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Nutzungsdauerentscheidungen > Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition:

Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse

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Es gibt noch eine weitere Methode, mit der man die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung berechnen kann, nämlich mit der Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse.

Wenn man im Zeitpunkt n-1 die Laufzeit der Maschine nicht beendet, sondern noch eine weitere Periode in (die n.) weiterführt, dann entstehen hierdurch Kosten und Nutzen:

Die Kosten sind

  • $\ L_{n-1} – L_n $
    • das weitere Warten kostet Geld, denn man verzichtet gerade auf den Liquidationserlös in der n-1. Periode und nimmt stattdessen jenen aus der n. Periode mit
    • Die Differenz der beiden Liquidationserlöse, also $\ L_{n-1} – L_n $, bezeichnet damit die Kosten, die durch den Verzicht auf den Liquidationserlös entstehen
  • $\ i \cdot L_{n-1} $
    • wenn man in der Periode n-1 die Anlage liquidiert hätte, so wäre ein Restwert von Ln-1 erlöst worden, den man zu i % hätte anlegen können, hierdurch wäre eine Periode später ein Zinsgewinn von $\ i \cdot L_{n-1} $ entstanden. Auf diesen Zinsgewinn verzichtet man entsprechend, weil in der Periode n-1 bekanntlich gerade nicht liquidiert wurde. Der Posten $\ i \cdot L_{n-1} $ gibt also die Opportunitätskosten durch den Verzicht auf den Zinsgewinn an.
      Der Ertrag ist gegeben durch
  • $\ Z_n $
    • wenn man in der Periode n-1 die Nutzungsdauer um eine Periode in die n. Periode verlängert, dann realisiert man die Einzahlungen der n. Periode.

Es gilt folgende Regel:

Merke

Insgesamt lohnt sich in der Periode n - 1 die Verlängerung der Nutzungsdauer um eine Periode (d.h. in die Periode n) also dann, wenn der Ertrag der Verlängerung die Kosten derselben übersteigen, wenn also gilt $$\ Z_gn> (L_{n-1}-L_n)+i \cdot L_{n-1} $$

Wenn man die Ausdrücke der rechten Seite auf die linke bringt, so erhält man den sog. Grenzeinzahlungsüberschuss $\ Z_gn $ mit $$\ Z_gn=Z_n+(L_n-L_{n-1})-i \cdot L_{n-1} $$

Wichtig ist, dass $\ L_n $
Man erhält folgende Regel, die klarerweise äquivalent zur oben erwähnten ist:

Verlängere die Nutzungsdauer um eine weitere Periode, solange $\ Z_n \geq 0 $ ist.

Merke

Hinreichend dafür, dass man mit der Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse die selben Ergebnisse erhält wie mit der Kapitalwertmethode, sind monoton sinkende Grenzeinzahlungsüberschüsse $\ Z_gn $, d.h. $\ Z_1 \geq Z_2 \geq Z_3 \geq \ldots $ muss erfüllt sein.

Beispiel

Rechnen wir dies am vorangegangenen Beispiel durch:

Beispiel

Beispiel 24:
Die Anschaffungsauszahlung einer Investition der Hubert GmbH sei 8.000 €. Die Einzahlungsüberschüsse der folgenden Jahre seien 3.800 € im ersten, 3.000 € im zweiten, 2.000 € im dritten und 500 € im vierten Jahr. Der Liquidationserlös errechnet sich nach Maßgabe der Abschreibungen (lineare Abschreibung sei unterstellt). Die Maschine kann längstenfalls vier Jahre genutzt werden. Man rechnet mit einem Kalkulationszins von i = 10 %.



$\ Z_1= Z_1 + (L_1-L_0)-i \cdot L_0 = 3.800 + (6.000-8.000)-0,1 \cdot 8.000 = 1.000 $
$\ Z_2= Z_2 + (L_2-L_1) - i \cdot L_1 = 3.000+(4.000-6.000)-0,1 \cdot 6.000 = 400, $
$\ Z_3= Z_3 + (L_3 – L_2) - i \cdot L_2 = 2.000 + (2.000-4.000)-0,1 \cdot 4.000 =-400 $,
$\ Z_4= Z_4 + (L_4 – L_3) - i \cdot L_3 = 500+(0-2.000)-0,1 \cdot 2.000=-1.700 $

Die Grenzeinzahlungsüberschüsse bilden also eine monoton fallende Folge, wie oben gefordert, also $\ Z_1 \geq Z_2 \geq Z_3 \geq Z_4 $ wegen $\ 1.000 \geq 400 \geq -400 \geq -1.700 $, die Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse darf angewendet werden.

Man denkt hiernach in jeder Periode über den Ersatz nach.

  • Im Zeitpunkt $n = 0$ stellt man folgende Überlegung an:
    • Die Kosten der Verlängerung um eine Periode nach n = 1 sind $$\ (L_{1-1}-L_1) + i \cdot L_{1-1}=(L_0 - L_1)+i \cdot L_0 =(8.000-6.000)+0,1 \cdot 8.000 = 2.000+800 = 2.800 $$. Sie bestehen also aus 2.000 € Kosten, weil man einen Liquidationserlös in n = 1 erzielen würde, der um 2.000 € unter jenem der Periode n = 0 läge, und aus 800 € Kosten durch den Verzicht auf den Zinsgewinn, den man hätte, wenn man 8.000 € Liquidationserlös in n = 0 erzielt hätte und diesen dann verzinslich angelegt hätte. Der Ertrag der Verlängerung von $n = 0$ nach $n = 1$ wiederum ist $\ Z_1 = 3.800 $ und dieser ist größer als die Kosten. Die Erträge übersteigen die Kosten um genau $3.800 – 2.800 = 1.000 €$. Dies ist der Grenzeinzahlungsüberschuss Z.
    • Also wird in $n = 0$ die Nutzungsdauer um (mindestens) eine Periode verlängert, da die Erträge der Verlängerung deren Kosten übersteigen.
  • Genauso rechnet man in der ersten Periode, also in n = 1, dann die Kosten der Verlängerung aus als $\ (L_1-L_2)+ i \cdot L_1 = (6.000-4.000) + 0,1 \cdot 6.000 = 2.600 $. Da die Erträge der Verlängerung $3.000 €$ betragen, wird auch in $n = 1$ die Nutzungsdauer um (mindestens) eine Periode verlängert.
  • Erst in $n = 2$ sieht es anders aus: die Erträge der Weiterführung sind mit $\ Z_3 = 2.000\ € $ niedriger als die Kosten mit $2.400 €$. Damit wird in $n = 2$ die Nutzung nicht um eine Periode verlängert, die optimale Nutzungsdauer ist $n* = 2$.

    Hier nochmals die Erträge, Kosten und Grenzeinzahlungsüberschüsse der einzelnen Perioden:

Jahr 0 1 2
Ertrag der Verlängerung 3800 3000 2000
Kosten der Verlängerung 2800 2600 2400
Grenzeinzahlungsüberschuss 1000 400 -400
Nutzungsdauer verlängern? Ja Ja nein


Tab. 24: Optimale Nutzungsdauer, Methode Grenzeinzahlungsüberschüsse

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Neben der Kapitalwertmethode lässt sich die optimale Nutzungsdauer einer Investition auch mit der Methode der berechnen.
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Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Investitionsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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