Eindimensionale Verteilungen (mit Namen)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Kapitel Eindimensionale Verteilungen (mit Namen) in unserem Online-Kurs Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht aus folgenden Inhalten:

1. Diskrete Verteilungen

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   Nun lernen wir Zufallsvariablen, die benannt sind, also einen Namen haben und in Lehrbüchern auftauchen. Für diese lassen sich auch Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Dichtefunktionen formulieren, wie wir es im vergangenen Kapitel gesehen haben.Diskrete VerteilungenDiskrete GleichverteilungenDie diskrete Gleichverteilung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines jeden möglichen Werts der Zufallsvariablen genau gleich sind:Unter der diskreten ...

2. Binomialverteilung

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   Es existieren besondere Verteilungen, die man sich "von der Natur her" erschließen kann. Die geometrische Verteilung haben wir bereits kennengelernt, außerdem sind noch die Laplace-Verteilung, die Binomialverteilung B(n, p), die hypergeometrische Verteilung H(N, M, n), die diskrete, als auch die stetige Gleichverteilung zu nennen.Wann kommt die Binomialverteilung zum Einsatz?REGEL BINOMIALVERTEILUNG B(n,p):Voraussetzung:Es seien n voneinander unabhängige Experimente mit je exakt ...

3. Weitere diskrete Verteilungen

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   MultinomialverteilungFür die Multinomialverteilung oder Polynomialverteilung schauen wir uns zunächst ein Beispiel an.In einer Urne befinden sich zehn Kugeln, davon sind vier gelb, zwei blau drei rot und eine violett. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei gelbe und eine blaue Kugel ziehen, wenn dreimal mit Zurücklegen gezogen wird?Diese Aufgabe lässt sich jetzt nicht mehr mit der Binomialverteilung lösen, da wir hier nicht mehr zwei Ergebnisse vorliegen ...

4. Stetige Verteilungen

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   Stetige GleichverteilungEine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion ff(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1{b\;-\;a},\ \ \mathit{f\text{ü}r}\text{ }a\;\le \;x\;\le \;b}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$lautet, ist als stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b] definiert.Graphisch stellt sich die Dichtefunktion einer Rechteckverteilung so dar:Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:F(x) =$\left\{\begin{matrix}0,\ ...

5. Normalverteilung

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   Da die Normalverteilung als Approximation, spricht Näherung, an andere Verteilungen zu verstehen ist, hat sie in der Statistik einen durchaus hohen Stellenwert.Schema zur NormalverteilungI.  Um welche Normalverteilung handelt es sich? Was ist der Erwartungswert µ was ist die Streuung σ?II. Nach welcher Wahrscheinlichkeit ist gefragt?a) Die Wahrscheinlichkeit, das X maximal den Wert a annimmtP(X ≤ a):b) Die Wahrscheinlichkeit, das X wenigstens den ...

6. Exponentialverteilung

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   DefinitionEine stetige Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt zum Parameter λ mit λ > 0, wenn die Dichtefunktion f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\lambda \;\cdot \;e^{- \lambda \;\cdot \;x},\ \ \ x\;\ge \;0}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$lautet.Für λ = 2 hat die Dichtefunktion folgende Gestalt:VerteilungsfunktionDie Verteilungsfunktion heißt:$ F(x) = \left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1- \;e^{-\lambda \;\cdot \;x},\ \ \ x > 0}{\qquad ...

7. Aufgaben, Lösungen und Beispiele zu eindimensionalen Verteilungen (mit Namen)

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   Aufgabe 1In der Baubranche gibt es immer wieder Unternehmen, die auch Schwarzarbeiter beschäftigen. Der Zoll versucht der Schwarzarbeit Herr zu werden und kontrolliert daher jährlich immer wieder fünf  aller 15 Unternehmen. Drei von den 15 Unternehmen beschäfigen trotzdem immer wieder nicht gemeldetet Arbeitskräfte.Welche Verteilung liegt für die Zufallsvariable der Anzahl der Bauunternehmen, die Arbeiter illegal beschäftigen vor?Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ...