Mehrdimensionale Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Kapitel Mehrdimensionale Verteilungen in unserem Online-Kurs Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht aus folgenden Inhalten:

1. Mehrdimensionale Verteilungen

   Mehrdimensionale Verteilungen

   

   Es lassen sich auch bei einem Zufallsvorgang oder einem wiederholt gemachtem Zufallsexperiment mehrere Eigenschaften betrachten, wo die Zufallsvariable mit Xi benannt ist, dabei ist i= 1, 2, ..., n. Man spricht dann von einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1,X2,...,Xn) mit Werten im Rn.Beispielsweise können mehrere Eienschaften bei Menschen interessant zu messen sein, wie die Körpergröße (in m), die Schuhgröße oder das Gewicht (in kg). So kann X = (X1,X2,X3) ...

2. Gemeinsame Verteilungsfunktion

   Mehrdimensionale Verteilungen > Gemeinsame Verteilungsfunktion

   

   Unter einer gemeinsamen Verteilungsfunktion einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1, X2, ..., Xn) versteht man die Wahrscheinlichkeit$F(x_1,x_2, ..., x_n) = P (X_1 \leq \ x_1,X_2 \leq \ x_2, ..., X_n \leq \ x_n)$,die also jedem n-Tupel (x1,x2,...,xn) die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass jeweils höchstens der Wert xi, i = 1, ..., n angenommen wird.Für den Fall n = 2 lässt sich dies noch graphisch verstehen:F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X1 ≤ $\tilde  x_1$, ...

3. Randverteilungen

   Mehrdimensionale Verteilungen > Randverteilungen

   

   Die Randverteilungen (hier als Randwahrscheinlichkeitsfunktion, da der diskrete Fall gegeben ist) werden dadurch berechnet, dass X2 unerheblich ist und lediglich X1 angeschaut wird:x1P00,310,2520,45So erhält man bspw. P(X1 = 0) durch:P(X1 = 0) = P(X1 = 0, X2 = 1) + P(X1 = 0, X2 = 2) + P(X1 = 0, X2 = 1) = 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,3.Man bildet also die Summen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle, anders formuliert: die Randwahrscheinlichkeitsfunktion ...

4. Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung

   Mehrdimensionale Verteilungen > Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung

   

   Aufgabe 1:Die Zufallsvariablen X1 sei gegeben durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: f(0) = 0,1, f(1) = 0,25 f(2) = 0,2, f(3) = 0,45. Die Zufallsvariable X2 hingegen sei definiert durch: f(0) = 0,7, f(1) = 0,3.Außerdem ist bekannt, dass für die gemeinsamen Verteilungsfunktion gilt F(2,0) = 0,35. Darüberhinaus ist f(0,0) = f(1,2) = 0,05.Bestimme die bedingte Verteilung von X1 unter der Bedingung X2 = 0.Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Realisierungen ...