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Investitionsrechnung - Optimale Nutzungsdauer - Kapitalwertmethode

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Investitionsrechnung

Optimale Nutzungsdauer - Kapitalwertmethode

Die optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung einer Investition lässt sich ebenfalls nach der Kapitalwertmethode berechnen.

Vorgehen bei der Kapitalwertmethode

Hierbei ist das Vorgehen zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer unbedingt zu beachten:

Nutzungsdauer der Folgeinvestition optimiert, d.h. man bestimmt zunächst $\ n^*_2 $. Dies geschieht mit der Methode der einmaligen Durchführung einer Investition, die wir oben angesprochen hatten.

Erst danach wird die Nutzungsdauer der Erstinvestition optimiert, d. h. man berechnet $\ n^*_1 $. Dies geschieht dadurch, dass der (optimierte) Kapitalwert der Folgeinvestition an die Zahlungsreihe der Erstinvestition drangehangen wird und man dann den Kapitalwert dieser sich ergebenden Investitionskette maximiert. Halten wir dies fest in folgendem Schema fest.

Berechnung der optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung

Methode

Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung
  1. Optimiere die Nutzungsdauern der Folgeinvestition, d.h. berechne $\ n^*_2 $. Behalte den maximalen Kapitalwert $\ C^{n=n_2}_0 $ für die weiteren Berechnungen bei.
  2. Konstruiere die Zahlungsreihen für die Erstinvestitionen. Beachte hierbei die Liquidationserlöse.
  3. Stelle ein Gitter auf, in dem in den Spalten die einzelnen Zeitpunkte stehen und in den Zeilen die möglichen unterschiedlichen Nutzungsdauern der Erstinvestition. Addiere – lediglich in den Kästchen der Hauptdiagonalen des Gitters – den Kapitalwert der optimierten Zahlungsreihe der Folgeinvestition. Man erhält die Zahlungsreihen der Erstinvestition unter der Fiktion, dass der Kapitalwert der Folgeinvestition am Ende der Erstinvestition zusätzlich gezahlt wird, was dem Charakter der Investitionskette entspricht.
  4. Berechne – zeilenweise – die Kapitalwerte der Investitionskette
  5. Wähle aus diesen Kapitalwerten für die unterschiedlichen Nutzungsdauern der Erstinvestition jenen aus, der maximal ist. Man erhält
    • den maximalen Kapitalwert für die gesamte Investitionskette
    • die optimale Nutzungsdauer $\ n^*_1 $ für die Erstinvestition.

Beispiel

Wir sprechen dies am oben erwähnten Beispiel durch.

Die optimale Nutzungsdauer der Folgeinvestition ist $\ n^*_2 = 2 $, der zugehörige Kapitalwert der Folgeinvestition lautet $\ C_0^{n_2^*} = 2 = 1.239,67\ € $.

Das Gitter sieht wie folgt aus

Jahr/ Nutzungsdauer 0 1 2 3 4
n = 0 1.239,67        
n = 1 -8.000 11.039,67      
n = 2 -8.000 3.800 8.239,67    
n = 3 -8.000 3800 3.000 5.239,67  
n = 4 -8.000 3.800 3.000 2.000 1.739,67

Tab. 25: Zahlungsreihen Investitionsketten, abh. von Nutzungsdauern

Es seien z.B. die Zahlen der Zeile $n = 3$ erklärt. Wenn man die Erstinvestition drei Jahre lang durchführt, dann zahlt man $8.000 €$ in der 0. Periode aus, es fließen – ganz normal – $3.800 €$ in $t = 1$ und $3.000 $€ in $t = 2$ rein. In der dritten Periode wird liquidiert, d.h. aus der Erstinvestition fließen $2.000 €$ Liquidationserlös rein, d.h. insgesamt $4.000 €$ aus der Erstinvestition. Zusätzlich dazu wird aber dann die Folgeinvestition weitere zwei Jahre durchgeführt, was zu Beginn dieser Folgeinvestition einem Kapitalwert von $1.239,67 €$ entspricht. Da dieser gedanklich in $t = 3$, also dem hier unterstellten Ende der Erstinvestition, ansteht, fließen insgesamt in $t = 3$ damit $\ 4.000 + 1.239,67 = 5.239,67\ € $ rein, diese Zahl steht dann in der Ecke des Gitters.

Kapitalwerte der Erstinvestition

Daraus berechnet man die Kapitalwerte in Abhängigkeit der einzelnen Nutzungsdauern der Erstinvestitionen. Man kann diese direkt als letzte Spalte des o.e. Gitters schreiben:

Jahr/ Nutzungsdauer 0 1 2 3 4 Kapitalwert
n = 0 1.239,67         1.239,67
n = 1 -8.000 11.039,67       2.036,07
n = 2 -8.000 3.800 8.239,67     2.264,19
n = 3 -8.000 3.800 3.000 5.239,67   1.870,53
n = 4 -8.000 3.800 3.000 2.000 1.739,67 624,73

Tab. 26: Zahlungsreihen der Investitionsketten, abh. von Nutzungsdauern

Kapitalwert der Investitionskette

Der Kapitalwert der Investitionskette ist maximal, wenn die Erstinvestition zwei Jahre lang genutzt wird. Es ist daher optimal, die Erstinvestition nach $\ n^*_1 = 2 $ Jahren abzubrechen und die Folgeinvestition dann weitere $\ n^*_2 = 2 $ Jahre zu nutzen und auch diese dann zu beenden. Die gesamte Investitionskette dauert also $\ n^*_k = n^*_1 + n^*_2 = 2 + 2 = 4 $ Jahre.

Merke

Es ist kein Zufall, dass die Erstinvestition genau so schnell beendet wird wie die Folgeinvestition. Allgemein gilt die Regel, dass in einer Investitionskette aus vielen identischen Investitionen das i. Glied dieser Kette eine kürzere oder eine gleiche Nutzungsdauer hat im Vergleich mit der direkt folgenden und diese wiederum eine kürzere oder gleich lange im Vergleich mit der hierauf direkt folgenden usw., in Zeichen: $$\ \ldots \geq n^*_1 \geq n^*_{1+1}\geq n^*_{1+2} \geq n^*_{1+3} \geq \ldots $$