Betriebsoptimum und Betriebsminimum - Berechnung und Beispiel

a) Es gibt zwei Möglichkeiten, das Betriebsminimum zu bestimmen: 

• über das Minimum der variablen Durchschnittskosten und
• über den Schnittpunkt aus Grenzkosten und variablen Durchschnittskosten.

Berechnung des Betriebsminimums

1. Möglichkeit:

Die variablen Stückkosten liegen bei $$\ \begin{align} VDK & = \frac {K_v(x)}{x} \\ & = \frac {(10x - 0,8 \cdot x^2 + 0,03 \cdot x^3)}{x} \\ & = 10 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2 \end{align} $$ Hiervon muss das Minimum bestimmt werden und wir leiten die Funktion ab: $$\ \begin{align} VDK(x) & = 10 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2\end{align} $$ $$\ \begin{align} VDK´(x) = -0,8 + 0,06 \cdot x \end{align} $$ Nun setzen wir die Ableitung gleich null und lösen nach x auf: $\ -0,8 + 0,06 \cdot x = 0 $. Daraus folgt schließlich: $\ x_{BM} = 13,33 $.

2. Möglichkeit:

Bei der Beziehung $\ GK(x_{BM}) = VDK(x_{BM}) $ liegt das Betriebsminimum dort, wo sich Grenzkosten und variable Durchschnittskosten schneiden. $$\ \begin{align} & GK = VDK \\ & \Leftrightarrow 10 - 1,6 \cdot x + 0,09\cdot x^2 = 10 - 0,8 \cdot x + 0,03\cdot x^2 \
(\text{Hinweis:}-0,03x^2+0,8 \cdot x - 10) \\ & \Leftrightarrow 0,06 \cdot x^2 – 0,8 \cdot x = 0 \ (\text{Hinweis: x ausklammern})\\ & \Leftrightarrow x \cdot (0,06x - 0,8) = 0 \end{align} $$

$$\ \begin{align} & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ 0,06 \cdot x - 0,8 = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0\ \text{oder} \ 0,06\cdot x = 0,8 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \ \text{oder} \ x = 13,33 \end{align} $$ Also erhält man jeweils ein Betriebsminimum von $\ x_{BM} = 13,33 $ ME.

Berechnung des Betriebsoptimums

b) Für das Betriebsoptimum leiten wir die totalen Durchschnittskosten ab, setzen gleich null und versuchen (!), nach x aufzulösen. $$\ \begin{align} DK´(x) & = (\frac {20}{x} + 10 - 0,8 \cdot x + 0,03 \cdot x^2)´ \\ & \Rightarrow - \frac {20}{x^2} - 0,8 + 0,06 \cdot x = 0 \\ & \Leftrightarrow -20 - 0,8 \cdot x^2 + 0,06 \cdot x^3 = 0 \end{align} $$ Ein Polynom dritten Grades mit x-freiem Term ist zu aufwändig, so dass wir ein approximatives Verfahren bräuchten. Das haben wir aber in dieser einführenden Analyse nicht besprochen und deshalb wird es an dieser Stelle nicht angewandt. Man könnte z.B. mit dem Newton-Verfahren fortsetzen.