 2 3 4
Entgangener Liquidationserlös 300 200 150 50
Entgangener Zinsgewinn 64 40 24 12
Kosten der Verlängerung um eine Periode 364 240 174 62
Einzahlungsüberschuss der Folgeperiode 500 350 200 50
verlängern? in t = 0: ja in t = 1: ja in t = 2: ja in t = 3: nein


Also ist es optimal, die bestehende Anlage $\ n^*=3 $ Jahre lang zu nutzen.

Optimaler Ersatzzeitpunkt

b) Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunkts

für die Folgeinvestition rechnet man mit der Kapitalwertmethode:

Ersetzungszeitpunkt 0 1 2 3 4 $\ \ldots $ Kapitalwert
I = 0 900 200 200 200 200 200 3.400
I = 1 100 1000 200 200 200 200 3.340,74
I = 2 100 500 650 200 200 200 3.263,58
I = 3 100 500 350 350 200 200 3.125,45
I = 4 100 500 350 200 150 200 2.969,63

Also ist es optimal, die Anlage im Zeitpunkt I = 0 zu ersetzen und ab der Folgeperiode die Alternativanlage unendlich häufig zu nutzen.

Berechnung der Kapitalwerte

Man rechnet die Kapitalwerte folgendermaßen aus:

$\ C_0 = 900+{200 \over 1,08}= 3.400 $, wenn in I = 0, also sofort ersetzt wird bzw.
$\ C_0 = 100 +{1.000 \over 1,08} + {{200 \over 1,08} \over 1,08}= 3.340,74 $

Die 200 € ewige Rente werden zunächst auf die erste Periode heruntergerechnet (indem man 200 : 1,08 kalkuliert). Dieses Geld der ersten Periode muss dann noch in die nullte Periode transformiert werden (durch $\ 1,08^{1} $ teilen).

Multiple-Choice
Welche der folgenden Aussagen zum optimalen Ersatzzeitpunkt ist falsch?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kapitalwertmethode

  • Mark Perlitz schrieb am 12.07.2014 um 15:25 Uhr
    Zur Berechnung der Kapitalwerte: Muss die Ewige Rente nicht periodengerecht abgezinst werden? Während der zweiten Berechnung zum Kapitalwert, müsste dort nicht eig. (200/0,08) / 1,08^2 stehen?
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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