Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Kapitel Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) in unserem Online-Kurs Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht aus folgenden Inhalten:

1. Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

   

   In diesem Kapitel lernen wir die eindimensionale Verteilungen kennen. Diese werden einmal in diskrete Verteilung (einmal ohne und mit Namen) und stetige Verteilung (auch jeweil mit und ohne Namen) unterteilt.Der Ausdruck "ohne Namen" bzw. "mit Namen" ist so in Lehrbüchern nicht zu finden, da er gänzlich unmathematisch ist. Jedoch sind wir der Ansicht, dass er das Verständnis der Materie vereinfacht, daher werden wir diesen Begriff hier nutzen.ZufallsvariableDefinition: Unter einer ...

2. Wahrscheinlichkeitsfunktion

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   Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind das, was die Verteilung einer Zufallsvariablen ausmacht.Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f für eine diskrete Zufallsvariable X ist definiert als f(x) = P(X = x). Dabei wird einer Zufallsvariablen X ein Wert x für ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet.Dabei sollte man darauf achten, dass die Zufallsvariable " groß X " und der ihr zugeortnete Wert "klein x" ist.Wichtig ist zu beachten, dies gilt ausschließlich für diskrete ...

3. Dichtefunktionen

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Dichtefunktionen

   

   Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so nennt man es  derern Funktion Dichtefunktion oder auch Wahrscheinlichkeitsdichte.DefinitionFür eine Dichtefunktion f muss folgendes gelten:f(x)dx = 1f(x) ≥ 0 für alle x Df.Zu 1.: Das besagt, dass die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse insgesamt gleich 1 ist.Zu 2.: Dies sagt aus, das der Graph lediglich überhalb der x-Achse verläuft. f(x) ist also etweder gleich null oder nimmt positive Werte an. In der ...

4. Verteilungsfunktion

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Verteilungsfunktion

   

   Diskrete VerteilungsfunktionDie Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte bis zur Stelle x annimmt, ist gleich dem Flächeninhalt bis zur Zahl x, in Zeichen:P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x}$ f(u)duEine Verteilungsfunktion F gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens ein vorgegebener Wert x angenommen wird:F(x) = P(X ≤ x).Dies bedeutet, dass für diskrete Zufallsvariablen alle Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zum Wert x summiert werden:F(x) ...

5. Lageparameter

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Verteilungsparameter > Lageparameter

   

   VerteilungsparamterDie Termini Modus, Median und arithmetisches Mittel sind in der beschreibenden Statistik für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen bekannt. Bei zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen kennen wir den Korrelationskoeffizient.Analog werden wir Verteilungsparameter für Zufallsvariablen kennenlernen und zwar Lageparameter und StreuungsparameterGegeben sei ersteinmal eine eindimensionale Zufallsvariable.Ist diese diskret, sei sie erklärt für x1, x2, x3, ...

6. Streuungsparameter

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Verteilungsparameter > Streuungsparameter

   

   Der Lageparameter alleine ist jedoch zur Beschreibung einer Verteilung nicht genug, weil er nur zeigt, um welche Zahl herum sich die Werte bewegen. Allerdings trifft er keine Aussage darüber wie groß die Streuung dieser Werte ist, also wie nah oder weit sich die Werte von diesem Lageparameter befinden.Darüber trifft nur der Streuungsparameter eine Aussage. Dabeit gibt es einmal die Varianz und dann die Standardabweichung.Als erste muss man die Varianz bestimmen, um anschließend ...

7. Linearkombinationen von Zufallsvariablen

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Linearkombinationen von Zufallsvariablen

   

   Häufig ist es der Fall, dass man eine linear zusammengesetzte Zufallsvariable hat. Diese Funktionen setzten sich als Summe oder Differrenz anderer Zufallsvariablen zusammen.Dieser Abschnitt behandelt besonders die Linearkombination a·X + b·Y + c·Z, wo die Zufallsvariablen X,Y und Z schon bekannt sind.BeispielDie Rentner Peter, Paul und Mary wollen, da sie im hohen Alter nicht alleine leben wollen, eine Senioren-WG gründen und werfen für die Finanzierung Anteile ...

8. Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

   Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) > Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

   

   Aufgabe 1:Welche dieser Aussagen sind korrekt oder faslch?Wenn die Zufallsvariable X linear transformiert wird durch Y = aX + b mit einem Parameter a > 1, so gilt für die Varianz von Y > die Varianz von X.Für die Varianz der Differenz gilt: Var(a·X - b·Y) = a2·Var(X) – b2·Var(Y), wenn X und Y von einander unabhägig sind.Es gilt stets E(X2) = Var(X) + E(X)2.Die Gleichheit E(X·Y) = E(X)·E(Y) gilt ausschließlich für unabhängige ...