Indexrechnung

Deskriptive Statistik

Das Kapitel Indexrechnung in unserem Online-Kurs Deskriptive Statistik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Verhältniszahlen

   Indexrechnung > Grundbegriffe > Verhältniszahlen

   

   ... wir uns beschäftigen werden, ist das der Indexrechnung.Durch den Begriff der Verhältniszahlen lassen sich die Indexzahlen (im Besonderen Preisindices und Mengenindices). Daher besprechen wir zunächst den Begriff der Verhältniszahlen, bevor wir dann die Indexzahlen  erläutern.Wie der Name der Verhältniszahlen schon nahelegt, drücken diese ein Verhältnis aus, was mathematisch immer durch einen Bruch formuliert wird, welcher das Verhältnis ...

2. Definition Preisindizes

   Indexrechnung > Preisindizes > Definition Preisindizes

   

   Als Einführung zu den Preisindizes (auch: Preisindices) wird folgendes Beispiel betrachtet:Beispiel 70 - Preisindex:Für ein gutes Frühstück braucht man nicht mehr als Brot, Schokocreme und einen guten Kaffee. Durchschnittlich hat Manuel pro Monat folgendes konsumiert: BrotKaffeeSchokocremeJahrMengePreis pro Stk.MengePreisMengePreis201883 €0,75 kg10€ / kg1,0 kg5€ / kg2019104 €0,80 kg12€ / kg1,3 kg5,5€ / kgManuel – statistisch sehr interessiert ...

3. Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

   Indexrechnung > Preisindizes > Preisindizes nach Laspeyres und Paasche

   

   In folgenden Kapiteln lernen wir die relevantesten Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche kennen.FormelnDer Preisindex $PI _{0,t}^L $ nach Laspeyres lautet:Aggregatformel (Laspeyres):$$PI _{0,t}^L = {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0} $$Wie also im vorherigen Abschnitt gesehen, wird die Veränderung des Preisniveaus bestimmt, indem in der Berichtsperiode t dieselben Mengen $\ q_i^0 $ genutzt würden wie in der Basisperiode 0. Man betrachtet also nur die Preisentwicklung, da die ...

4. Definition Mengenindizes

   Indexrechnung > Mengenindizes > Definition Mengenindizes

   

   Außer den Preisindices kann man auch Mengenindices berechnen. Dabei bleiben die Preise dann konstant, also $p_i^t = p_i^0 $ und sich nur die Mengen anschaut.Der Mengenindex $MI_{0,t} $ kann daher so definiert werden:Mengenindex:$\ MI _{0,t} = {\sum p_i q_i ^t \over \sum p_i q_i^0} $

5. Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche

   Indexrechnung > Mengenindizes > Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche

   

   Ebenso wird auch bei den Mengenindizes differenziert zwischen dem Mengenindexnach Laspeyres $MI _{0,t}^L = {\sum p_i^0 q_i ^t \over \sum p_i^0 q_i^0} $ und dem nach Paasche $MI _{0,t}^P = {\sum p_i^t q_i ^t \over \sum p_i^t q_i^0} $.Auch hier bezieht Laspeyres die Preise der Basisperiode 0 ein und Paasche rechnet mit den Preisen der Berichtsperiode t. Gleich verhält es sich dann auch bei der Interpretation als arithmetisches Mittel, diesmal von Mengenmesszahlen $ {q_i^t \over q_i^0} $:Mengenindex ...

6. Der Wertindex

   Indexrechnung > Wertindizes > Der Wertindex

   

   Unter dem Wertindex WI versteht man den Quotienten aus dem Umsatz der Berichtsperiode und dem Umsatz der Basisperiode:Wertindex:$$WI = { \sum p_i^t q_i^t \over \sum p_i^0 q_i^0} $$ Zwischen Mengen- und Preisindices besteht dieser Zusammenhang:$$PI^L_{0,t} \cdot MI^P_{0,t} = PI^P_{0,t} \cdot MI^L_{0,t}= WI $$Für unser Beispiel 70 lautet der Wertindex:$$WI = { \sum p_i^t q_i^t \over \sum p_i^0 q_i^0} = {56,75 \over 36,50 } = 1,5548$$Der Zusammenhang anhand unseres Beispiels:$PI_{0,t}^L \cdot ...

7. Übersicht weitere Indizes

   Indexrechnung > Weitere Indizes > Übersicht weitere Indizes

   

   Außer den Indices nach Laspeyres und Paasche gibt es noch einige andere Indizes, die wir in dem folgenden Kapitel kurz kennenlernen wollen:LoweFisherMarshall-Edgeworth

8. Index nach Lowe

   Indexrechnung > Weitere Indizes > Index nach Lowe

   

   Als erstes beschäftigen wir uns mit dem Index nach Lowe.Preisindex nach Lowe:$$ PI_{0,t}^{Lowe}= {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i} $$$q_i $ stellt jedoch nichtmehr die Mengen selbst dar, sondern sind definiert als:$$q_i={1 \over t+1} \sum_{k=1}^{t+1} q_i^k $$Dabei stellt $q_i $ das arithmetische Mittel der Mengen der einzelnen Perioden dar. Da wir die Berichtsperiode t betrachten und von der 0. Periode, der Basisperiode ausgehend zählen, steht im Nenner t+1. Auf gleiche Weise lässt ...

9. Fisherscher Idealindex

   Indexrechnung > Weitere Indizes > Fisherscher Idealindex

   

   Die Indizes nach Fisher sind lediglich die geometrische Mittel derer nach Laspeyres und Paasche.Preisindex nach Fisher$$ PI_{0,t}^{Fisher}= \sqrt{PI_{0,t}^L \cdot PI_{0,t}^P}$$Mengenindex nach Fisher$$ MI_{0,t}^{Fisher}= \sqrt{MI_{0,t}^L \cdot MI_{0,t}^P} $$Mit den aus dem Beispiel 70 berechneten Werten ergibt sich für die Indizes nach Fisher:Preisindex nach Fisher$\ PI_{0,t}^{Fisher}= \sqrt{1,2740\cdot 1,27653}=1,2746$Mengenindex nach Fisher$\ MI_{0,t}^{Fisher}= \sqrt {1,2192 \cdot 1,2204}=1,2198 ...

10. Marshall-Edgeworth-Preisindex

    Indexrechnung > Weitere Indizes > Marshall-Edgeworth-Preisindex

    

    Als letzten Index wollen wir den Preisindex nach Marshall-Edgeworth besprechen. Hier wird die Verbrauchsmenge der Basisperiode mit der Berichtsperiode gemittelt:Preisindex nach Marshall-Edgeworth:$$\ PI _{0,t}^{ME} = { \sum p_i^t (q^0_i + q^t_i) \over \sum p_i^0 (q^0_i + q^t_i)} $$Umgesetzt für das Beispiel bedeutet das:$\ PI _{0,t}^{ME} = {4 \cdot (8+10)+ 12 \cdot (0,75+0,8)+ 5,5 \cdot (1+1,3) \over 3 \cdot (8+10) + 10 \cdot (0,75 +0,8) + 5 \cdot (1+1,3)} =1,2747$

11. Die Rundprobe

    Indexrechnung > Umbasierung und Verkettung von Indizes > Die Rundprobe

    

    ... noch ein die Verkettung und Umbasierung in der Indexrechnung thematisieren. Beziehen sich Preis- oder Mengenindices auf unterschiedliche Basisperioden, dann wird deren Interpretation  problematisch.So sagen die Indizes$\begin{align} PI_{17,18} & = 1,05\\ PI_{17,19} & = 1,15 \\ PI_{17,20} & = 1,2 \end {align} $bspw. aus, dass im ersten Jahr die Preise um 5% gestiegen sind, im zweiten um 15% und im Jahr 2021 bereits um 20%, alle jeweils im Vergleich zum Basisjahr 2017.Stellt sich ...

12. Umbasierung

    Indexrechnung > Umbasierung und Verkettung von Indizes > Umbasierung

    

    Unter Umbasierung einer Zeitreihe von Indexwerten versteht man, dass man die Basisperiode ändert. Dies geschieht durch die Umrechnung, und zwar von der 0. auf die k. Periode.Umbasierung von Zeitreihenwerten$\ PI_{k,t}^*={PI_{0,t} \over PI_{0,k}} $Dieser durch Umbasierung errechnete Wert stimmt allerdings nur dann generell mit dem tatsächlichen Wert $\ PI_{0,t} $ überein, wenn die o.g. Rundprobe erfüllt ist.Umbasierung am BeispielFür das Beispiel 70 möchte Manuel z.B. ...

13. Verkettung

    Indexrechnung > Umbasierung und Verkettung von Indizes > Verkettung

    

    Bei der Verkettung von Indizes werden die aufeinanderfolgenden Indexwerte $\ PI_{0,1},\ PI_{2,3},\ ... ,\ P_{t-1,t} $ miteinander multipliziert. Das daraus resultierende Ergebnis wird als Index mit der Basis-Periode 0 und der Berichtsperiode t angesehen.Verkettung$\ PI_{0,t}^*= PI_{0,1} \cdot PI_{1,2} \cdot PI_{2,3} \cdot ... \cdot PI_{t – 1, t} $Ist der auf diese Weise errechnete Indexwert $\ PI_{0,t}^* $ gleich dem wahren Index $\ PI_{0,t} $ ist diese Verkettung direkt die Rundprobe.