Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Berechnung und Beispiel

a) Es gibt zwei Möglichkeiten, das Betriebsminimum zu bestimmen: 

- über das Minimum der variablen Durchschnittskosten und
- über den Schnittpunkt aus Grenzkosten und variablen Durchschnittskosten.

Berechnung des Betriebsminimums

Die variablen Stückkosten liegen bei $$\ \begin{align} VDK & = \frac {Kv(x)}{x} \\ & = \frac {(10x - 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3)}{x} \\ & = 10 – 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2 \end{align} $$ Hiervon muss das Minimum bestimmt werden. Wir leiten hierzu die Funktion ab: $$\ \begin{align} VDK(x) & = 10 – 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2\end{align} $$ $$\ \begin{align} VDK´(x) = -0,8 + 0,06 \cdot x \end{align} $$ Nun setzen wir die Ableitung gleich null und lösen nach x auf: $\ -0,8 + 0,06 \cdot x = 0 $ und also $\ x_{BM} = 13,33 $.

Versuchen wir, dies auf dem anderen Weg zu lösen, nämlich über die Beziehung $\ GK(x_{BM}) = VDK(x_{BM}) $, d.h. das Betriebsminimum liegt dort, wo sich Grenzkosten und variable Durchschnittskosten schneiden. $$\ \begin{align} & GK = VDK \\ & \Leftrightarrow 10 – 1,6 \cdot x + 0,09\cdot x^2 = 10 – 0,8 \cdot x + 0,03\cdot x^2 \ (\text{Hinweis:}-0,03x^2+0,8 \cdot x-10) \\ & \Leftrightarrow 0,06 \cdot x^2 – 0,8 \cdot x = 0 \ (\text{Hinweis: x ausklammern})\\ & \Leftrightarrow x \cdot (0,06x - 0,8) = 0 \end{align} $$

$$\ \begin{align} & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ 0,06 \cdot x - 0,8 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0\ \text{oder} \ 0,06\cdot x = 0.08 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ x = 13,33 \end{align} $$ Also erhält man jeweils ein Betriebsminimum von $\ x_{BM} = 13.33 $ ME.

Berechnung des Betriebsoptimums

b) Für das Betriebsoptimum leiten wir die totalen Durchschnittskosten ab, setzen gleich null und versuchen (!), nach x aufzulösen. $$\ \begin{align} DK´(x) & = (\frac {20}{x} + 10 – 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2)´ \\ & \Rightarrow - \frac {20}{x^2} - 0,8 + 0,06 \cdot x = 0 \\ & \Leftrightarrow -20 – 0,8 \cdot x^2 + 0,06 \cdot x^3 = 0 \end{align} $$ Ein Polynom dritten Grades mit x-freiem Term ist zu aufwändig, so dass wir ein approximatives Verfahren bräuchten, das wir aber in dieser einführenden Analyse nicht besprochen haben. Man könnte z.B. mit dem Newton-Verfahren fortsetzen.