Konzentrationsmessung

Deskriptive Statistik

Das Kapitel Konzentrationsmessung in unserem Online-Kurs Deskriptive Statistik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Konzentrationsmaße

   Konzentrationsmessung > Einleitung > Konzentrationsmaße

   

   Im folgenden Kapitel wollen wir uns mit der Konzentrationsmessung beschäftigen, dabei unterscheiden wir zum einen die relative Konzentration und die absolute Konzentration.Beispiel 46:Wir haben aus unserer Fußballmannschaft des Median-City FC von zehn Profis deren Verträge zugespielt bekommen. Davon haben sechs Spieler einen Standardvertrag der ihnen ein Wochengehalt von 20.000€ garantiert, der Vize-Kapitän Thomas verdient 40.000€ und Kapitän Manuel erhält ...

2. Übersicht relative Konzentration

   Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Übersicht relative Konzentration

   

   Bevor wir zu Analyse der relativen Konzentration kommen, hier nochmals ein Überblick über die Methoden, die wir lernen werden:Lorenz-KurveGini-KoeffizientLänge der Lorenzkurvenormierter Gini-KoeffizientHerfindahl-IndexKonzentrationsmaß CRg

3. Lorenzkurve

   Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Lorenzkurve

   

   ... wird von links nach rechts immer steiler.Konzentrationsmessung anhand der LorenzkurveWie oben schon erwähnt, machen 80% des Teams lediglich 30% des Gehaltvolumens aus. Ist die Konzentration des Umsatzes nun groß oder klein?Läge keine Konzentration vor, wenn also jeder Spieler denselben Anteil am gesamten Gehaltsvolumen hätte (also 10% davon), so wäre die Lorenzkurve gleich der Hauptdiagonalen.Folglich ist die Konzentration umso größer, je weiter die Lorenzkurve ...

4. Gini-Koeffizient

   Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Gini-Koeffizient

   

   Man kann die Konzentration auf der Lorenz-Kurve nicht nur grafisch darstellen, sondern sie auch berechnen. Dafür nutzt man den Gini-Koeffizienten. Füllt man den Raum zwischen der Winkelhalbierenden und der Lorenzkurve so entsteht eine sichtbare Fläche K, die bei wachsender Konzentration auch immer größer wird.Berechnung des Gini-KoeffizientenWir bilden den Quotienten aus der Fläche K und der dreieckigen Fläche der Winkelhalbierenden (oder hier auch als Hauptdiagonale ...

5. Länge der Lorenzkurve

   Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Länge der Lorenzkurve

   

   Eine weiter Möglichkeit die Konzentration zu messen bzw. sichtbar zu machen, ist die Länge L der Lorenzkurve. Dafür bildet man lediglich die Summe aus den Längen der Streckenabschnitte, wofür gilt:$$\begin{align} L = \sqrt {F(x_1)^2+ g(x_1)^2} + & \sqrt {[F(x_2)-F(x_1)]^2 + [g(x_2)-g(x_1)]^2}\\ +...+ & \sqrt {[F(x_m) - F(x_{m-1})]^2+[g(x_m)-g(x_{m-1})]^2} \end{align} $$oder kürzer$$\ L = \sum_{j=1}^{m-1} \sqrt {[F(x_{j+1})F(x_j)]^2[g(x_{j+1})-g(x_j)]^2} $$Für ...

6. Concentration-Ratio

   Konzentrationsmessung > Relative Konzentration > Concentration-Ratio

   

   Unter dem Concentration-Ratio $\ CR_g $ versteht man ein Konzentrationsmaß, dass den Anteil der $\ g $ größten Merkmalsträger an der Merkmalssumme angibt.Angewendet auf unser Beispiel:$$\begin{align} CR_1 & = {300.000 \over 720.000} = 0,417\\\\ CR_2 & = {(300.000+200.000) \over 720.000} = 0,694\\\\ CR_3 & = {560.000 \over 720.000} = 0,778 \end{align}$$usw.

7. Übersicht absolute Konzentration

   Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration > Übersicht absolute Konzentration

   

   Man kann ebenfalls mit der absoluten Konzentration arbeiten. Nehmen wir bspw. an, wir würden jetzt den Umsatz verschiedener Sportgeschäfte miteinander vergleichen, ähnlich, wie wir es bisher mit den Spielergehältern getan haben. Würden sich zwei oder drei kleine Geschäfte (mit geringen Umsätzen) zu einem großen Sportgeschäft zusammenschließen, würde dadurch die absolute Konzentration steigen, weil der gleiche Gesamtumsatz auf weniger Geschäfte ...

8. Absolute Konzentrationskurve

   Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration > Absolute Konzentrationskurve

   

   Die absolute Konzentrationskurve zeigt, auf wieviele Merkmalsträger sich ein bestimmter Anteil der Merkmalssumme aufteilt.Dabei könne zwei Szenarien eintreten, bei dem die Konzentration zunimmt:Wenn die Kurve weiter weg von der Winkelhalbierenden verläuft´,→ die relative Konzentration nimmt zu.Wenn weniger statistische Einheiten beteiligt sind,→ nimmt die Länge der Abszisse ab,→ die absolute Konzentration nimmt zu.Die Fläche $\ F_a $ unterhalb der absoluten ...

9. Herfindahl-Index

   Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration > Herfindahl-Index

   

   Ein anderer Koeffizient zur Konzentrationsmessung ist der Herfindahl-Index.$\ p_i = {x_i \over \sum_ (i=1)^n xi} $Wie schon bei der Bestimmung des Gini-Koeffizienten ist auch hier die relative Häufigkeit von Bedeutung. Definiert ist der Herfindahl-Index als die Summe der quadrierten relativen Anteile:$\ H= \sum_{i=1}^n p_i^2 $Der Herfindahl-Index H bewegt sich in den Grenzen $\ {1 \over n} \leq H \leq 1 $Dabei gilt:$\ H = {1 \over n} $ bei der Gleichverteilung$\ H = 1 $ bei absoluter Konzentration ...

10. Exponentialindex

    Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration > Exponentialindex

    

    ... sich bestimmen lassen. Vorgehen bei der Konzentrationsmessung:Ein Merkmal mit den Beobachtungswerten $\ x_1, ..., x_n$ ist gegeben.Sortiere die Werte nach der Größe und erhalte $\ x_1, ..., x_m $Bestimme deren relative Häufigkeiten $\ g(x_k)= { \sum_{i=1}^k x_i \over \sum_{i=1}^n x_i} $In einem Koordinatensystem werden die Werte $\ g(x_k) $ mit den relativen Häufigkeiten auf der Abszisse aufgetragen.Die Lorenzkurve ergibt sich aus den Punkten $\ (F(x_1), g(x_1)), (F(x_2), ...

11. Rosenbluth-Index

    Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration > Rosenbluth-Index

    

    Der Rosenbluth-Index $\ C_R $ gilt als Maß für die absolute Konzentration: Der Rosenbluth-Index berechnet sich als$\ C_R = \frac {1}{2 \cdot \sum_{i=1}^m G_i-1} $Dieser Index ist wiederum:$\ C_R = {1 \over n} $ bei fehlender Konzentration und$\ C_R = 1 $ bei kompletter Konzentration. Berechnung des Rosenbluth-IndexBeispiel 47:Wir wandeln den Kontext von unserem bekannten Beispiel etwas ab. So handelt es sich jetzt bei den Werten nicht mehr um die Einkommensverteilung von Fußballspielern, ...