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Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

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Das Gleichungsverfahren, das auch mathematisches Verfahren genannt wird, kann zur Bestimmung der exakten Werte der innerbetrieblichen Verrechnungspreise genutzt werden. Dies geschieht mittels linearer Gleichungssysteme, wobei jeweils eine Gleichung für eine Kostenstelle erstellt wird. Die zu berechnenden Variablen sind dabei die gesuchten Verrechnungssätze.

Die Idee bei dem Gleichungsverfahren ist, dass keine Kostenstelle einen Gewinn oder einen Verlust erzielen darf. Die Erlöse einer jeden Kostenstelle werden den gesamten Kosten eben dieser Kostenstelle gleichgesetzt. Bei den gesamten Kosten einer Kostenstelle unterscheidet man wiederum primäre und sekundäre Kosten. Um die Erlöse einer Kostenstelle zu errechnen, multipliziert man den Verrechnungspreis qi (der noch ermittelt werden muss) mit den abgegebenen Mengen.

Die Erlöse, die erzielt werden, müssen gleich den Kosten sein, also gleich den primären und den sekundären Kosten.

Ausgangstabelle

von/an I II III IV V ges. Menge Primärkosten (€)
I 20 10 70 100 1.000
II 10 10 40 20 80 1.500
III 10 20 70 100 2.000
IV 3.000
V 4.000

Gleichungsverfahren Beispiel

Die Erlöse der Kostenstelle 1 berechnen sich als $\ 100 \cdot q_1 $, da insgesamt 100 ME an andere Kostenstellen veräußert werden zu einem internen Verrechnungspreis von $\ q_1 $. Primäre Gemeinkosten fallen in Höhe von 1.000 € an. Die sekundären Gemeinkosten sind zum einen $\ 10 \cdot q_3 $, da von der dritten Kostenstelle 10 ME empfangen werden und hierfür ein Stückpreis von $\ q_3 $ entrichtet werden muss. Zum anderen muss an die Kostenstelle 2 ein Betrag von $\ 10 \cdot q_2 $ bezahlt werden, da auch hier 10 ME empfangen werden. Die sekundären Kosten der ersten Kostenstelle liegen daher bei $\ 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $, die gesamten Kosten bei $\ 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $. Deshalb erhält man für die erste Kostenstelle als bestimmende Gleichung also $$\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $$.

Gleichungsverfahren Berechnung

Merke

Erlöse = Kosten ‹=› $$\ q_i \cdot(von\ i.\ Kostenstelle\ abgeg.\ Menge) = Primärkosten + Sekundärkosten $$


Ebenso kalkuliert man für die zweite und dritte Kostenstelle die Gleichungen $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $ und $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $. Daher erhält man das Gleichungssystem
Kostenstelle I $\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $
Kostenstelle II $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $
Kostenstelle III $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $
Dies löst man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Man formt nach den zu errechnenden Variablen um und erhält

(I)   $\ 100 \cdot q_1 - 10 \cdot q_2 - 10 \cdot q_3 = 1.000 $
(II)  $\ -20 \cdot q_1 + 80 \cdot q_2 – 20 \cdot q_3 = 1.500 $
(III) $\ -10 \cdot q_1 – 10 \cdot q_2 + 100 \cdot q_3 = 2.000 $

Dies schreibt man lediglich noch als Zahlensystem und lässt die zugehörigen Variablen weg:

q1 q2 q3 rechte Seite
100 -10 -10 1.000
-20 80 -20 1.500
-10 -10 100 2.000


Tab. 22: Notation der Gleichungen im Gauß-Algorithmus

Zunächst dividiert man durch 10, damit man mit kleineren Zahlen rechnet.

q1 q2 q3 rechte Seite
10 -1 -1 100
-2 8 -2 150
-1 -1 10 200


Tab. 23: Division der ersten Zeile durch 10

Dann möchte man die „-1“ unten links zu einer 0 werden lassen. Dies geschieht, indem man die dritte Zeile mit 10 multipliziert und sodann die erste Zeile hinzu addiert. Dies lässt sich aufschreiben als

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II -2 8 -2 150
III -1 -1 10 200 $\ III_{neu} = I + 10 \cdot III $


und also rechnet man

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II -2 8 -2 150 $\ II_{neu} = 5 \cdot II + I $
III 0 -11 99 2.100


Danach möchte man die „-2“ der zweiten Zeile unterhalb von $\ q_1 $ zu einer „0“ werden lassen. Dies lässt sich dadurch erreichen, dass die zweite Zeile komplett mit 5 multipliziert wird und danach die erste Zeile hinzuaddiert wird. Das Ergebnis liefert die neue zweite Zeile. Man errechnet

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II 0 39 -11 850
III 0 -11 99 2.100 $\ III_{neu} = {III \over-11} $


Danach dividiert man die dritte Zeile durch -11, damit man kleinere (und leichtere) Zahlen erhält.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II 0 39 -11 850
III 0 1 -9 -190,9091 $\ III_{neu} = -39 \cdot III + II $


Sodann multipliziert man die dritte Zeile mit -39 und addiert die zweite Zeile hinzu, um aus der „1“ in Zeile III eine „0“ zu machen.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II 0 39 -11 850
III 0 0 340 8.295,45 $\ III_{neu} = {III \over 340} $


Schließlich werden die Zahlen der dritten Zeile durch 340 dividiert.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II 0 39 -11 850 $\ II_{neu} = II + 11 \cdot III $
III 0 0 1 24,3984


Damit steht ein Verrechnungspreis fest, nämlich jener der Kostenstelle 3. Er betragt $\ q_3 = 24,40\ € $. Hiernach addiert man das 11-fache der dritten Zeile auf die zweite Zeile, damit die „-11“ aus Zeile II zu einer „0“ wird.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100
II 0 39 0 1.118.38 $\ II_{neu} = {II \over 39} $
III 0 0 1 24,3984


Hiernach dividiert man die Zeile II durch 39

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 -1 -1 100 $\ I_{neu} = I + II + III $
II 0 1 0 28,68
III 0 0 1 24,3984


und erhält den Verrechnungspreis der Kostenstelle II mit $\ q_2 = 28,68\ € $.

Schließlich addiert man die Zeilen II und III auf die Zeile I, damit die beiden Zahlen „-1“ zu einer „0“ werden.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I 10 0 0 153,0784 $\ I_{neu}= {I \over 10} $
II 0 1 0 28,68
III 0 0 1 24,3984


Schließlich wird die gesamte erste Zeile durch 10 dividiert, damit die „10“ zu einer „1“ wird.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite
I 1 0 0 15,30784
II 0 1 0 28,65
III 0 0 1 24,3045


Damit steht auch der letzte Verrechnungspreis fest, nämlich $\ q_1 = 15,31\ € $.

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung - Vergleich

Zusammenfassend erhält man die Verrechnungspreise nach den einzelnen Verfahren als

Verfahren $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $
mathematisches Verfahren 15,31 28,65 24,30
Stufenleiter-Verfahren 10 36,11 23,33
Anbauverfahren 14,29 25 28,57
Kostenstellenausgleichsverfahren - - -
Gutschrift-Lastschrift-Verfahren - - -


Tab. 24: Vergleich der Verrechnungspreise der einzelnen Verfahren

Merke

Das Kostenstellenausgleichsverfahren und das Gutschrift-Lastschrift-Verfahren berechnen keine Verrechnungspreise der einzelnen Hilfskostenstellen, sondern lediglich die Zuordnung auf die Endkostenstellen.

Video: Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

Das Gleichungsverfahren, das auch mathematisches Verfahren genannt wird, kann zur Bestimmung der exakten Werte der innerbetrieblichen Verrechnungspreise genutzt werden.
Lückentext
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Das Kostenstellenausgleichsverfahren und das Gutschrift-Lastschrift-Verfahren berechnen keine Verrechnungspreise der einzelnen Hilfskostenstellen, sondern lediglich die Zuordnung auf die .
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Kommentare zum Thema: Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

  • Maren Nebeling schrieb am 07.01.2016 um 14:47 Uhr
    Hallo, ich habe den Fehler sofort behoben. Natürlich ist die zweite Gleichung richtig: 100*q3=2000+10*q1+10*q2. Vielen Dank für den Hinweis. Schöne Grüße
  • felixbissa schrieb am 06.01.2016 um 14:51 Uhr
    Hallo, für die Kostenstelle 3 wird einmal die Gleichung 100*q3=1000+10*q1+10*q3 angegeben und dann die Gleichung 100*q3=2000+10*q1+10*q2
  • Maren Nebeling schrieb am 05.05.2014 um 15:09 Uhr
    Hallo, erneut vielen Dank für das Feedback. Die Fehler sind nun behoben. Schöne Grüße.
  • Bleyer Constanze schrieb am 30.04.2014 um 17:53 Uhr
    Muss schon wieder nerven 2.100 : (-11) = -190,9090 und nicht -190,0909 => ist doof zieht sich durch den Rest der Aufgabe!
  • Maren Nebeling schrieb am 14.04.2014 um 15:39 Uhr
    Hallo Christian, vielen Dank für dein Feedback. Wir haben nun auf jeder einzelnen Skriptseite die Ausgangstabelle abgebildet. Schöne Grüße.
  • Christiansteinweg schrieb am 09.04.2014 um 17:07 Uhr
    Hallo, es wäre vorteilhaft, wenn bei jedem Verfahren noch einmal die Ausgangstabelle zusehen wäre - ansonsten muss jedes Mal zurückgeblättert werden.
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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