Verteilung qualitativer und quantitativer Merkmale und deren Interpretation

01. Welche Begriffe werden in der Fachsprache der Statistik verwendet?

• Als Grundgesamtheit

  (= statistische Masse) bezeichnet man die Gesamtheit der statistisch erfassten gleichartigen Elemente (z. B. alle gefertigten Teile für Auftrag X).

• Bestandsmassen

  sind diejenigen Massen, die sich auf einen Zeitpunkt beziehen (z. B. 1.7. des Jahres).

• Bewegungsmassen

  sind auf einen bestimmten Zeitraum bezogen (z. B. 1.1. bis 30.6. d. J.).

• Abgrenzung der Grundgesamtheit: Je nach Fragestellung ist die Grundgesamtheit abzugrenzen. Vorherrschend sind folgende Abgrenzungsmerkmale:

  • sachliche Abgrenzung (z. B. Baugruppe Y)

  • örtliche Abgrenzung (z. B. Montage I)

  • zeitliche Abgrenzung (im Monat Januar)

• Als Merkmal

  bezeichnet man die Eigenschaft, nach der in einer statistischen Erfassung gefragt wird (z. B. Alter, gute Teile/schlechte Teile).

• Merkmalsausprägungen

  nennt man die Werte, die ein bestimmtes Merkmal annehmen können (z. B. gut/schlecht; männlich/weiblich; 48, 50, 55 usw.).

• Diskrete Merkmale

  können nur abzählbar viele Werte annehmen (z. B. Anzahl der Kinder, der fehlerhaften Stücke).

• Stetige Merkmale

  können jeden Wert (= überabzählbar) annehmen (z. B. Körpergröße, Durchmesser einer Welle).

• Qualitative Merkmale

  erfassen Eigenschaften/Qualitäten eines Merkmalsträgers (z. B. Geschlecht eines Mitarbeiters: weiblich – männlich oder Ergebnis der Leistungsbeurteilung: 2 – 4 – 6 – 8 usw.).

• Quantitative Merkmale

  sind Merkmale, deren Ausprägungen in Zahlen angegeben werden – mit Benennung der Maßeinheit, z. B. Stück, kg, Euro.

• Ordinalskala:

  Erfolgt eine Festlegung der Rangfolge der Merkmalsausprägungen, so spricht man von Ordinalskalen (z. B. gut/schlecht/unbrauchbar) – ansonsten von

• Nominalskalen (z. B. männlich/weiblich; gelb/rot/grün).

• Häufigkeit:

  Anzahl der Messwerte einer Messreihe zu einem bestimmten Messwert xi.

02. In welchen Schritten erfolgt die Lösung statistischer Fragestellungen?

1. Analyse der Ausgangssituation,

2. Erfassen des Zahlenmaterials,

3. Aufbereitung, d. h. Gruppierung und Auszählung der Daten und Fakten,

4. Auswertung, d. h. Analyse des Zahlenmaterials nach methodischen Gesichtspunkten.

03. Wie wird das statistische Zahlenmaterial aufbereitet?

Das Zahlenmaterial kann erst dann ausgewertet und analysiert werden, wenn es in aufbereiteter Form vorliegt. Dazu werden die Merkmalsausprägungen geordnet – z. B. nach Geschlecht, Alter, Beruf, Region, gut/schlecht, Länge, Materialart usw.).

Grundsätzliche Ordnungsprinzipien im Rahmen der Aufbereitung sind:

• Ordnen des Zahlenmaterials in einer Nominalskala.

• Ordnen des Zahlenmaterials in einer Kardinalskala

  (x1 = 1, x2 = 5, x3 = 7 …) oder einer Ordinalskala (xi = nicht ausreichend, xi = ausreichend, xi = befriedigend, xi = gut, …).

• Unterscheidung in diskrete und stetige Merkmale.

• Ggf. Aufbereitung in Form einer Klassenbildung

• Aufbereitung ungeordneter Reihen in geordnete Reihen.

• Bildung absoluter und relativer Häufigkeiten (Verteilungen).

04. Wie erfolgt die Erfassung und Verarbeitung technischer Messwerte?

Die Erfassung und Verarbeitung technischer Messwerte kann unterschiedlich komplex sein; folgende Arbeitsweisen können unterschieden werden:

1. Die Erfassung der Daten erfolgt über eine einfache Messeinrichtung (z. B. Thermometer, Druckmesser); die Prozesssteuerung bzw. ggf. notwendige Eingriffe in den Prozess erfolgen manuell.

   Beispiel

   An einer Anlage wird die Temperatur mithilfe eines Thermometers gemessen; wird ein bestimmter Temperaturgrenzwert überschritten, erfolgt eine manuell eingeleitete Kühlung der Anlage durch den Mitarbeiter.

2. Die Messwerte werden durch die Messeinrichtung erfasst, innerhalb der Messeinrichtung verarbeitet und der Prozess wird „automatisch“ gesteuert (z. B. über Prozessrechner).

   Beispiel

   An der Anlage (vgl. oben) wird die Temperatur laufend von einem Prozessrechner erfasst. Bei Erreichen des Grenzwertes erfolgt ein Warnsignal und die Kühlung der Anlage wird ausgelöst.

3. Elementare Messwertverarbeitung:

   Die Verarbeitung der Messwerte erfolgt auf der Basis einfacher mathematischer Operationen (z. B. Summen-/Differenzenbildung in Verbindung mit elektrischer oder pneumatischer Analogtechnik).

4. Höhere Messwertverarbeitung:

   Die Verarbeitung der Messwerte erfolgt auf der Basis komplexer mathematischer Operationen (z. B. Integral-/Differenzialrechnung in Verbindung mit Digitalrechnern).

   Hinsichtlich der Form der Datenverdichtung wird weiterhin unterschieden:

   • Signalanalyse:

     Es wird der Verlauf von Messsignalen untersucht (z. B. Verlauf von Schwingungen).

   • Messdatenverarbeitung:

     Aufbereitung, Verknüpfung, Prüfung und Verdichtung von Messdaten.

05. Lassen sich Fehler bei der Erfassung von Messwerten vermeiden?

In der Praxis ist jede Messung von Daten (vgl. das Beispiel „Dichte der Koksbrocken“) mit Fehlern behaftet. Man unterscheidet zwischen systematischen und zufälligen Fehlern:

• Systematische Fehler sind Fehler in der Messeinrichtung, die sich gleichmäßig auf alle Messungen auswirken. Sie lassen sich durch eine verbesserte Messtechnik beheben.

  Beispiel

  Fehlerhafter Messstab, nicht ausreichende Justierung einer Waage usw.

• Zufällige Fehler entstehen durch unkontrollierbare Einflüsse während der Messung; sie sind bei jeder Messung verschieden und unvermeidbar.

  Beispiel

  Bei der Prüfung von Wellen in der Eingangskontrolle stellt man fest, dass von 50 Stück drei fehlerhaft sind; die Wiederholung der Stichprobe kommt zu einem anderen Ergebnis, obwohl die Messverfahren gesichert sind und die Versuchsdurchführung nicht geändert wurde.

06. Wie erfolgt die Aufbereitung von Messstichproben?

Mithilfe der Stichprobentheorie lässt sich von Teilgesamtheiten (z. B. einer Stichprobe) auf Grundgesamtheiten schließen.

Im Allgemeinen benutzt man bei der Kennzeichnung von Maßzahlen der Grundgesamtheit griechische und bei der Kennzeichnung von Maßzahlen der Stichprobe lateinische Buchstaben:

• Bei kleinen Stichproben (z. B. n = 10) ist es ausreichend, die Werte der Größe nach zu ordnen:

  Beispiel

  Urliste: 5, 3, 9, 1, 3, 2, 8, 4, 6, 12
  
  Geordnete Urliste: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12

• Bei großen Stichproben werden gleiche Werte zusammengefasst und deren Häufigkeit in einer Strichliste notiert:

  Beispiel

  Es liegt folgende ungeordnete Messwertreihe vor:

  4,35	4,80	3,75	4,95	4,20	5,10	4,65	6,00	4,05	5,25
  5,10	4,50	3,15	5,25	4,65	3,45	5,85	4,50	5,55	4,80
  6,45	4,05	3,00	4,20	5,10	3,15	5,40	4,65	5,10	4,50

  Man ordnet die verschiedenen Werte in aufsteigender Reihenfolge und notiert die Häufigkeit ihres Auftretens; auf diese Weise erhält man die Strichliste; zur Weiterbearbeitung der Werte wird die Häufigkeit in der nächsten Spalte der Tabelle in Zahlen angegeben:

  Messwerte	Strichliste	Häufigkeit
  xj		nj
  3,00	|	1
  3,15	||	2
  3,45	|	1
  3,75	|	1
  4,05	||	2
  4,20	||	2
  4,35	|	1
  4,50	|||	3
  4,65	|||	3
  4,80	||	2
  4,95	|	1
  5,10	||||	4
  5,25	||	2
  5,40	|	1
  5,55	|	1
  5,85	|	1
  6,00	|	1
  6,45	|	1
  ∑		30

• Man bezeichnet diese Tabelle als Häufigkeitstabelle.

  Der Wert nj gibt die absolute Häufigkeit der verschiedenen Merkmalsausprägungen der Stichprobe wieder; z. B. hat der Wert n22 die absolute Häufigkeit 4. Die Summe der absoluten Häufigkeiten in einer Stichprobe ist immer gleich dem Stichprobenumfang. Es gilt:

   

  $$∑n_{j} = n$$

  j = 1, 2, …, r

• Dividiert man die absolute Häufigkeit nj durch den Stichprobenumfang n (im Beispiel: n = 30), so erhält man die relative Häufigkeit (in Prozent oder absolut). Die relative Häufigkeit ist eine nicht negative Zahl, die höchstens gleich 1 sein kann:

   

  $$\frac{n_{j}}{n} = relative\; Häufigkeit$$

  j = 1, 2, …, r

  Im Beispiel:

   

  $$\frac{n_{22}}{30} = \frac{4}{30} = 0,1333$$

  Die Summe der relativen Häufigkeit ist immer gleich 1:

   

  $$∑ \frac{n_{j}}{n} = 1$$

  j = 1, 2, …, r

• Eine weitere Verbesserung der Aussagekraft der Tabelle erhält man, indem die relativen Häufigkeiten schrittweise aufaddiert werden; es ergeben sich die kumulierten relativen Häufigkeiten (auch: relative Summenhäufigkeiten).

  Beispiel

  Die nachfolgende Tabelle zeigt die Messwerte absolut, relativ und kumuliert relativ:

  Messwerte	Häufigkeit (absolut)		Häufigkeit (relativ)
  xj			einfach	kumuliert
  3,00	|	1	0,0333	0,0333
  3,15	||	2	0,0666	0,0999
  3,45	|	1	0,0333	0,1332
  3,75	|	1	0,0333	0,1665
  4,05	||	2	0,0666	0,2331
  4,20	||	2	0,0666	0,2997
  4,35	|	1	0,0333	0,3330
  4,50	|||	3	0,1000	0,4330
  4,65	|||	3	0,1000	0,5330
  4,80	||	2	0,0666	0,5996
  4,95	|	1	0,0333	0,6329
  5,10	||||	4	0,1333	0,7662
  5,25	||	2	0,0666	0,8328
  5,40	|	1	0,0333	0,8661
  5,55	|	1	0,0333	0,8994
  5,85	|	1	0,0333	0,9327
  6,00	|	1	0,0333	0,9660
  6,45	|	1	0,0333	1,0000
  ∑		30	1,0000

07. Wie wird das Histogramm bei klassierten Daten erstellt?

Enthält eine Stichprobe sehr viele, zahlenmäßig verschiedene Werte, so ist die oben dargestellte Häufigkeitstabelle noch sehr unübersichtlich. Man führt daher eine Vereinfachung durch, indem man eine so genannte Gruppierung oder Klassenbildung vornimmt:

1. Schritt: Ermittlung der Klassen k

$$k = √n$$

Im Beispiel:

$$k = √30 ≈ 5$$

2. Schritt: Ermittlung der Klassenbreite w

$$w = \frac{R}{k}$$

$$mit\; R = Spannweite\; (= Range) = x_{max} – x_{min} = (Maximalwert – Minimalwert)$$

Im Beispiel:

$$w = \frac{6,45 – 3,00}{5} ≈ 0,7$$

3. Schritt: Bildung der Klassen; nach Möglichkeit sollten alle Klassen gleich breit sein.

Bei k = 5 und w = 0,7 ergibt sich folgende Klasseneinteilung:

Klassen

3,0 bis unter 3,7

3,7 bis unter 4,4

4,4 bis unter 5,1

5,1 bis unter 5,8

5,8 bis unter 6,5

4. Schritt: Zuordnung der Stichprobenwerte zu den einzelnen Klassen

Es ist üblich, dass die Klassenobergrenze nicht mit zur betreffenden Klasse hinzugerechnet wird; es werden also Klassenintervalle i. d. R. in folgender Form gebildet:

10 bis unter 11 bzw. (10 ≤ xj 

11 bis unter 12 (11 ≤ xj 

5. Schritt: Zeichnen des Histogramms

→ Das Histogramm ist die grafische Darstellung der Häufigkeiten eines klassierten, quantitativen Merkmals durch rechteckige Flächen über den Klassen; dabei entspricht die Größe der Flächen der Häufigkeit der jeweiligen Klasse.

→ Sind alle Klassen gleich breit, können die Häufigkeiten durch die Höhe der Fläche dargestellt werden (häufig gewählter Fall in der Praxis).

Im vorliegenden Fall hat das Histogramm annähernd die Form einer Normalverteilung (vgl. dazu im Einzelnen weiter unten).

08. Was versteht man unter einer Häufigkeitsverteilung bzw. einer Verteilungsfunktion?

Teilt man den geordneten Merkmalsausprägungen die entsprechenden Häufigkeiten zu (absolute oder relative), so erhält man die Häufigkeitsverteilung (kurz: Verteilung) des betreffenden Merkmals.

Die Darstellung der Verteilung eines Merkmals kann

• tabellarisch (vgl. oben) oder

• grafisch erfolgen, z. B. als

  • Stabdiagramm

  • Histogramm

  • Kreisdiagramm

  • Säulendigramm

  • Liniendiagramm

  • Piktogramm.

Man unterscheidet in der Statistik spezielle Verteilungen, u. a.:

1. Diskrete Verteilungen, z. B.:

   • Binomialverteilung

   • Poisson-Verteilung

   • Hypergeometrische Verteilung

2. Stetige Verteilungen, z. B.: Normalverteilung (= Gauss-Verteilung).

Insbesondere die Normalverteilung spielt in der Prüfstatistik eine besondere Rolle (vgl. unten, 14. ff.).

Die Häufigkeitsfunktion (auch: Verteilungsfunktion) ist die mathematische Beschreibung der Verteilung eines Merkmals.

Dabei gilt:

$$h_{j} = \frac{n_{j}}{n}$$

mit j = 1, 2, …, r

Die Verteilungsfunktion f(x) hat für x1 den Wert h1, für x2 den Wert h2 usw. und für jede Zahl x, die nicht in der Stichprobe vorkommt, ist sie gleich null; in Formeln:

mit j = 1, 2, …, r

09. Welche Maßzahlen sind relevant zur Charakterisierung einer Verteilungsfunktion?

10. Wie werden Maßzahlen der Grundgesamtheit berechnet?

Die Beispielrechnungen gehen von folgender Messwertreihe (vgl. oben) aus:

Zu berechnen sind folgende Parameter der Messreihe:

1. das arithmetische Mittel

2. der Median

3. der Modalwert

4. die Spannweite

5. die Varianz

6. die Standardabweichung.

1. Das arithmetische Mittel μ

   einer Häufigkeitsverteilung ist die Summe aller Merkmalsausprägungen dividiert durch die Anzahl der Beobachtungen:

   • μ, ungewogen:

      

     $$μ = \frac{∑ x_{i}}{N}$$

     i = 1, 2, …, N

   • μ, gewogen:

      

     $$μ = \frac{∑ N_{j}x_{j}}{N}$$

     j = 1, 2, …, r

     Beispiel

     										∑
     4,35	4,80	3,75	4,95	4,20	5,10	4,65	6,00	4,05	5,25	47,10
     5,10	4,50	3,15	5,25	4,65	3,45	5,85	4,50	5,55	4,80	46,80
     6,45	4,05	3,00	4,20	5,10	3,15	5,40	4,65	5,10	4,50	45,60
     ∑										139,50

      

     $$μ \frac{139,5}{30} = 4,65$$

2. Median Mz (= Zentralwert):

   Ordnet man die Werte einer Urliste der Größe nach, so ist der Median dadurch gekennzeichnet, dass 50 % der Merkmalsausprägungen kleiner/gleich und 50 % der Merkmalsausprägungen größer/gleich dem Zentralwert Mz sind. Der Median teilt also die der Größe nach geordneten Werte in zwei gleiche Hälften:

   • bei N = gerade

     ist der Median das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte:

      

     $$M_{z} = \frac{1}{2}\; (x_{N/2} + x_{N/2+1})$$

     Beispiel

     Da N = 30 ist, wird das arithmetischen Mittel aus dem 15. und 16. Wert der (geordneten) Häufigkeitstabelle gebildet:

     

   • bei N = ungerade

     ist der Median der in der Mitte stehende Wert der geordneten Urliste:

      

     $$M_{z} = x_{(N+1)/2}$$

     Beispiel

     Angenommen, man würde die vorliegende Messreihe von 30 Werten um den Wert x31 = 6,55 ergänzen, so erhält man als Median den Wert x16:

      

     $$M_{z} = x _{(31+1)/2} = x_{16} = 4,65$$

     Da es sich beim Median um einen relativ „groben“ Lageparameter zur Charakterisierung einer Verteilung handelt, sollte er nur bei einer kleinen Messreihe ermittelt werden. Im vorliegenden Fall von 30 Urlistenwerten ist er eher nicht zu empfehlen.

3. Als Modalwert Mo (= dichtester Wert = Modus)

   bezeichnet man innerhalb einer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit (soweit vorhanden):

   

    

   Beispiel

   Aus der vorliegenden Häufigkeitstabelle lässt sich der Modalwert direkt ablesen: Es ist die Merkmalsausprägung mit der maximalen Häufigkeit.

   Nj  =  4

   Mo  =  5,10

   Mittelwerte, die die Lage einer Verteilung beschreiben, reichen allein nicht aus, um eine Häufigkeitsverteilung zu charakterisieren. Es wird nicht die Frage beantwortet, wie weit oder wie eng sich die Merkmalsausprägungen um den Mittelwert gruppieren.

   Man berechnet daher so genannte Streuungsmaße, die kleine Werte annehmen, wenn die Merkmalsbeträge stark um den Mittelwert konzentriert sind bzw. große Werte bei weiter Streuung um den Mittelwert.

4. Die Spannweite R (= Range) ist das einfachste Streuungsmaß.

   Sie wird als die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert definiert. Die Aussagekraft der Spannweite ist sehr gering und sollte daher nur für eine kleine Anzahl von Messwerten berechnet werden (im vorliegenden Beispiel also eher nicht geeignet).

    

   $$R = x_{max} – x_{min}$$

   oder bei geordneter Urliste:

    

   $$R = x_{N} – x_{1}$$

   Beispiel

    

   $$R = x_{30} – x_{1} = 6,45 – 3,00 = 3,45$$

5. Mittlere quadratische Abweichung σ² (= Varianz):

   Bei der Varianz σ² wird das jeweilige Quadrat der Abweichungen zwischen der Merkmalsausprägung xi und dem Mittelwert berechnet. Durch den Vorgang des Quadrierens erreicht man, dass große Abweichungen stärker und kleine Abweichungen weniger berücksichtigt werden. Die Summe der Quadrate wird durch N dividiert.

   • σ², ungewogen:

      

     $$σ^{2} = \frac{∑ (x_{i} – μ)^{2}}{N}$$

     i = 1, 2, …, N

   • σ², gewogen:

      

     $$σ^{2} = \frac{∑ (x_{j} – μ)^{2}\; \cdot\; N_{j}}{N}$$

     j = 1, 2, …, r

     Durch Umrechnung gelangt man zu folgender Formel; damit lässt sich die Varianz leichter berechnen:

     $$σ^{2} = \frac{1}{N}∑ N_{j} – x_{j}^{2}\ - μ^{2}$$

   Bei einer hohen Zahl von Messwerten empfiehlt sich eine Arbeitstabelle zur Berechnung der Varianz:

   xj	Nj	xj2	Njxj2	xj – μ	(xj – μ)2	(xj – μ)2 Nj
   3,00	1	9,00	9,00	– 1,65	2,72	2,72
   3,15	2	9,92	19,84	– 1,50	2,25	4,50
   3,45	1	11,90	11,90	– 1,20	1,44	1,44
   3,75	1	14,06	14,06	– 0,90	0,81	0,81
   4,05	2	16,40	32,80	– 0,60	0,36	0,72
   4,20	2	17,64	35,28	– 0,45	0,20	0,40
   4,35	1	18,92	18,92	– 0,30	0,09	0,09
   4,50	3	20,25	60,75	– 0,15	0,02	0,06
   4,65	3	21,62	64,87	0,00	0,00	0,00
   4,80	2	23,04	46,08	0,15	0,02	0,04
   4,95	1	24,50	24,50	0,30	0,09	0,09
   5,10	4	26,01	104,04	0,45	0,20	0,80
   5,25	2	27,56	55,12	0,60	0,36	0,72
   5,40	1	29,16	29,16	0,75	0,56	0,56
   5,55	1	30,80	30,80	0,90	0,81	0,81
   5,85	1	34,22	34,22	1,20	1,44	1,44
   6,00	1	36,00	36,00	1,35	1,82	1,82
   6,45	1	41,60	41,60	1,80	3,24	3,24
   ∑	30		668,97			20,26

   Beispiel

    

   $$σ^{2} = \frac{∑ (x_{j} – μ)^{2}\; \cdot\; N_{j}}{N}$$

   $$= \frac{20,26}{30} = 0,68$$

   bzw.

   $$σ^{2} = \frac{1}{N}∑ N_{j} – x_{j}^{2}\ - μ^{2}$$

   $$= \frac{668,97}{30} -21,6225 = 0,68$$

6. Die Standardabweichung σ (kurz: „Streuung“) ist die positive Wurzel aus der Varianz; sie ist das wichtigste Streuungsmaß:

    

   $$σ = √σ^{2}$$

   Beispiel

    

   $$σ = √0,68 = 0,82$$

11. Wie werden Maßzahlen der Stichprobe berechnet?

Die oben dargestellten Formeln zur Berechnung der Maßzahlen sind – bis auf die Berechnung der Varianz – analog. Zur Kennzeichnung von Stichprobenparametern wird

$ \overline{x} $ statt μ

n statt N,

s² statt σ² und

s statt σ verwendet

• somit modifizieren sich die Formeln für den Mittelwert zu:

   $$ \overline{x} =  \frac{∑ x_{i}}{n} $$

  bzw.  $$ \overline{x} =  \frac{∑ x_{j} \cdot n_{j}}{n} $$

   

• Bei der Berechnung der Varianz einer Stichprobe wird – genau genommen – keine mittlere quadratische Abweichung berechnet, sondern man verwendet die Formel

  $$s^{2} =  \frac{∑ (x_{i} - \overline{x})^{2}}{n-1}$$ 

  Man dividiert also die Summe der Quadrate durch den um Eins verminderten Stichprobenumfang (= so genannte empirische Varianz). Für die Standardabweichung s gilt Entsprechendes. Es lässt sich mathematisch zeigen, dass diese Berechnungsweise notwendig ist, wenn von der Varianz der Stichprobe auf die Varianz der Grundgesamtheit geschlossen werden soll.

  Hinweis

  … für die Praxis

  Funktionsrechner und Statistik-Software verwenden häufig den Faktor 1n – 1 anstatt 1n. Bitte beachten Sie dies bei der Berechnung von Varianzen, die nicht aus einer Stichprobe stammen.

12. Welche Prüfmethoden werden im Rahmen der Qualitätskontrolle eingesetzt?

Bei der Qualitätskontrolle bedient man sich vor allem der drei folgenden Methoden, die wiederum verschiedene Unterarten verzeichnen:

13. Wie erfolgt die statistische Qualitätskontrolle unter der Annahme der Normalverteilung?

Untersucht man eine große Anzahl von Einheiten eines gefertigten Produktes hinsichtlich der geforderten Qualitätseigenschaften (Stichprobe aus einem Los), so lässt sich mathematisch zeigen, dass die „schlechten Werte“ in einer bestimmten Verteilungsform vom Mittelwert (dem Sollwert) abweichen: Es entsteht bei hinreichend großer Anzahl von Prüfungen das Bild einer Gauss’schen Normalverteilung (so genannte symmetrische Glockenkurve):

Es lässt sich mathematisch zeigen, dass – bei Vorliegen einer Normalverteilung der Qualitätseigenschaften –

• ungefähr 68,0 % (68,26 %)

  aller Ausprägungen streuen im Bereich (Mittelwert +/– 1 • Standardabweichung)

• ungefähr 95,0 % (95,44 %)

  aller Ausprägungen streuen im Bereich (Mittelwert +/– 2 • Standardabweichung)

• ungefähr 99,8 % (99,73 %)

  aller Ausprägungen streuen im Bereich (Mittelwert +/– 3 • Standardabweichung)

Die nachfolgende Abbildung zeigt den dargestellten Zusammenhang:

Diese Erkenntnis der Gauss’schen Normalverteilung (bei einer großen Anzahl von Untersuchungseinheiten) macht man sich bei der statistischen Qualitätskontrolle zu Nutze:

Man zieht eine zufällig entnommene Stichprobe aus der produzierten Losgröße und schließt (vereinfacht gesagt) von der Zahl der schlechten Stücke in der Stichprobe auf die Zahl der schlechten Stücke in der Grundgesamtheit (gesamte Losgröße).
→ DIN 53804-1, DGQ 1631

14. Wie wird der Fehleranteil im Prüflos und in der Grundgesamtheit berechnet?

Aus einem Losumfang (= Grundgesamtheit) von N wird eine hinreichend große Stichprobe mit dem Umfang n zufällig entnommen. Man erhält in der Stichprobe nf fehlerhafte Stücke (= Überschreitung des zulässigen Toleranzbereichs):

Der Anteil der fehlerhaften Stücke ∆xfder Stichprobe ist

$$∆x_{f} = \frac{n_{f}}{n}$$

oder in Prozent:

$$= \frac{n_{f}}{n}\; \cdot\; 100$$

Bezeichnet man die Anzahl der fehlerhaften Stücke als „NIO-Teile“ (= „Nicht-in-Ordnung-Teile“) so lässt sich in Worten folgender Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit formulieren:

NIO-Teile der StichprobeStichprobenumfang

NIO-Teile der GrundgesamtheitLosumfang

15. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei der zufälligen Entnahme von Werkstücken, ein fehlerhaftes Teil zu erhalten (Fehlerwahrscheinlichkeit)?

16. Wie kann mithilfe des Wahrscheinlichkeitsnetzes auf das Vorliegen einer Normalverteilung des Prüfmerkmals geschlossen werden?

Die Normalverteilung wurde bereits oben/13. behandelt. Das Wahrscheinlichkeitsnetz (auch: Wahrscheinlichkeitspapier) ist ein funktionales Papier, bei dem die Ordinatenskala (= y-Achse) so verzerrt ist, dass sich die s-förmige Kurve der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung auf diesem Papier zu einer Geraden streckt.

Die nachfolgende Abbildung zeigt die prinzipielle Entstehung des Wahrscheinlichkeitsnetzes:

Wie man erkennen kann, nehmen die Ordinatenabstände von der 50 %-Linie nach oben und nach unten hin zu.

Die Summenlinie im Wahrscheinlichkeitsnetz ist eine einfache, grafische Methode, um zu prüfen, ob das betrachtete Merkmal einer Normalverteilung unterliegt. Man geht in folgenden Schritten vor:

1. Schritt:

Aufbereitung der Messwerte in gruppierter Form.

2. Schritt:

Berechnung der relativen Summenhäufigkeit (= kumulierte relative Häufigkeit) je Klasse in Prozent.

3. Schritt:

Eintragung der relativen Summenhäufigkeiten in das Wahrscheinlichkeitsnetz als Punkt vertikal über der rechten Klassengrenze (nicht über der Klassenmitte!).

→ Ergeben die relativen Summenhäufigkeiten im Wahrscheinlichkeitsnetz annähernd eine Gerade, so kann auf eine Normalverteilung der Einzelwerte geschlossen werden.

Dies bedeutet, dass von der Anzahl der fehlerhaften Stücke der Stichprobe auf die Zahl der fehlerhaften Teile in der Grundgesamtheit geschlossen werden kann; Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe sind annähernd gleich den Werten der Grundgesamtheit; es gilt:

 $ \overline{x} $ ≈ μ; s ≈ σ

Beispiel

Gegeben sei folgende Stichprobe in gruppierter Form:

Klassen von … bis unter	Klassenmitte	Absolute Häufigkeit	Relative Summenhäufigkeit in %
1,795 – 1,825	1,81	2	2
1,825 – 1,855	1,84	3	5
1,855 – 1,885	1,87	6	11
1,885 – 1,915	1,90	18	29
1,915 – 1,945	1,93	25	54
1,945 – 1,975	1,96	18	72
1,975 – 2,005	1,99	14	86
2,005 – 2,035	2,02	11	97
2,035 – 2,065	2,05	3	100
∑		100

Überträgt man die relativen Summenhäufigkeiten in das Wahrscheinlichkeitsnetz – wie oben beschrieben – ergibt sich folgendes Bild:

Die relativen Summenhäufigkeiten ergeben annähernd eine Gerade; es kann auf eine Normalverteilung des Merkmals geschlossen werden.

Außerdem können bei einer Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit aus dem Wahrscheinlichkeitsnetz Mittelwert und Standardabweichung abgelesen werden (vgl. Abb. oben).

→ Die Ausgleichsgerade schneidet die 50 %-Linie im Punkt x = $ \overline{x} $ .

→ Betrachtet man die Schnittpunkte der Ausgleichsgeraden mit der 50 %-Linie und der 84 %-Linie und nimmt von den entsprechenden x-Werten die Differenz, so erhält man s, die Standardabweichung der Stichprobe; von s kann näherungsweise auf σ (= Standardabweichung der Grundgesamtheit) geschlossen werden.

17. Welche (einfachen) Prüfmethoden werden außerdem in der Qualitätskontrolle eingesetzt?

Neben dem Verfahren der „Statistischen Qualitätskontrolle“ (vgl. oben) gibt es in der Betriebspraxis noch einfache und doch sehr wirkungsvolle Prüfverfahren; drei dieser Methoden werden hier beispielhaft genauer behandelt:

18. Wie wird eine Strichliste erstellt?

Bei der Strichliste werden die Ergebnisse einer Prüfstichprobe auf einem Auswertungsblatt festgehalten: Dazu bildet man Messwertklassen und trägt pro Klasse ein, wie häufig ein bestimmter Messwert beobachtet wurde. Die Anzahl der Klassen sollte i. d. R. zwischen 5 und 20 liegen; die Klassenbreite ist gleich groß zu wählen.

>> vgl. 07. und 08.

Es gilt:

Anzahl der Klassen: $$k = √n$$

Klassenbreite: $$w = \frac{R}{k}$$

Relative Häufigkeit: $$h_{j} = \frac{n_{j}}{n}$$

mit R = xmax – xmin

und j = 1, 2, … r

sowie ∑nj = n.

19. Wie werden Qualitätsregelkarten zur Überwachung von Prozessen eingesetzt?

Kontrollkarten (auch: Qualitätsregelkarten QRK bzw. kurz: Regelkarten; auch: „Statistische Prozessregelung“) werden in der industriellen Fertigung dafür benutzt, die Ergebnisse aufeinander folgender Prüfstichproben festzuhalten. Durch die Verwendung von Kontrollkarten lassen sich Veränderungen des Qualitätsstandards im Zeitablauf beobachten; z. B. kann frühzeitig erkannt werden, ob Toleranzen bestimmte Grenzwerte über- oder unterschreiten. Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Qualitätsregelkarten (je nach Prüfmerkmal, Qualitätsanforderung und Messtechnik).

Häufige Verwendung finden sog. zweispurige QRK, die gleichzeitig einen Lageparameter (Mittelwert oder Median) und einen Streuungsparameter (z. B. Standardabweichung/x-s-Karte oder Range = Spannweite/x-R-Karte) anzeigen.

Beispiel

Beispiel 1

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Ausschnitt einer Kontrollkarte:

1. Der Fertigungsprozess ist sicher, wenn die Prüfwerte innerhalb der oberen und unteren Warngrenze liegen.

2. Werden die Warngrenzen überschritten, ist der Prozess „nicht mehr sicher“, aber „fähig“.

3. Werden die Eingriffsgrenzen erreicht, muss der Prozess wieder sicher gemacht werden (z. B. neues Werkzeug, Neujustierung, Fehlerquelle beheben).

4. Erfolgt beim Erreichen der Eingriffsgrenzen keine Korrekturmaßnahme, so ist damit zu rechnen, dass es zur Produktion von „Nicht-in-Ordnung-Teilen“ (NIO-Teile) kommt.

 

Beispiel 2

Die Stichprobe einer Fertigung zeigt folgende Fehleranzahl auf der Regelkarte:

• Ermitteln Sie den Mittelwert der Fehleranzahl der 20. bis 40. Stichprobe.

• Ermitteln Sie den Mittelwert der Fehleranzahl der Grundgesamtheit mit N = 800 und n = 120..

• Ermitteln Sie die Spannweite der 20. bis 40. Stichprobe.

• Nennen Sie zwei Ursachen für die auffälligen Abweichungen der 20. bis 40. Stichprobe.

Lösung:

$$ \overline{x} = \frac{∑ x_{i}}{n} =  \frac{1+2+21+...+1+2+3+2}{20} = 5,15 $$

$$\frac{\overline{x}}{n} = \frac{5,15}{120} = 4,29 \%$$

Der durchschnittliche Fehleranteil in der Grundgesamtheit beträgt daher 4,29 % von 800:

= 4,29 % von 800 = 34,33

$$= \frac{\overline{x}}{\frac{n}{N}} = \frac{\overline{x} \cdot N}{n} = \frac{5,15 \cdot 800}{120} = 34,33$$

•  

  $$Spannweite = R = x_{max} – x_{min}$$

  $$= 11 – 1 = 10$$

• Gründe für die Abweichungen, z. B.:

  • unterschiedliche Lieferanten

  • unterschiedliche Chargen

  • unterschiedliche Bedienung der Fertigungsanlage.

20. Wie sind Regelkarten zu interpretieren?

Nachfolgend werden sechs typische Prozessverläufe dargestellt und erläutert.

Prozessverlauf Grafische Darstellung	Bezeichnung Erläuterung	Bewertung Maßnahmen
	Natürlicher Verlauf ⅔ der Werte liegen innerhalb des Bereichs ± s; OEG bzw. UEG werden nicht überschritten.	Prozess in Ordnung! Kein Eingriff erforderlich.
	Überschreiten der Grenzen Die obere und/oder untere Eingriffsgrenze ist überschritten.	Prozess nicht in Ordnung! Eingriff erforderlich; Ursachen ermitteln.
	Run Mehr als sechs Werte liegen in Folge über/unter M.	Prozess noch in Ordnung! Verschärfte Kontrolle; Verlauf deutet auf systematischen Fehler hin, z. B. Werkzeugverschleiß.
	Trend Mehr als sechs Werte in Folge zeigen eine fallende/steigende Tendenz.	Prozess nicht in Ordnung! Eingriff erforderlich; Ursachen ermitteln, z. B. Verschleiß der Werkzeuge, Vorrichtungen, Messgeräte.
	Middle Third 15 oder mehr Werte liegen in Folge innerhalb von ± s (= im mittleren Drittel).	Prozess in Ordnung! Kein Eingriff erforderlich; aber: Ursachen für Prozessverbesserung ergründen bzw. Prüfergebnisse verstärkt kontrollieren.
	Perioden Die Werte wechseln periodisch um den Wert M; es liegen mehr als ⅔ der Werte außerhalb des mittleren Drittels zwischen OEG und UEG.	Prozess nicht in Ordnung! Eingriff erforderlich; es ist ein systematischer Fehler zu vermuten.

21. Was bezeichnet man als „Fähigkeit“ bzw. als „Beherrschung“ von Maschinen/Prozessen?

• Die „Fähigkeit“ C einer Maschine/eines Prozesses ist ein Maß für die Güte – bezogen auf die Spezifikationsgrenzen. Eine Maschine/ein Prozess wird demnach als „fähig“ bezeichnet, wenn seine Einzelergebnisse innerhalb der Spezifikationsgrenzen liegen.

   

  $$C = Streuungskennwert$$

• Eine Maschine/ein Prozess wird als „beherrscht“ bezeichnet, wenn seine Ergebnismittelwerte in der Mittellage liegen.

   

  $$C = Lagekennwert$$

In der Praxis wird sprachlich nicht immer zwischen Kennwerten der Streuung und der Beherrschung unterschieden; man verwendet meist generell den Ausdruck „Fähigkeitskennwert“ und unterscheidet durch den Index m bzw. p Maschinen- bzw. Prozessfähigkeiten sowie durch den Zusatz k die Kennzeichnung der Lage.

• Die Untersuchung der Maschinenfähigkeit Cm, Cmk ist eine Kurzzeituntersuchung.

• Die Untersuchung der Prozessfähigkeit Cp, Cpk ist eine Langzeituntersuchung.

• Beide Untersuchungen verwenden die gleichen Berechnungsformeln; es werden jedoch andere Formelzeichen verwendet. Es gilt:

  Merkmale	Maschinenfähigkeit	Prozessfähigkeit
  Untersuchungszeitraum	Kurzzeituntersuchung	Langzeituntersuchung
  Untersuchungsgegenstand	Komponenten einer Maschine	Prozesselemente, z. B.: Maschinen Menschen Material Methoden Verfahren
  Stichprobendurchführung	Einmalige, große Stichprobe unter idealen Bedingungen; n ≥ 50	Kleinere Stichproben über einen längeren Zeitraum; ∑ ni ≥ 100
  Streuungskennwert	Cm	Cp
  Lagekennwert	Cmk	Cpk

  Beispiel

  Anschauungsbeispiel

  zur Unterscheidung des Streuungskennwertes Cm, Cp und des Lagekennwertes Cmk, Cpk:

  Die Breite eines Garagentores sei stellvertretend für geforderte Toleranz: T = OTG – UTG. Die Breite des Pkws soll die Standardabweichung s darstellen; die gefahrene Spur des Pkws entspricht dem Mittelwert $ \overline{x} $.

  • Beurteilung der Streuung/Fähigkeit des Prozesses:

    Je kleiner s im Verhältnis zu T ist, desto größer wird der Fähigkeitskennwert C;

    Beispiel: „Bei C = 1 muss der Pkw sehr genau in die Garage gefahren werden, wenn keine Schrammen entstehen sollen.“

    

     

  • Beurteilung der Qualitätslage/Beherrschung des Prozesses:

    Ist der Mittelwert $ \overline{x} $ optimal (Spur des Pkws), so ist C = Ck; bei einer Verschiebung des Mittelwertes (in Richtung OTG bzw. UTG) wird Ck kleiner, man läuft also Gefahr, die linke oder rechte Seite des Garagentores zu berühren.

    

22. Welchen Voraussetzungen müssen für die Ermittlung von Fähigkeitskennwerten vorliegen?

Die Merkmalswerte müssen normalverteilt sein. Der Prozess muss demnach frei von systematischen Fehlern sein; Schwankungen in den Messergebnissen sind also nur noch zufallsbedingt 

23. Wie werden Fähigkeitswerte ermittelt?

1. Mittelwert x und Standardabweichung s der Stichprobe werden berechnet.

2. Der Toleranzbereich T (= OTG – UTG) wird ermittelt; er ist der Bauteilzeichnung zu entnehmen.

3. Der Streuungskennwert Cm bzw. Cp wird berechnet, indem der Toleranzwert T durch die 6-fache Standardabweichung (+/– 3s, also 6s) dividiert wird. Dies ergibt sich aus der Forderung, dass mit 99,73 %-iger Wahrscheinlichkeit die Stichprobenteile innerhalb der geforderten Toleranzgrenzen liegen sollen.

    

   $$C_{m} = \frac{T}{6s} = \frac{OTG – UTG}{6s}$$

   bzw.

    

   $$C_{p} = \frac{T}{6s} = \frac{OTG – UTG}{6s}$$

4. Der Lagekennwert Cmk bzw. Cpk wird berechnet, indem Zkrit durch die 3-fache Standardabweichung s dividiert wird:

    

   $$C_{mk} = \frac{Z_{krit}}{3s}$$

   bzw.

    

   $$C_{pk} = \frac{Z_{krit}}{3s}$$

   Dabei ist Zkrit der kleinste Abstand zwischen dem Mittelwert und der oberen bzw. unteren Toleranzgrenze, d. h. es gilt:
   
   $$Z_{krit} = min ( OTG - \overline{x}; \overline{x} - UTG)!$$
   
   $$Z_{krit} = OTG - \overline{x}$$

   bzw.
   
   $$Z_{krit} = \overline{x} - UTG$$

    

   24. Welche Grenzwerte gelten für Fähigkeitskennzahlen?

   In der Industrie gelten bei der Beurteilung der Fähigkeitskennzahlen folgende Grenzwerte (vgl. z. B. die Empfehlungen der DGQ; in der Automobilindustrie liegen zum Teil strengere Grenzwerte vor):

   Maschinenfähigkeit, MFU		Prozessfähigkeit, PFU
   Erfassung des kurzzeitigen Streuverhaltens/des Bearbeitungsergebnisses einer Fertigungsmaschine unter gleichen Randbedingungen		Erfassung des langfristigen Streuverhaltens-/des Bearbeitungsergebnisses einer Fertigungsmaschine unter realen Prozessbedingungen
   Streuung, Cm	Lage, Cmk	Streuung, Cp	Lage, Cpk
   Cm ≥ 2,00	Cmk ≥ 1,66	Cp ≥ 1,33	Cpk ≥ 1,33
   Hinweis: Einige Tabellenwerke enthalten veraltete Werte!

   Beispiel

   Beispiel 1

   Die Stichprobe aus einem Los von Stahlteilen ergibt eine mittlere Zugfestigkeit von $ \overline{x} $

    = 400 N/mm2 und eine Standardabweichung von s = 14 N/mm2. Es ist eine Toleranz von 160 N/mm2 vorgegeben. Zu ermitteln ist, ob die eingesetzte Maschine „fähig“ ist; dazu ist der Maschinenfähigkeitskennwert Cm zu berechnen:

    

   $$C_{m}\frac{T}{6s}$$

   $$= \frac{160\; N/mm^{2}}{6\; \cdot\; 14\; N/mm^{2}} = 1,9048$$

   Die Maschine ist nicht fähig, da C_m < 2,00.

   Beispiel 2

   Für ein Fertigungsmaß gilt:	100	±	0,1	→ T = 0,2
   Aus der Stichprobe ist bekannt:	s	=	0,015
   	$ \overline{x} $	=	99,92

   Zu ermitteln sind C_m, C_mk:

    

   $$C_{m} = \frac{T}{6s}$$

   $$= \frac{0,2}{0,09} = 2,22$$

   Da C_m ≥ 2,0 gilt: Die Maschine ist fähig; die Streuung liegt innerhalb der Toleranzgrenzen.

    

   $$OTG - \overline{x} = 100,1 - 99,92 = 0,18$$

   $$\overline{x} -UTG = 99,92-99,9 = 0,02$$

   $$Z_{krit} = min (= OTG - \overline{x}; \overline{x} - UTG)$$

    $$Z_{krit} = 0,02$$

   $$C_{mk} = \frac{Z_{krit}}{3s}$$

   $$= \frac{0,2}{0,045}$$

   $$= 0,04$$

   Da C_mk < 1,66 gilt: Die Maschine ist nicht beherrscht; die Qualitätslage ist zu weit vom Mittelwert versetzt; die Einstellung der Maschine muss korrigiert werden.

    

   25. Wie wird eine Annahme-Stichprobenprüfung durchgeführt?

   Stichprobenpläne werden sehr häufig eingesetzt, wenn fremd beschaffte Teile geprüft werden. Der Stichprobenplan wird üblicherweise zwischen Käufer und Verkäufer fest vereinbart. Dazu werden drei Größen eindeutig festgelegt:

   

   Solange die Annahmezahl c ≤ dem angegebenen Grenzwert ist, wird die Lieferung angenommen. Man spricht davon, dass die Lieferung die „Annehmbare Qualitätslage“ (AQL = Acceptable Quality Level) erfüllt. Zum Beispiel dürfen bei einer Lieferung von 2.000 Einheiten maximal zwei fehlerhafte Einheiten in der Stichprobe mit n = 80 sein (vgl. Tabelle oben).

   In der Praxis werden sogenannte Leittabellen verwendet, die entsprechende Stichprobenanweisungen enthalten; die relevanten Parameter sind: Losgröße N, Prüfschärfe (normal/verschärft), Annahmezahl c, Rückweisezahl d, AQL-Wert (z. B. 0,40).

   Beispiel

   Beispiel 1

   Das Unternehmen erhält regelmäßig Bauteile in Lösgrößen von N = 250. Mit dem Lieferanten wurde eine Annahme-Stichprobenprüfung als Einfach-Stichprobe bei Prüfniveau II und einem AQL-Wert von 0,40 vereinbart (vgl. DIN ISO 2859-1).

   1. Ermittlung des Kennbuchstabens für den Stichprobenumfang; nachfolgend ist ein Ausschnitt aus Tabelle I dargestellt:

      Losumfang N			Besondere Prüfniveaus				Allgemeine Prüfniveaus			DIN ISO 2859-1
      			S-1	S-2	S-3	S-4	I	II	III
      …	…	…
      51	bis	90	B	B	C	C	C	E	F
      91	bis	150	B	B	C	D	D	F	G
      151	bis	280	B	C	D	E	E	G	H
      281	bis	500	B	C	D	E	F	H	J
      501	bis	1.200	C	C	E	F	G	J	K
      …	…	…

      Für einen Losumfang von N = 250 und einem allgemeinen Prüfniveau II wird der Kennbuchstabe G ermittelt.

   2. 2. Ermittlung des Stichprobenumfangs n und der Annahmezahl c bei AQL 0,40 aus Tabelle II-A (Einfach-Stichproben für normale Prüfung; vgl. unten, Ausschnitt aus der Leittabelle):

      Tabelle II-A Einfachstichprobenanweisung für normale Prüfung

      

      Ergebnis: Bei G/Tabelle II-A ist n = 32, c = 0 und d = 1.

      Das ergibt die Prüfanweisung: Bei regelmäßigen Losgrößen von N = 250, Prüfniveau II und normaler Prüfung darf die Stichprobe vom Umfang n = 32 keine fehlerhaften Teile enthalten; ist c ≥ 1, wird die Lieferung zurückgewiesen.

   Beispiel 2

   Es wird für den o. g. Sachverhalt unterstellt, dass die achte und neunte Lieferung zurückgewiesen werden muss, da c ≥ 1. Die zehnte Lieferung ist verschärft zu prüfen. Wie verändert sich unter diesen Bedingungen die Prüfanweisung?

   Es wird Tabelle II-B herangezogen (verschärfte Prüfung):

   Tabelle II-B Einfachstichprobenanweisung für verschärfte Prüfung

   

   Ergebnis:

   Der Stichprobenumfang muss von n = 32 auf n = 50 erhöht werden; die Tabelle II-B zeigt: c = 0 und d ≥ 1, d. h. die Stichprobe bei verschärfter Prüfung vom Umfang n = 50 darf keine fehlerhaften Teile enthalten.