Verteilungsmaße

Deskriptive Statistik

Das Kapitel Verteilungsmaße in unserem Online-Kurs Deskriptive Statistik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Verteilungsmaße

   Verteilungsmaße

   

   Das folgende Kapitel befasst sich mit den Verteilungsmaßen in der Statistik.Diese Themen werden wir dabei behandeln:LagemaßeStreuungsmaßeZusammenhangsmaßeLagemaße

2. Lagemaße

   Verteilungsmaße > Lagemaße

   

   Starten wollen wir mit den Lagemaßen. Je nachdem, welche Skalierung vorliegt, haben wir es mit verschiedenen Lagemaßen zu tun:ModusFraktileMedianarithmetisches Mittel

3. Modus

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Modus

   

   Der Modus (= Modalwert) ist der häufigste Wert einer gegebenen Verteilung.Beispiel  30 - Modus:In einem Raum befinden sich acht Männer und drei Frauen. Modus ist dann „männlich”. Der Modus sollte hauptsächlich bei eingipfligen (= unimodalen) Häufigkeitsverteilungen benutzt werden. Denn hier kann der Modus eindeutig bestimmt werden. So gibt es ihn bei zweigipfligen (= bimodalen) Verteilungen gleich zweifach.Beispiel 31 -  Modus:Im einem Streichelzoo sind ...

4. Fraktile

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Fraktile

   

   Ein weiteres Lagemaße sind die Fraktile bzw.  Quantile, die in der Statistik eine große Rolle spielen.Ein $\alpha $–Fraktil (= $\alpha$–Quantil = $\alpha$–Punkt )$x_\alpha $ gibt an, dass $\alpha $ Prozent der Werte einer geordneten Urliste bis zu dem $\alpha– $ Fraktil erreicht oder gerade eben überschritten sind. Die Formel für das $\alpha - $ Fraktil bei Vorliegen einer geordneten Urliste aus n Werten ist$x_\alpha = x_{\alpha \cdot n}$Dabei ist ...

5. Median

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Median

   

   Der Median oder auch Zentralwert ist, wie im vorigen Kapitel erwähnt ein besonderes Fraktil, nämlich der 0,5–Wert ($\ x_{0,5} $). Aufgrund seiner besonderen Stellung behandeln wir ihn in einem eigenen Kapitel und belassen es nicht bei einer bloßen Erwähnung. Um den Median bestimmen zu können, muss man als erstes die Urliste ordnen, damit die Mitte bestimmt werden kannBeispiel 33: Gegeben ist eine Reihe von Noten für Hausarbeiten: 2,0 ; 2,3 ; 3,3 ; 1,7 ; 5,0 ; ...

6. Boxplot

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Boxplot

   

   Der Boxplot bietet die Möglichkeit, Lagemaße in graphischer Form zu visualisieren. Die folgende Abbildung zeigt die Zahlen aus dem Beispiel 35:Abb.18: BoxplotDurch den Boxplot lässt sich sofort die Lage des Median $\ x_{0,5} $ als auch des unteren Quartil $\ x_{0,25} $ und oberen Quartil $\ x_{0,75} $ erkennen. Somit kann man auch sofort sehen, zwischen welchen Werten die mittleren 50 % der Verteilung liegen. Die Enden der beiden Striche geben dabei den minimalen Wert $\ x_{min} $ ...

7. Arithmetisches Mittel

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Arithmetisches Mittel

   

   Als nächstes wollen wir das arithmetische Mittel als Lagemaß besprechen:Auch wenn es nicht immer zu sinnvollen (aussagekräftigen) Ergebnissen führt (wie das Beispiel $\ {33°C \over 11°C} = 3 $) ist es jedoch grundsätzlich gestattet bei metrischen Skalen alle Grundrechenarten anzuwenden. Obwohl erst bei Verhältnisskalen die Division ohne Probleme anwendbar ist. Darum nutzt man für den Mittelwert bei metrischen Skalen das arithmetische Mittel: $\ \overline ...

8. Geometrisches Mittel

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Geometrisches Mittel

   

   Bestehen die Merkmalswerte aus Wachstums- oder Aufzinsungsfaktoren, die über unterschiedliche Perioden hinweg betrachtet werden, so ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zu verwenden. Zum Verständnis folgendes Beispiel.Das geometrische MittelBeispiel 39:Das durchschnittliche Brutto-Einkommen in Deutschland hat sich in den Jahren 2015 bis 2020 folgendermaßen entwickelt:Jahr201520162017201820192020Einkommen2.7732.8422.9143.0073.0953.092Berechne die Wachstumsraten ...

9. Harmonisches Mittel

   Verteilungsmaße > Lagemaße > Harmonisches Mittel

   

   Sind Merkmalswerte Quotienten, von denen also entweder der Zähler oder der Nenner nicht gegeben sind, so verwendet man das harmonische Mittel. Hier einige Beispiele.Beispiel 40:Ein Rennfahrer macht auf verschiedenen Strecken Testfahrten mit seinem neuen Rennwagen und legt folgende Strecken bei gegebenen Durchschnittsgeschwindigkeiten zurück:Durchlauf 1234 Distanz 120 km 240 km 175 km 125 kmØ Geschwindigkeit 80 $km\over h$120 $km\over h$100$km\over h$250 ...

10. Zusammenfassung Lagemaße

    Verteilungsmaße > Lagemaße > Zusammenfassung Lagemaße

    

    In diesem Lernvideo werden nochmals die wichtigsten Punkte zum Thema Lagemaße wiederholt.Das Video wird geladen...(lagemasse)

11. Unterschiedliche Streuungsmaße

    Verteilungsmaße > Streuungsmaße > Unterschiedliche Streuungsmaße

    

    Wenn man lediglich einen Lageparameter einer Verteilung angibt, so ist hiermit noch keine Aussage darüber gemacht, ob die anderen Werte „nahe dran” oder „weit weg” liegen. Dafür gibt es in der deskriptiven Statistik unterschiedliche Streuungsmaße.Beispiel 42:Die Einkommensverteilung drei verschiedener Gruppen 1, 2, und 3 werden betrachtet:Die Einkommensverteilung der Gruppe 1 ist:PersonABCDEEinkommen3.0003.0003.0003.0003.000Die Einkommensverteilung der Gruppe ...

12. Streuungszerlegung

    Verteilungsmaße > Streuungsmaße > Streuungszerlegung

    

    Die Streuungszerlegung, auch Varianzzerlegung, erklärt die Gesamtvarianz unterschiedlicher statistischer Massen mit Hilfe der Teilvarianzen.Beispiel 44:Als Beispiel ist diese Einkommensverteilung gegeben:  ABCDE13.5003.5003.500  24.2505.2507.5008.500 34.2504.2506.2507.25010.250Wie lässt sich die Gesamtvarianz aller zwölf Teilnehmenden mit Hilfe der Teilvarianzen der einzelnen Gruppen erklären?Dafür kann die Streuungszerlegungsformel (besser wäre der ...

13. Unterschiedliche Formmaße

    Verteilungsmaße > Formmaße > Unterschiedliche Formmaße

    

    Außer Lageparametern und Streuungen sind zudem auch noch die Symmetrie, Schiefe und Wölbung (oder auch Excess oder Kurtosis) bei den Verteilungen von Merkmalswerten von Interesse. Diesen Themen wollen wir in den folgenden Kapiteln widmen.

14. Schiefe

    Verteilungsmaße > Formmaße > Schiefe

    

    Die Schiefe von Daten kann man sehr gut in einem Stabdiagramm sichtbar machen, in dem der Maximalwert nicht in der Mitte liegt. Von einer rechtsschiefen bzw. linkssteilen Verteilungen spricht man, wenn sie weiter nach rechts abfallen als nach links. Fallen die Werte jedoch weiter nach links ab als nach recht, so spricht man von einer linksschiefen bzw. rechtssteilen Verteilung.Abb.20: Linksschiefe VerteilungAbb.21: Rechtsschiefe VerteilungMan spricht von einer symmetrischen Verteilung, wenn ...

15. Wölbung

    Verteilungsmaße > Formmaße > Wölbung

    

    Bei der Wölbung einer Verteilung ist von Interesse, wie spitz zulaufend bzw. flach eine Verteilung verläuft. Anders formuliert, inwiefern sich die Merkmalswerte mittig konzentrieren oder mehr an den Enden. Betrachtet man die untenstehende Abbildung, so kann man erkennen, dass die orange Verteilung deutlich gewölbter (spitzer zulaufend) ist als die graue Verteilung (diese verläft flacher).Abb.25: Unterschiedlich gewölbte VerteilungenBerechnung der WölbungMaßzahlen ...