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Kosten- und Erlösrechnung

Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren

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Das Gleichungsverfahren, das auch mathematisches Verfahren genannt wird, kann zur Bestimmung der exakten Werte der innerbetrieblichen Verrechnungspreise genutzt werden. Dies geschieht mittels linearer Gleichungssysteme, wobei jeweils eine Gleichung für eine Kostenstelle erstellt wird. Die zu berechnenden Variablen sind dabei die gesuchten Verrechnungssätze.

Die Idee bei dem Gleichungsverfahren ist, dass keine Kostenstelle einen Gewinn oder einen Verlust erzielen darf. Die Erlöse einer jeden Kostenstelle werden den gesamten Kosten eben dieser Kostenstelle gleichgesetzt. Bei den gesamten Kosten einer Kostenstelle unterscheidet man wiederum primäre und sekundäre Kosten. Um die Erlöse einer Kostenstelle zu errechnen, multipliziert man den Verrechnungspreis qi (der noch ermittelt werden muss) mit den abgegebenen Mengen.

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Die Erlöse, die erzielt werden, müssen gleich den Kosten sein, also gleich den primären und den sekundären Kosten.

Ausgangstabelle

von/an I II III IV V ges. Menge Primärkosten (€)
I2010701001.000
II10104020801.500
III1020701002.000
IV3.000
V4.000

Gleichungsverfahren Beispiel

Die Erlöse der Kostenstelle 1 berechnen sich als $\ 100 \cdot q_1 $, da insgesamt 100 ME an andere Kostenstellen veräußert werden zu einem internen Verrechnungspreis von $\ q_1 $. Primäre Gemeinkosten fallen in Höhe von 1.000 € an. Die sekundären Gemeinkosten sind zum einen $\ 10 \cdot q_3 $, da von der dritten Kostenstelle 10 ME empfangen werden und hierfür ein Stückpreis von $\ q_3 $ entrichtet werden muss. Zum anderen muss an die Kostenstelle 2 ein Betrag von $\ 10 \cdot q_2 $ bezahlt werden, da auch hier 10 ME empfangen werden. Die sekundären Kosten der ersten Kostenstelle liegen daher bei $\ 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $, die gesamten Kosten bei $\ 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $. Deshalb erhält man für die erste Kostenstelle als bestimmende Gleichung also $$\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $$.

Gleichungsverfahren Berechnung

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Erlöse = Kosten ‹=› $$\ q_i \cdot(von\ i.\ Kostenstelle\ abgeg.\ Menge) = Primärkosten + Sekundärkosten $$


Ebenso kalkuliert man für die zweite und dritte Kostenstelle die Gleichungen $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $ und $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $. Daher erhält man das Gleichungssystem
Kostenstelle I $\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $
Kostenstelle II $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $
Kostenstelle III $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $
Dies löst man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Man formt nach den zu errechnenden Variablen um und erhält

(I)   $\ 100 \cdot q_1 - 10 \cdot q_2 - 10 \cdot q_3 = 1.000 $
(II)  $\ -20 \cdot q_1 + 80 \cdot q_2 – 20 \cdot q_3 = 1.500 $
(III) $\ -10 \cdot q_1 – 10 \cdot q_2 + 100 \cdot q_3 = 2.000 $

Dies schreibt man lediglich noch als Zahlensystem und lässt die zugehörigen Variablen weg:

q1 q2 q3 rechte Seite
100-10-101.000
-2080-201.500
-10-101002.000


Tab. 22: Notation der Gleichungen im Gauß-Algorithmus

Zunächst dividiert man durch 10, damit man mit kleineren Zahlen rechnet.

q1 q2 q3 rechte Seite
10-1-1100
-28-2150
-1-110200


Tab. 23: Division der ersten Zeile durch 10

Dann möchte man die „-1“ unten links zu einer 0 werden lassen. Dies geschieht, indem man die dritte Zeile mit 10 multipliziert und sodann die erste Zeile hinzu addiert. Dies lässt sich aufschreiben als

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II-28-2150
III-1-110200$\ III_{neu} = I + 10 \cdot III $


und also rechnet man

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II-28-2150$\ II_{neu} = 5 \cdot II + I $
III0-11992.100


Danach möchte man die „-2“ der zweiten Zeile unterhalb von $\ q_1 $ zu einer „0“ werden lassen. Dies lässt sich dadurch erreichen, dass die zweite Zeile komplett mit 5 multipliziert wird und danach die erste Zeile hinzuaddiert wird. Das Ergebnis liefert die neue zweite Zeile. Man errechnet

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II039-11850
III0-11992.100$\ III_{neu} = {III \over-11} $


Danach dividiert man die dritte Zeile durch -11, damit man kleinere (und leichtere) Zahlen erhält.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II039-11850
III01-9-190,9091$\ III_{neu} = -39 \cdot III + II $


Sodann multipliziert man die dritte Zeile mit -39 und addiert die zweite Zeile hinzu, um aus der „1“ in Zeile III eine „0“ zu machen.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II039-11850
III003408.295,45$\ III_{neu} = {III \over 340} $


Schließlich werden die Zahlen der dritten Zeile durch 340 dividiert.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II039-11850$\ II_{neu} = II + 11 \cdot III $
III00124,3984


Damit steht ein Verrechnungspreis fest, nämlich jener der Kostenstelle 3. Er betragt $\ q_3 = 24,40\ € $. Hiernach addiert man das 11-fache der dritten Zeile auf die zweite Zeile, damit die „-11“ aus Zeile II zu einer „0“ wird.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100
II03901.118.38$\ II_{neu} = {II \over 39} $
III00124,3984


Hiernach dividiert man die Zeile II durch 39

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I10-1-1100$\ I_{neu} = I + II + III $
II01028,68
III00124,3984


und erhält den Verrechnungspreis der Kostenstelle II mit $\ q_2 = 28,68\ € $.

Schließlich addiert man die Zeilen II und III auf die Zeile I, damit die beiden Zahlen „-1“ zu einer „0“ werden.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite Regieanweisung
I1000153,0784$\ I_{neu}= {I \over 10} $
II01028,68
III00124,3984


Schließlich wird die gesamte erste Zeile durch 10 dividiert, damit die „10“ zu einer „1“ wird.

Zeilen $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $ rechte Seite
I10015,30784
II01028,65
III00124,3045


Damit steht auch der letzte Verrechnungspreis fest, nämlich $\ q_1 = 15,31\ € $.

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung - Vergleich

Zusammenfassend erhält man die Verrechnungspreise nach den einzelnen Verfahren als

Verfahren $\ q_1 $ $\ q_2 $ $\ q_3 $
mathematisches Verfahren15,3128,6524,30
Stufenleiter-Verfahren1036,1123,33
Anbauverfahren14,292528,57
Kostenstellenausgleichsverfahren---
Gutschrift-Lastschrift-Verfahren---


Tab. 24: Vergleich der Verrechnungspreise der einzelnen Verfahren

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Das Kostenstellenausgleichsverfahren und das Gutschrift-Lastschrift-Verfahren berechnen keine Verrechnungspreise der einzelnen Hilfskostenstellen, sondern lediglich die Zuordnung auf die Endkostenstellen.

Video: Gleichungsverfahren - Mathematisches Verfahren