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Das Gleichungsverfahren, das auch mathematisches Verfahren genannt wird, kann zur Bestimmung der exakten Werte der innerbetrieblichen Verrechnungspreise genutzt werden. Dies geschieht mittels linearer Gleichungssysteme, wobei jeweils eine Gleichung für eine Kostenstelle erstellt wird. Die zu berechnenden Variablen sind dabei die gesuchten Verrechnungssätze.
Die Idee beim Gleichungsverfahren ist, dass keine Kostenstelle einen Gewinn oder einen Verlust erzielen darf. Die Erlöse einer jeden Kostenstelle werden den gesamten Kosten eben dieser Kostenstelle gleichgesetzt. Bei den gesamten Kosten einer Kostenstelle unterscheidet man wiederum primäre und sekundäre Kosten. Um die Erlöse einer Kostenstelle zu errechnen, multipliziert man den Verrechnungspreis qi (der noch ermittelt werden muss) mit den abgegebenen Mengen.
Expertentipp
Ausgangstabelle
| von/an | I | II | III | IV | V | ges. Menge | Primärkosten (€) |
| I | 20 | 10 | 70 | 100 | 1.000 | ||
| II | 10 | 10 | 40 | 20 | 80 | 1.500 | |
| III | 10 | 20 | 70 | 100 | 2.000 | ||
| IV | 3.000 | ||||||
| V | 4.000 |
Berechnung
Die Erlöse der Kostenstelle 1 berechnen sich als $\ 100 \cdot q_1 $, da insgesamt 100 ME zu einem internen Verrechnungspreis von $\ q_1 $ an andere Kostenstellen veräußert werden. Primäre Gemeinkosten fallen in Höhe von 1.000 € an. Die sekundären Gemeinkosten sind zum einen $\ 10 \cdot q_3 $, da von der dritten Kostenstelle 10 ME empfangen werden und hierfür ein Stückpreis von $\ q_3 $ entrichtet werden muss. Zum anderen muss an Kostenstelle 2 ein Betrag von $\ 10 \cdot q_2 $ bezahlt werden, da auch hier 10 ME empfangen werden. Die sekundären Kosten der ersten Kostenstelle liegen daher bei $\ 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $, die gesamten Kosten bei $\ 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $. Deshalb erhält man für die erste Kostenstelle als bestimmende Gleichung: $$\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $$.
Merke
Ebenso kalkuliert man für die zweite und dritte Kostenstelle die Gleichungen $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $ und $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $.
Daher erhält man das Gleichungssystem:
Kostenstelle I $\ 100 \cdot q_1 = 1.000 + 10 \cdot q_2 + 10 \cdot q_3 $
Kostenstelle II $\ 80 \cdot q_2 = 1.500 + 20 \cdot q_1 + 20 \cdot q_3 $
Kostenstelle III $\ 100 \cdot q_3 = 2.000 + 10 \cdot q_1 + 10 \cdot q_2 $
Dies löst man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Man formt nach den zu errechnenden Variablen um und erhält:
(I) $\ 100 \cdot q_1 - 10 \cdot q_2 - 10 \cdot q_3 = 1.000 $
(II) $\ -20 \cdot q_1 + 80 \cdot q_2 – 20 \cdot q_3 = 1.500 $
(III) $\ -10 \cdot q_1 – 10 \cdot q_2 + 100 \cdot q_3 = 2.000 $
Dies schreibt man lediglich noch als Zahlensystem und lässt die zugehörigen Variablen weg:
| $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ | rechte Seite |
| 100 | -10 | -10 | 1.000 |
| -20 | 80 | -20 | 1.500 |
| -10 | -10 | 100 | 2.000 |
Tab. 22: Notation der Gleichungen im Gauß-Algorithmus.
Zunächst dividiert man durch 10, damit man mit kleineren Zahlen rechnet:
| $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ | rechte Seite |
| 10 | -1 | -1 | 100 |
| -2 | 8 | -2 | 150 |
| -1 | -1 | 10 | 200 |
Dann möchte man die „-1“ unten links zu einer 0 werden lassen. Dies geschieht, indem man die dritte Zeile mit 10 multipliziert und sodann die erste Zeile hinzu addiert. Dies lässt sich aufschreiben als:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | -2 | 8 | -2 | 150 | |
| III | -1 | -1 | 10 | 200 | $\ III_{neu} = I + 10 \cdot III $ |
Anschließend multipliziert man die zweite Zeile mit 5 und addiert danach die erste Zeile hinzu, um eine 0 bei $q_1$ in Zeile II zu erhalten:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | -2 | 8 | -2 | 150 | $\ II_{neu} = 5 \cdot II + I $ |
| III | 0 | -11 | 99 | 2.100 |
Das Ergebnis liefert die neue zweite Zeile. Danach dividiert man die dritte Zeile durch -11, damit man kleinere (und leichtere) Zahlen erhält:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | 0 | 39 | -11 | 850 | |
| III | 0 | -11 | 99 | 2.100 | $\ III_{neu} = {III \over -11} $ |
Um nun bei $ q_2 $ in Zeile III eine 0 zu erhalten, multipliziert man die dritte Zeile mit -39 und addiert die zweite Zeile hinzu:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | 0 | 39 | -11 | 850 | |
| III | 0 | 1 | -9 | -190,9091 | $\ III_{neu} = -39 \cdot III + II $ |
Schließlich werden die Zahlen der dritten Zeile durch 340 dividiert, um in Zeile III bei $ q_3 $ eine 1 stehen zu haben:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | 0 | 39 | -11 | 850 | |
| III | 0 | 0 | 340 | 8.295,45 | $\ III_{neu} = {III \over 340} $ |
Damit steht ein Verrechnungspreis fest, nämlich jener der Kostenstelle 3. Er beträgt gerundet $\ q_3 = 24,40\ € $. Hiernach addiert man das 11-fache der dritten Zeile auf die zweite Zeile, damit die „-11“ aus Zeile II zu einer „0“ wird:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | 0 | 39 | -11 | 850 | $\ II_{neu} = II + 11 \cdot III $ |
| III | 0 | 0 | 1 | 24,3984 |
Anschließend dividiert man die Zeile II durch 39, um den Verrechnungspreis zu bestimmen:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | |
| II | 0 | 39 | 0 | 1.118.38 | $\ II_{neu} = {II \over 39} $ |
| III | 0 | 0 | 1 | 24,3984 |
Schließlich erhält man den Verrechnungspreis der Kostenstelle II in Höhe von $\ q_2 = 28,68\ € $. Nun addiert man die Zeilen II und III auf die Zeile I, damit die beiden Zahlen „-1“ zu einer „0“ werden:
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | -1 | -1 | 100 | $\ I_{neu} = I + II + III $ |
| II | 0 | 1 | 0 | 28,68 | |
| III | 0 | 0 | 1 | 24,3984 |
Um den Verrechnungspreis von Zeile I zu ermitteln, wird schließlich die gesamte erste Zeile durch 10 dividiert. Dadurch wird die „10“ zu einer „1“.
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite | Regieanweisung |
| I | 10 | 0 | 0 | 153,0784 | $\ I_{neu}= {I \over 10} $ |
| II | 0 | 1 | 0 | 28,68 | |
| III | 0 | 0 | 1 | 24,3984 |
Damit steht auch der letzte Verrechnungspreis fest, nämlich gerundet $\ q_1 = 15,31\ € $.
| Zeilen | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ | rechte Seite |
| I | 1 | 0 | 0 | 15,30784 |
| II | 0 | 1 | 0 | 28,65 |
| III | 0 | 0 | 1 | 24,3045 |
Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung - Vergleich
Zusammenfassend erhält man die Verrechnungspreise nach den einzelnen Verfahren als
| Methode | $\ q_1 $ | $\ q_2 $ | $\ q_3 $ |
| mathematisches Verfahren | 15,31 | 28,65 | 24,30 |
| Stufenleiter-Verfahren | 10 | 36,11 | 23,33 |
| Anbauverfahren | 14,29 | 25 | 28,57 |
| Kostenstellenausgleichsverfahren | - | - | - |
| Gutschrift-Lastschrift-Verfahren | - | - | - |
Tab. 24: Vergleich der Verrechnungspreise der einzelnen Verfahren.
Merke
Das Kostenstellenausgleichsverfahren und das Gutschrift-Lastschrift-Verfahren berechnen keine Verrechnungspreise der einzelnen Hilfskostenstellen, sondern lediglich die Zuordnung auf die Endkostenstellen.
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