Kursangebot | Investitionsrechnung | Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger identischer Wiederholung

Investitionsrechnung

Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger identischer Wiederholung

Ein letzter uns interessierender Fall ist die unendlich häufige identische Wiederholung von Investitionen. Gefragt ist also danach, eine Investition $\ n^*_2 $ Jahre zu nutzen, diese dann zu beenden, die Folgeinvestition dann wieder $\ n^*_2 = n^*_1 $ Jahre zu nutzen und dann wieder $\ n_3^* = n_2^* = n_1^* $ Jahre zu benutzen. Die Nutzungsdauern der einzelnen Glieder der unendlich langen Investitionskette sind also jeweils gleich. Da das Vorgehen aus dem letzten Kapitel, nämlich die Optimierung von hinten nach vorne, nach einem Ende verlangt, ist diese Vorgehensweise im Fall einer unendlich häufigen Wiederholung nicht möglich. Man berechnet vielmehr die jeweilige Annuität der Investitionskette in Abhängigkeit der einzelnen Nutzungsdauern.

Dazu auch wieder ein Schema zur Berechnung der optimalen Nutzungsdauer:

Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung:
  • Stelle die Zahlungsreihen der Investition auf, beachte hierbei die Liquidationserlöse
  • Berechne die Kapitalwerte in Abhängigkeit der einzelnen Nutzungsdauern
  • Rechne die Kapitalwerte um in die Annuität A mit Hilfe der Formel $$\ A = C_0 \cdot q_n \cdot {q-1 \over q^n - 1}=C_0 \cdot WGF (n;\ i)\ \ \text{ bzw.} \ \ A = {C_0 \over RWBF (n,\ i)} $$ multipliziere also den Kapitalwert mit dem Wiedergewinnungsfaktor bzw. dividiere ihn durch den Rentenbarwertfaktor.
  • Wähle die maximale Annuität aus.

Beispiel zur optimalen Nutzungsdauer bei unendlich häufiger identischer Wiederholung

Dies sei am Beispiel vorgeführt. Die Kapitalwerte $\ C_0 $ hatten wir bereits ausgerechnet, als wir die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung bestimmt hatten:

Nutzungsdauer n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
Kapitalwert 0 909,09 1.239,67 939,14 -221,98


Tab. 27: Kapitalwerte bei geg. Nutzungsdauern und einfacher Durchführung

Berechnung der Wiedergewinnungsfaktoren

Die Wiedergewinnungsfaktoren errechnet man einzeln für jedes unterschiedliche n oder schaut sie in der hinten stehenden Tabelle nach:

$\ n = 1 \ldots \text{WGF} (1; 10\ \%)= q_1 \cdot {q-1 \over q^1 - 1} = q_1 = 1,1 $
$\ n = 2 \ldots WGF (2; 10\ \%)= q_2 \cdot {q-1 \over q^2 - 1} = 0,5762 $ usw.

Berechnung der Annuitäten

Die Annuitäten A werden durch Multiplikation der einzelnen Wiedergewinnungsfaktoren mit dem Kapitalwert berechnet.

Nutzungsdauer 0 1 2 3 4
Kapitalwert 0 909,09 1.239,67 939,14 -221,98
Wiedergewinnungsfaktor / 1,1 0,5762 0,4021 0,3155
Annuität / 1.000 714,3 377,63 70,03


Tab. 28: Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Durchführung

Es ist also optimal, die Investition genau ein Jahr lang durchzuführen, sie dann identisch zu wiederholen, und zwar wiederum ein Jahr usw., und dies unendlich oft.

Beispiel

Beispiel 26:
Die Ralph OHG beschließt, eine Maschine anzuschaffen, die $7.500 €$ kostet und eine technische Nutzungsdauer von vier Jahren hat. Die jährlich zu erwartenden Einzahlungen hieraus liegen bei jeweils $8.000 €$, die Auszahlungen steigen jährlich um 20 % und liegen im ersten Jahr nach der Anschaffung bei $4.000 €$. Die Liquidationserlöse liegen bei $5.000 €$ im ersten, $3000 €$ im zweiten und $1.500 €$ im dritten Jahr. Der Kalkulationszins sei $10 %$.

a) Berechne den Kapitalwert bei maximaler Nutzungsdauer.
b) Berechne die optimale Nutzungsdauer.
c) Wie ändert sich diese Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung?
d) Wie lautet der Kapitalwert der Investitionskette?

Berechnung des Kapitalwerts bei maximaler Nutzungsdauer

a) Man rechnet den Kapitalwert für eine Nutzungsdauer von $n = 4$ aus:

ND 0 1 2 3 4
Einz.   8.000 8.000 8.000 8.000
Ausz. 7.500 4.000 4.800 5.760 6.912
EZÜ -7.500 4.000 3.200 2.240 1.088


Der Kapitalwert ist dann $\ C_0 = -7.500 + \ldots + 1.088 \cdot 1,1^{-4} = 1.207,06\ € $

Optimalen Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung

b) Das Gitter lautet

Jahr 0 1 2 3 4 Kapitalwert
n = 0 0         0
n = 1 -7.500 9.000       681,82
n = 2 -7.500 4.000 6.200     1.260,33
n = 3 -7.500 4.000 3.200 3.740   1.590,91
n = 4 -7.500 4.000 3.200 2.240 1088 1.207,06


Tab. 29: Zahlungsreihen und Kapitalwerte der Investitionsketten 

Die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung ist demnach $\ n^* = 3 $.

Optimalen Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung

c) Bei der nun auszurechnenden optimalen Nutzungsdauer im Fall der unendlich fachen Wiederholung multiplizieren wir nicht mit dem Wiedergewinnungsfaktor WGF(n; 10 %), sondern dividieren zur Übung mit dem Rentenbarwertfaktor RBWF(n; 10 %) – was klarerweise das identische Ergebnis für die Annuität A liefert.

Nutzungsdauer 0 1 2 3 4
Kapitalwert 0 681,82 1.260,33 1.590,9 1.207,06
Rentenbarwertfaktor 0 0,91 1,73554 2,4869 3,16987
Annuität - 750 726,19 639,73 380,79


Tab. 30: Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Durchführung

Die optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung ist damit $\ n^* = 1 $. Die optimale Nutzungsdauer verringert sich also, wenn wir dieselbe Investition unendlich oft hintereinander ausführen.

Kapitalwert der Investitionskette

d) Der Kapitalwert der Investitionskette, die aus unendlich vielen, jeweils zweijährigen Investitionen besteht, ist: $\ C_0 = {750 \over 0,1} = 7.500 $ mit der Formel der ewigen, nachschüssigen Rente.