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Kosten- und Erlösrechnung - Grenzkosten

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Kosten- und Erlösrechnung

Grenzkosten

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Die GrenzKostenkurve $$\ K(x) = {dK \over dx}$$ gibt an, wie viel die zuletzt produzierte (infinitesimale = unendliche kleine) Mengeneinheit kostet.

Video: Grenzkosten

Merke

Anders ausgedrückt wird durch die Grenzkosten angegeben, in welchem Ausmaß sich die Kosten erhöhen, wenn eine Mengeneinheit zusätzlich produziert wird, bzw. in welchem Ausmaß sich die Kosten reduzieren, wenn eine Mengeneinheit weniger hergestellt wird. Graphisch gesprochen bilden die Grenzkosten das Steigungsmaß der Gesamtkostenkurve. Auch die Grenzkostenkurve lässt sich graphisch herleiten.

Herleitung der Grenzkosten

1. Trage die Gesamtkostenkurve in ein Koordinatensystem ab.
2. Markiere einen Punkt A innerhalb der Gesamtkostenkurve.
3. Zeichne die Tangente an die Gesamtkostenkurve in dem Punkt A. Verschiebe diese Tangente so lange parallel, bis sie auf der x-Achse durch die Stelle -1 geht.
4. Der Schnittpunkt der Parallelverschiebung der Tangente mit der Ordinate bildet den Ordinatenwert der Grenzkostenkurve an der Stelle $\ (x_A, GK(x_A)) = Punkt C $
5. Wiederhole dieses Verfahren für den Punkt B der Gesamtkostenkurve usw.
Herleitung der Grenzkostenkurve
Abb. 10: Herleitung der Grenzkostenkurve

Beispiel

Beispiel 18:
Im vorher erwähnten Beispiel der Gesamtkostenkurve $\ K(x) = 3x^2 + 5x+7 $ lautet die Grenzkostenkurve $$\ K'(x) = 6x + 5 $$

An diesem Beispiel sei die Bedeutung der Grenzkostenkurve erläutert. Wenn die Unternehmung zwei Mengeneinheiten produziert, so führt dies zu Gesamtkosten in Höhe von $$\ K(2) = 3\cdot 2^2 + 5\cdot 2 + 7 = 29\ € $$ Wenn die Ausbringungsmenge (= Beschäftigung = Output) um eine Mengeneinheit erhöht wird, also von 2 ME auf 3 ME, so steigen die Kosten dadurch auf $\ K(3) = 3\cdot 3^2 + 5\cdot 3 + 7 = 49\ € $ .

Die Kosten steigen also, verursacht durch die Erhöhung der Produktion um eine Mengeneinheit, um 20 € an, nämlich von 29 € auf 49 €. Dieser Anstieg um 20 € wird durch die Grenzkostenfunktion approximativ ausgedrückt. Die Grenzkosten der Stelle 2 lauten nämlich $$\ K'(2) = 6\cdot 2 + 5 = 17\ €$$ Grenzkosten an der Stelle 2 in Höhe von 17 bedeuten also, dass die Erhöhung der Produktion um eine Einheit die Kosten um 17 € steigen lässt. Im vorliegenden Beispiel waren allerdings die Kosten um 20 € gestiegen.

Dies zeigt, dass die Bedeutung der Grenzkosten hier nur ungefähr (= approximativ) richtig ist, jedoch nicht exakt richtig. Dies liegt daran, dass die Erhöhung der Mengeneinheit nicht um eine ganze Mengeneinheit stattfinden darf, sondern genauer gesagt nur um eine unendlich kleine (= infinitesimal kleine) Mengeneinheit.
Verdeutlichen wir dies, indem die Produktionsmenge nicht von zwei auf drei ME, sondern von 2 auf 2,1 ME erhöht wird. Die Kosten für 2,1 ME sind $\ K(2,1) = 3\cdot 2,1^2 + 5\cdot 2,1 + 7 = 30,73\ € $.

Die Grenzkosten am Punkt 2 (GK (2)) hatten wir oben mit 17 € berechnet. Berechnet man die Grenzkosten für einen Anstieg von 0,1 ME sind die Grenzkosten wesentlich näher an der Wahrheit, denn ein Anstieg um $\ \Delta x = 0,1\ ME $ führt, ausgehend von $\ x = 2 $, zu einem Anstieg der Kosten um ca.: $$ GK(2)\cdot 0,1 = 17 \cdot 0,1 = 1,70\ € $$ Dies wiederum ist fast sogar exakt richtig, denn die Kosten steigen von $\ K(2) = 29\ €$ auf $ K(2,1) = 30,73\ € $, also um 1,73 €, d.h. ungefähr um 1,70 €.

Merke

Unsere Beispielberechnung hat gezeigt: Je kleiner die Erhöhung der Mengeneinheit, desto genauer ist die Berechnung der Grenzkosten möglich. Man spricht hier von infinitesimal kleinen Mengeneinheiten.