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Kosten- und Leistungsrechnung - Grenzkosten

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Kosten- und Leistungsrechnung

Grenzkosten

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Die Grenzkostenkurve $$\ K'(x) = {dK \over dx}$$ gibt an, wie viel die zuletzt produzierte (infinitesimale = unendliche kleine) Mengeneinheit kostet.

Video: Grenzkosten

Merke

Hier klicken zum AusklappenAnders ausgedrückt wird durch die Grenzkosten angegeben, in welchem Ausmaß sich die Kosten erhöhen, wenn eine Mengeneinheit zusätzlich produziert wird, bzw. in welchem Ausmaß sich die Kosten reduzieren, wenn eine Mengeneinheit weniger hergestellt wird. Graphisch gesprochen bilden die Grenzkosten das Steigungsmaß der Gesamtkostenkurve. Auch die Grenzkostenkurve lässt sich graphisch herleiten.

Herleitung der Grenzkosten

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen1. Trage die Gesamtkostenkurve in ein Koordinatensystem ab.
2. Markiere einen Punkt A innerhalb der Gesamtkostenkurve.
3. Zeichne die Tangente an die Gesamtkostenkurve in dem Punkt A. Verschiebe diese Tangente so lange parallel, bis sie auf der x-Achse durch die Stelle -1 geht.
4. Der Schnittpunkt der Parallelverschiebung der Tangente mit der Ordinate bildet den Ordinatenwert der Grenzkostenkurve an der Stelle $\ (x_A, GK(x_A)) = Punkt \ C $
5. Wiederhole dieses Verfahren für den Punkt B der Gesamtkostenkurve usw.
Herleitung der Grenzkostenkurve
Abb. 10: Herleitung der Grenzkostenkurve

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 18:
Im vorher erwähnten Beispiel der Gesamtkostenkurve $\ K(x) = 3x^2 + 5x+7 $ lautet die Grenzkostenkurve $$\ K'(x) = 6x + 5 $$

An diesem Beispiel sei die Bedeutung der Grenzkostenkurve erläutert. Wenn die Unternehmung zwei Mengeneinheiten produziert, so führt dies zu Gesamtkosten in Höhe von $$\ K(2) = 3\cdot 2^2 + 5\cdot 2 + 7 = 29\ € $$ Wenn die Ausbringungsmenge (= Beschäftigung = Output) um eine Mengeneinheit erhöht wird, also von 2 ME auf 3 ME, so steigen die Kosten dadurch auf $\ K(3) = 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3 + 7 = 49\ € $ .

Die Kosten steigen also, verursacht durch die Erhöhung der Produktion um eine Mengeneinheit, um 20 € an (von 29 € auf 49 €). Dieser Anstieg wird durch die Grenzkostenfunktion approximativ ausgedrückt. Die Grenzkosten der Stelle 2 lauten nämlich $$\ K'(2) = 6\cdot 2 + 5 = 17\ €$$ Grenzkosten an der Stelle 2 in Höhe von 17 € bedeuten also, dass die Erhöhung der Produktion um eine Einheit die Kosten um 17 € steigen lässt. Im vorliegenden Beispiel waren die Kosten allerdings um 20 € gestiegen.

Dies zeigt, dass die Bedeutung der Grenzkosten hier nur ungefähr (= approximativ) richtig ist, jedoch nicht exakt richtig. Dies liegt daran, dass die Erhöhung der Mengeneinheit nicht um eine ganze Mengeneinheit stattfinden darf, sondern genauer gesagt nur um eine unendlich kleine (= infinitesimal kleine) Mengeneinheit.
Verdeutlichen wir dies, indem die Produktionsmenge nicht von zwei auf drei ME, sondern von 2 auf 2,1 ME erhöht wird. Die Kosten für 2,1 ME sind $\ K(2,1) = 3\cdot 2,1^2 + 5\cdot 2,1 + 7 = 30,73\ € $.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenDie Grenzkosten am Punkt 2 (GK (2)) hatten wir oben mit 17 € berechnet. Berechnet man die Grenzkosten für einen Anstieg von 0,1 ME sind die Grenzkosten wesentlich näher an der Wahrheit, denn ein Anstieg um $\ \Delta x = 0,1\ ME $ führt, ausgehend von $\ x = 2 $, zu einem Anstieg der Kosten um circa: $$ GK(2)\cdot 0,1 = 17 \cdot 0,1 = 1,70\ € $$ Dies wiederum ist sogar fast exakt richtig, denn die Kosten steigen von $\ K(2) = 29\ €$ auf $ K(2,1) = 30,73\ € $, also um 1,73 €.

Merke

Hier klicken zum AusklappenUnsere Beispielberechnung hat gezeigt: Je kleiner die Erhöhung der Mengeneinheit, desto genauer ist die Berechnung der Grenzkosten möglich. Man spricht hier von infinitesimal kleinen Mengeneinheiten.