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Kosten- und Erlösrechnung - Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

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Kosten- und Erlösrechnung

Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

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Das Gleichungsverfahren, das auch mathematisches Verfahren genannt wird, kann zur Bestimmung der exakten Werte der innerbetrieblichen Verrechnungspreise genutzt werden. Dies geschieht mittels linearer Gleichungssysteme, wobei jeweils eine Gleichung für eine Kostenstelle erstellt wird. Die zu berechnenden Variablen sind dabei die gesuchten Verrechnungssätze.

Die Idee beim Gleichungsverfahren ist, dass keine Kostenstelle einen Gewinn oder einen Verlust erzielen darf. Die Erlöse einer jeden Kostenstelle werden den gesamten Kosten eben dieser Kostenstelle gleichgesetzt. Bei den gesamten Kosten einer Kostenstelle unterscheidet man wiederum primäre und sekundäre Kosten. Um die Erlöse einer Kostenstelle zu errechnen, multipliziert man den Verrechnungspreis qi (der noch ermittelt werden muss) mit den abgegebenen Mengen.

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenDie Erlöse, die erzielt werden, müssen gleich den gesamten Kosten sein, also gleich den primären und den sekundären Kosten.

Ausgangstabelle

von/an I II III IV V ges. Menge Primärkosten (€)
I 201070 1001.000
II10 104020801.500
III1020  701002.000
IV      3.000
V      4.000

Berechnung

Die Erlöse der Kostenstelle 1 berechnen sich als $\ 100 \cdot q_1 $, da insgesamt 100 ME zu einem internen Verrechnungspreis von $\ q_1 $ an andere Kostenstellen veräußert werden. Primäre Gemeinkosten fallen in Höhe von 1.000 € an. Die sekundären Gemeinkosten sind zum einen $\ 10 \cdot q_3 $, da von der dritten Kostenstelle 10 ME empfangen werden und hierfür ein Stückpreis von $\ q_3 $ entrichtet werden muss. Zum anderen muss an Kostenstelle 2 ein Betrag von $\ 10 \cdot q_2 $ bezahlt werden, da auch hier 10 ME empfangen werden. Die sekundären Kosten der ersten Kostenstelle liegen daher bei $\ 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $, die gesamten Kosten bei $\ 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $. Deshalb erhält man für die erste Kostenstelle als bestimmende Gleichung: $$\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $$.

Merke

Hier klicken zum AusklappenErlöse = Kosten ‹=› $$\ q_i \cdot(von\ i.\ Kostenstelle\ abgeg.\ Menge) = Primärkosten + Sekundärkosten $$


Ebenso kalkuliert man für die zweite und dritte Kostenstelle die Gleichungen $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $ und $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $.

Daher erhält man das Gleichungssystem:
Kostenstelle I $\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $
Kostenstelle II $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $
Kostenstelle III $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $

Dies löst man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Man formt nach den zu errechnenden Variablen um und erhält:

(I)   $\ 100 \cdot q_1 - 10 \cdot q_2 - 10 \cdot q_3 = 1.000 $
(II)  $\ -20 \cdot q_1 + 80 \cdot q_2 – 20 \cdot q_3 = 1.500 $
(III) $\ -10 \cdot q_1 – 10 \cdot q_2 + 100 \cdot q_3 = 2.000 $

Dies schreibt man lediglich noch als Zahlensystem und lässt die zugehörigen Variablen weg:

$q_1$ $q_2$ $q_3$ rechte Seite
100-10-101.000
-2080-201.500
-10-101002.000

Tab. 22: Notation der Gleichungen im Gauß-Algorithmus.

Zunächst dividiert man durch 10, damit man mit kleineren Zahlen rechnet:

$q_1$ $q_2$ $q_3$ rechte Seite
10-1-1100
-28-2150
-1-110200


Dann möchte man die „-1“ unten links zu einer 0 werden lassen. Dies geschieht, indem man die dritte Zeile mit 10 multipliziert und sodann die erste Zeile hinzu addiert. Dies lässt sich aufschreiben als:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II-28-2150 
III-1-110200$\ III_{neu} = I + 10 \cdot III $


Anschließend multipliziert man die zweite Zeile mit 5 und addiert danach die erste Zeile hinzu, um eine 0 bei $q_1$ in Zeile II zu erhalten:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II-28-2150$\ II_{neu} = 5 \cdot II + I $
III0-11992.100 


Das Ergebnis liefert die neue zweite Zeile. Danach dividiert man die dritte Zeile durch -11, damit man kleinere (und leichtere) Zahlen erhält:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II039-11850 
III0-11992.100$\ III_{neu} = {III \over -11} $


Um nun bei $ q_2 $ in Zeile III eine 0 zu erhalten, multipliziert man die dritte Zeile mit -39 und addiert die zweite Zeile hinzu:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II039-11850 
III01-9-190,9091$\ III_{neu} = -39 \cdot III + II $


Schließlich werden die Zahlen der dritten Zeile durch 340 dividiert, um in Zeile III bei $ q_3 $ eine 1 stehen zu haben:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II039-11850 
III003408.295,45$\ III_{neu} = {III \over 340} $


Damit steht ein Verrechnungspreis fest, nämlich jener der Kostenstelle 3. Er beträgt gerundet $\ q_3 = 24,40\ € $. Hiernach addiert man das 11-fache der dritten Zeile auf die zweite Zeile, damit die „-11“ aus Zeile II zu einer „0“ wird:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II039-11850$\ II_{neu} = II + 11 \cdot III $
III00124,3984 


Anschließend dividiert man die Zeile II durch 39, um den Verrechnungspreis zu bestimmen:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100 
II03901.118.38$\ II_{neu} = {II \over 39} $
III00124,3984 


Schließlich erhält man den Verrechnungspreis der Kostenstelle II in Höhe von $\ q_2 = 28,68\ € $. Nun addiert man die Zeilen II und III auf die Zeile I, damit die beiden Zahlen „-1“ zu einer „0“ werden:

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100$\ I_{neu} = I + II + III $
II01028,68 
III00124,3984 


Um den Verrechnungspreis von Zeile I zu ermitteln, wird schließlich die gesamte erste Zeile durch 10 dividiert. Dadurch wird die „10“ zu einer „1“.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I1000153,0784$\ I_{neu}= {I \over 10} $
II01028,68 
III00124,3984 


Damit steht auch der letzte Verrechnungspreis fest, nämlich gerundet $\ q_1 = 15,31\ € $.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite
I10015,30784
II01028,65
III00124,3045

 

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung - Vergleich

Zusammenfassend erhält man die Verrechnungspreise nach den einzelnen Verfahren als

Methode $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $
mathematisches Verfahren15,3128,6524,30
Stufenleiter-Verfahren1036,1123,33
Anbauverfahren14,292528,57
Kostenstellenausgleichsverfahren---
Gutschrift-Lastschrift-Verfahren---

Tab. 24: Vergleich der Verrechnungspreise der einzelnen Verfahren.

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas Kostenstellenausgleichsverfahren und das Gutschrift-Lastschrift-Verfahren berechnen keine Verrechnungspreise der einzelnen Hilfskostenstellen, sondern lediglich die Zuordnung auf die Endkostenstellen.

Video: Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren